意大利本杰米尼;雨果·杜米尼尔·科宾;Gady Kozma;阿里尔·亚丁 无序、熵和调和函数。 （英语） Zbl 1337.60248号 安·普罗巴伯。 43，第5期，2332-2373（2015）。 本文对随机环境中的调和函数进行了研究，特别强调了在Z^d上超临界渗流无限簇的情况。这与S.-t.Yau[公共纯应用数学.28，201–228（1975；Zbl 0291.31002号)]关于具有非负Ricci曲率的完备流形上正调和函数的Liouville性质。Yau猜想在具有非负Ricci曲率的开放流形中，固定阶多项式增长调和函数的空间总是有限维的。T.H.冷却和W.P.Minicoszi二世在[Ann.Math.（2）146，No.3，725-747（1997；Zbl 0928.53030号)]。本文涉及随机图的情况，经典几何分析不能直接应用于随机图，随机环境在微观尺度上是不规则的。本文的定理1表明，对于（d\geq2）和（p>p_c（d）），无限团簇（ω）没有概率为1的非恒定次线性调和函数，其中（p_c。这意味着N.伯杰和M.Biskup先生【Probab.理论相关领域137，No.1–2，83–120（2007；Zbl 1107.60066号)]校正器是唯一的，这是真的。主要结果的证明如下：A.阿韦兹的熵论证[in:Differ.Geom.Relative.，Vol.Honour A.Lichnerowicz 60岁生日，27-32（1976；Zbl 0345.31004号)]这表明Cayley图满足Liouville属性。作者将环境定义为随机根Markov链，将随机平稳图定义为一种特殊类型的可逆Markov链。如果（h（X_n）是鞅，则函数（h:V\to\mathbb R\）是调和函数，即，对于所有（X\），函数（h（X）\sum_y P（X，y）h（y）\）都是调和函数。《美国数学学会杂志》第23卷第3期，815–829页（2010年；Zbl 1246.20038号)],B.克莱纳证明了任何群都有一个非竞争的线性增长调和函数的Gromov定理，以及在多项式增长的群上，多项式增长调和函数空间的维数是有限的。Y.沙洛姆和陶哲轩【地质功能分析20，编号61502–1547（2010；Zbl 1262.20044号)]给出了Kleiner对Gromov定理的定量证明。本文的主要结果，定理3表明，如果平稳环境（P，V，rho）满足（DB）（扩散或次扩散行为，对于每个（n），（E（d（rho，X_n）^2）leq Cn），则几乎每个环境都不存在非恒定次线性调和函数。设\（（G，\nu，\rho）\）是根加权图。如果存在（0<C_{VD}<infty），则对于每个（lambda<infty\），都存在（n_0\ in n\），从而对于所有（n>n_0\）和每个（x\ in B_{rho}（\lambda n）\）\[\nu（B_x（2n））\leq C_{VD}，\]则\（（G，\nu，\rho）\）满足锚定体积倍增特性\（（VD）_G\），其中\（nu（B）\）是球\（B\）中边的总重量。如果每\（f:B_x（2n）\到\ mathbb R\）\[\B_x（n）}（f（y）上的sum_{y\{f}_{B_x（n）}）^2\nu（y）\leq C_P n^2\sum_{y，z\in E（B_x，2n）}|f（y）-f（z）|^2\nu（y，z），\]则\（（G，\nu，\rho）\）满足锚定Poincaré不等式\（（P）_G\），其中\[\上划线{f}_{B_x（n）}=\frac{1}{nu（B_x，n）}\sum_{y\在B_x。\]本文的定理4表明，对于每一个（k>0），对于距离（rho）足够远的所有（x），具有（|h（x）|leq C d（rho，x）^k的调和函数空间对于具有（VD）_G和（P）_G的根加权图是有限维的。这正是Yau猜想的离散锚定版本，除了锚定Poincaré不等式的假设（这是具有非负Ricci曲率的流形的结果）。对于随机图，定理4中的维数仅取决于\（C_{VD}\）和\（C_P\），如果这些常数不是随机的，它们是没有界的。