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大卫·格鲁克;凯·马加德;里瑟，乌多;彼得·施密德

（k（GV））问题的解决方案。 （英语） Zbl 1058.20010号

J.代数 279，第2期，694-719（2004）.
设\（H\）是有限群，\（p\）是\（|H|\）的素因子。设\（B\）是\（H\）的不可约复特征的一个\（p\）-块，设\（D\）为\（B_）的缺陷群。设\（k（B）\）表示\（B）中\（H）的不可约字符数。布劳尔猜想是（k（B）\leq|D|\）。
1959年，Brauer和Feit证明了\（k（B）\leq\tfrac14|D|^2+1\），这仍然是\（k（B）\）的最佳一般界。虽然（k（B））-猜想仍然很难获得，但它对（p）-可解群族的验证似乎是一个合理的目标，因为人们可能希望利用这些群的附加结构来得出一个成功的结论。以下是研究此类可解群时面临的一个典型问题。设（G）是任意（p’）-群，设（V）是（G）忠实作用于其上的初等阿贝尔（p）-群。设（GV）表示半直积，其中（G）自然作用于正规子群（V），设（k（GV。群（GV）当然是可解的，初等块理论表明，GV只有一个块，即具有缺陷群（V）的主块（B_1）。因此，\（k（B_1）=k（GV）\），如果正确的话，Brauer猜想意味着\（k，GV）\leq|V|\）。1962年，Nagao证明，相反，如果对于所有\（p'\）-群\（G\）和所有\（G\）忠实作用的\（V\），\（k（GV）\leq|V|\），那么\（k（B）\）-猜想对于所有\（p\）-可解群都成立。问题是证明不等式。本文是证明存在（k（GV）leq|V|）的结论，因此（k（B）-猜想对所有（p）-可解群都成立。自从长尾的论文问世以来，仅仅40多年的时间，几位数学家的共同努力才使这篇论文的四位作者最终获得了成功。
直到20世纪80年代，在（k（GV）-问题上才取得了实质性进展，当时Knörr证明了如果（G）是超可解的，或者如果（G|\）是奇数的，那么（k（GV）-leq|V|\）。他还表明了为作用于元素V的置换特征寻找（近似）平方根的重要性。当\（V\）作为\（G\）-模是自对偶时，存在（近）平方根。Robinson和Thompson在1996年的一篇论文中对这一思想进行了有效的利用，他们证明了如果（k（GV）leq|V|）中有一些（V\ in V\）使得（V\）包含一个忠实的自对偶（C_G（V）-子模。这种向量在这种情况下称为实向量。使用实向量（如果存在）的优点是，它们可以通过正规子群进行通常的Clifford模分析。Robinson和Thompson利用各种技术，包括有限单群的分类，证明了实向量的存在性，前提是（p>5^{30}），因此当（p）满足这个不等式时，（k（B）-猜想对（p）-可解群是成立的。最后，由几位独立研究人员进行的一项困难的分析表明，除非（p）是3、5、7、11、13、19或31中的一个，否则真的载体是存在的。这些素数是例外的，因为我们可以用它们来构造不存在实向量的合适的（G）和（V）的例子。
自2000年以来，这篇论文的作者独立工作，或者作为两对格鲁克和马加德，以及里塞和施密德，成功地消除了除5以外的所有这些异常素数。在本文中，他们组合了他们的资源来处理素数5，从而解决了k（GV）-问题。他们的证明需要很大的独创性，因为这些论证涉及到对群作用的几个紧密配置的分析，而实际的向量论证无法应用。作者需要证明的一个有趣的附属结果是，如果（S）是一个本原度（5'）-群（n>20），那么（S）中的共轭类的数目最多为（2^{n/5}）。这个结果的证明使用了现代有限群理论中的许多武器。总之，作者对块理论的研究做出了重大贡献，并证明了该主题中一些原始猜想的微妙性和挑战性。
审核人：罗德里克·高（都柏林）

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理学硕士：

20C20米 模块化表示和字符
20立方厘米 普通表示和字符

关键词：

块状理论;\（p\）-可解群;布劳尔猜想;实向量;不可约复数字符;缺陷组;字符数
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{D.Gluck}等人，J.Algebra 279，No.2，694--719（2004；Zbl 1058.20010）
全文： 内政部