在超临界渗流中，存在一个仅取决于维数\（d\）和概率\（p\）的常数，使得\（C_{VD｝\leq a\）和\（C_p\leq a\）几乎是肯定的。定理5讨论了具有（d\geq2）和（p>p_c（d））的（Z^d）上渗流的唯一无穷分量，其中分量上最多线性增长的调和函数的向量空间的维数几乎肯定等于（d+1）。定理6表明，利用定理1证明中发展的熵技术，对（Z^d）上的无限渗流簇（ω）进行了热核估计，并获得了超临界渗流无限簇连续时间随机游动的界。第2节回顾了Avez[loc.cit.]的熵参数，并通过下式给出了从（P，V，rho）条件开始的时间（n），（m）的随机游动的熵\[H_{n，m}（P，V，\rho）=H（X_n，X_m）=V}\phi中的sum_{X，y\（P_{\rho}（X_n=X，X_m=y））。\]当\（n=m\）时，简单地表示\（H_{n，n}（P，V，\rho）=H_n（P，V，\ rho）\）。定理8指出，对于每一个静止环境，（E（Delta_n（\rho，X_1）^2）\leq 2（H_n-H_{n-1}）。定理8的证明来自两个引理。对于任意次线性调和函数（h），定理3的证明简化为恒等式（h（rho）=h（X_1）a.s.，平稳性意味着（h（X_n）=h。根据假设，马尔可夫链具有退火多项式增长。根据Fatou引理和次线性，对于几乎所有的环境和环境上的调和次线性，熵至多是对数的，即（E_{rho}（|h（rho）-h（X_1）|）\leqc_2\varepsilon^{1/2}）。如果（H_n/n）收敛到0，则（P）具有Liouville性质（几乎肯定没有非恒定的有界调和函数），如定理3中的Liouvill性质所示。然后是几个例子（均匀椭圆的随机电导、渗流的无限簇、中心随机环境、平衡随机环境、具有切点的随机环境、泊松点过程、图形分形、临界Galton-Watson树、无限初始簇、图形极限和UPQ）见第2节末尾。第三节基于宏观Poincaré不等式和体积增长估计是充分的这一观察结果来证明定理4。作者遵循Shalom和Tao[loc.cit.]的思路，受到了Kleiner[loc.cint.]的一个优雅证明的启发，该证明以关键的方式利用了具有多项式增长的调和函数空间。他们首先证明了命题12中关于任何图的一个非常普遍的不等式（逆Poincaré不等式）。以引理13和14为准备，定理4的证明来自球的适当覆盖（B_｛\rho｝（n）\），并比较了向量上的两个Gram行列式，这些向量足够大，可以看到调和函数的线性无关族（u_i\）（因此具有有限维性质）。第四节研究了无限渗流簇上的线性增长调和函数。对于几乎每个环境，线性增长的任意调和函数的序列（（h_n）|_K=h（nx）/n|_K\）对于每个紧（K\subset\mathbb R^d）都是一致有界和等连续的（命题19），并且与高斯估计和Lévy-Prokhorov距离线性（引理20）。作者首先应用定理8和命题19来提取子序列，然后重复定理3的论证以得出结果，从而给出定理5的证明。第5节给出了定理6的证明，即对于（x\sim x^{'}），热核（p_n（x，y）-p_n（x^{'}，y）的离散导数的上界。引理21给出了任何图的（p_{2n}（x，y）-p_{2n-1}（x^{'}，y））的（L^2）型估计。对于超临界渗流，我们有（H_n-H{n-1}\leq C/n）（引理22）。定理6的证明是通过对热核导数的估计和将定理8应用于（2（H_n-H{n-1}）的界（E[Delta_n^2]），并利用引理21和22得出结论。在可逆情况下，（DB）是否遵循多项式增长是一个有趣的问题。第6节列出了本文的开放性问题。例如，是否存在Liouville特性不成立的临界最小增长调和函数。问题1询问UIPQ（均匀无限平面四边形）上是否存在多项式增长的非恒定调和函数；如果是，最小增长是多少（问题2）；UIPQ上具有指定多项式增长的调和函数空间是否仍然是有限维的（问题3）？问题4将（mathbb Z^d）和无限渗流簇之间的相似性推广到具有任意多项式增长的调和函数空间的维数。