参考文献：

[1] Conway，J.H.，《有限群地图集》（1985），克拉伦登：克拉伦登-牛津·Zbl 0568.20001号
[2] R.布劳尔。；Feit，W.，关于给定块中有限群的不可约特征数，Proc。国家。阿卡德。科学。美国，45，361-365（1959）·Zbl 0084.25801号
[3] Dixon，J.D。；莫蒂默，B.，置换群（1996），施普林格：施普林格纽约-伯林-海德堡·兹比尔0951.20001
[4] Feit，W.，《有限群的表示理论》（1982），北荷兰人：北荷兰阿姆斯特丹-纽约-牛津·Zbl 0493.20007号
[5] Gluck，D.，关于\（k\）(全球价值)-问题，J.代数，89，46-55（1984）·Zbl 0536.20008号
[6] GAP-组、算法和编程，4.3版，2002
[7] Gallagher，P.X.，有限群中共轭类的数量，数学。Z.，118175-179（1970）·Zbl 0221.20006
[8] 格卢克，D。；Magaard，K.，（K\）的特殊情况(全球价值)问题，事务处理。阿默尔。数学。《社会学杂志》，354，287-333（2002）·Zbl 0984.20010号
[9] 格卢克，D。；马加德，K.，The \（K\）(全球价值)特征31中模的猜想，J.代数，250，252-270（2002）·Zbl 1007.20009号
[10] Goodwin，D.，线性群的正则轨道及其应用(全球价值)问题，J.代数，227395-432（2000），433-473·Zbl 0970.20005号
[11] Gow，R.，关于块中的字符数和\（k\）(全球价值)自对偶问题（V），J.London Math。Soc.，48，441-451（1993）·Zbl 0799.20007
[12] Hering，C.，传递线性群和包含素数阶不可约子群的线性群，II，J.代数，93，151-161（1985）·Zbl 0583.20003号
[13] 詹姆斯·G。；Kerber，A.，对称群的表示理论（1981），Addison-Wesley：Addison-Whesley London-Amsterdam·Zbl 0491.20010号
[14] Knörr，R.，关于可解群的（p）-块中的字符数，伊利诺伊州数学杂志。，28, 181-210 (1984) ·Zbl 0536.20007号
[15] 科勒，C。；Pahlings，H.，正则轨道和（k）(全球价值)问题，（《群与计算III》（俄亥俄州哥伦布市，1999年）（2001年），德国格鲁伊特出版社：德国格鲁伊特出版社）·Zbl 0994.20010号
[16] Kovács，L.G。；Robinson，G.R.，关于有限群的共轭类的个数，J.代数，160，441-460（1993）·Zbl 0830.20048号
[17] Liebeck，M.W.，关于有限经典群的极大子群的阶，Proc。伦敦数学。Soc.（3），50426-446（1985）·Zbl 0591.20021号
[18] Liebeck，M.W。；Pyber，L.，有限群共轭类数的上界，代数杂志，198538-562（1997）·Zbl 0892.20017号
[19] 兰达祖里，V。；Seitz，G.M.，关于有限Chevalley群射影表示的最小次，J.代数，32，418-443（1974）·Zbl 0325.20008号
[20] Nagao，H.，关于可解群的Brauer猜想，J.Math。大阪城市大学，13，35-38（1962）·Zbl 0115.25501号
[21] Riese，U.，（k）的拟单情形(全球价值)猜想，J.代数，235，45-65（2001）·兹比尔0977.20002
[22] Riese，U.，关于\（k\）的特殊情况(全球价值)猜想，Arch。数学。（巴塞尔），78，177-183（2002）·Zbl 0997.20014号
[23] Riese，U.，某些半直积的共轭类的计数，群理论，7143-165（2004）·Zbl 1065.20012号
[24] Robinson，G.R.，关于“（k）”的一些评论(全球价值)问题，J.代数，172159-166（1995）·Zbl 0832.20006号
[25] Robinson，G.R.，《（k）的进一步缩减》(全球价值)问题，J.代数，195141-150（1997）·Zbl 0882.20007号
[26] 里兹，美国。；Schmid，P.，可解群的自对偶模和实向量，J.代数，227159-171（2000）·Zbl 0968.20003号
[27] 里兹，美国。；Schmid，P.，线性群的实向量和(全球价值)-问题，J.代数，267725-755（2003）·Zbl 1032.20007号
[28] 罗宾逊，G.R。；汤普森，J.G.，《关于布劳尔（k（B））问题》，《代数杂志》，1841143-1160（1996）·Zbl 0894.20010号
[29] Ward，H.N.，On Ree的简单群系列，Trans。阿默尔。数学。《社会学杂志》，121，62-69（1966）·兹伯利0139.24902
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