问题5询问给定增长率的调和函数空间的维数对于\（G\）和\（\omega（G）\）是否相等(I.本杰明等人对不可修Cayley图进行了研究[in:Random walks and discrete potential theory.Cortona 1997。会议记录，意大利科尔托纳，1997年6月。剑桥：剑桥大学出版社；《罗马：阿尔塔马蒂马蒂卡·弗朗西斯科·塞韦里国家博物馆》（Istituto Nazionale di Alta Matematica Francesco Severi），第56–84页（1999年；Zbl 0958.05121号)]). 问题6问，对于\（Z^d\）的随机子图，是否同样成立。审核人：李伟平（静水） 引用于1审查引用于30文件 MSC公司： 60K37型 随机环境中的进程 60K35型 相互作用的随机过程；统计力学类型模型；渗流理论 31A05型 二维调和、次调和、超调和函数 60克50 独立随机变量之和；随机游走 60J60型 扩散过程 60J10型 马尔可夫链（离散状态空间上的离散时间马尔可夫过程） 60B15型 群或半群的概率测度，傅里叶变换，因式分解 82个B43 渗流 第37页第35页 熵和其他不变量、同构、遍历理论中的分类 20第05页 群论中的概率方法 关键词：调和函数;随机环境;渗滤;随机游走;静止环境;熵;校正器;反常扩散;锚定体积倍增特性;锚定Poincaré不等式;宏观球;热核;图形分形 引文：Zbl 0291.31002号;Zbl 0928.53030号;Zbl 1107.60066号;Zbl 0345.31004号;Zbl 1246.20038号;Zbl 1262.20044号;Zbl 0958.05121号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{I.Benjamini}等人，Ann.Probab。43，第5号，2332--2373（2015；Zbl 1337.60248） 全文： 内政部 arXiv公司 欧几里得 参考文献： [1] Aldous，D.和Lyons，R.（2007年）。单模随机网络上的过程。电子。J.概率。12 1454-1508. ·Zbl 1131.60003号 ·doi:10.1214/EJP.v12-463 [2] Antal，P.和Pisztora，A.（1996年）。关于超临界伯努利渗流的化学距离。安·普罗巴伯。24 1036-1048. ·Zbl 0871.60089号 ·doi:10.1214/aop/1039639377 [3] Avez，A.（1976年）。群上的调和函数。在微分几何和相对论中。数学物理。和应用程序。数学。3 27-32. 多德雷赫特·雷德尔·Zbl 0345.31004号 ·doi:10.1007/978-94-010-1508-04 [4] Barlow，M.T.（1998）。分形上的扩散。概率论和统计学讲座（圣弗洛尔，1995）。数学课堂笔记。1690 1-121. 柏林施普林格·Zbl 0916.60069号 ·doi:10.1007/BFb0092537 [5] Barlow，M.T.（2004）。对于一个图来说，体积增长和逃逸时间指数的哪些值是可能的？马特·伊贝罗姆（Mat.Iberoam）版本。20 1-31. ·Zbl 1051.60071号 ·doi:10.4171/RMI/378 [6] Barlow，M.T.（2004）。超临界渗流团簇上的随机游动。安·普罗巴伯。32 3024-3084. ·Zbl 1067.60101号 ·doi:10.1214/00911790400000748 [7] Barlow，M.T.和Bass，R.F.（1999）。Sierpinski地毯的布朗运动与谐波分析。加拿大。数学杂志。51 673-744. ·Zbl 0945.60071号 ·doi:10.4153/CJM-1999-031-4 [8] 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