克雷蒂安，斯特芬;米海·库库林古;纪尧姆·勒库;露西·内拉克 半定规划学习：基于不动点分析和超额风险曲率的统计界。 （英语） Zbl 07626745号 J.马赫。学习。物件。 22，第230号论文，64页（2021年）. 摘要：最近，许多统计学习问题被证明适用于半定义编程（SDP），其中最突出的例子是高斯混合模型中的社区检测和聚类Javanmard等人（2016）。考虑到基于SDP的技术在机器学习问题中的应用越来越广泛，以及解决SDP的高效算法设计的快速进展，一个有趣的问题是，如何利用经验过程理论和统计学习理论的最新进展对SDP估计量进行精确的统计分析。在本论文中，我们借鉴了学习理论文献中的前沿技术和概念，例如不动点方程和超额风险曲率参数，这些技术和概念为一类广泛的SDP估计量提供了一般估计和预测结果。从这个角度出发，我们重新审视了Guédon和Vershynin（2016）以及Fei和Chen（2019）在社区检测方面的一些经典结果，并获得了用于符号聚类、角组同步（对于乘法和加法模型）和MAX-CUT的SDP估计量的统计保证。我们的理论发现得到了所考虑的三个问题中每一个问题的数值实验的补充，显示了SDP估计器的竞争力。 引用于1文件 MSC公司： 68T05型 人工智能中的学习和自适应系统 关键词：半定规划;统计学习;组同步;有符号聚类 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{S.Chrétien}等人，J.Mach。学习。第22号决议，论文编号230，64页（2021；Zbl 07626745） 全文： arXiv公司 链接 参考文献： [1] 艾曼纽尔·阿贝（Emmanuel Abbe）、阿方索·S·班德拉（Afonso S Bandeira）和乔治娜·霍尔（Georgina Hall）。随机块模型中的精确恢复。IEEE信息理论汇刊，62（1）：471-4872015·Zbl 1359.94047号 [2] Saeed Aghabozorgi、Ali Seyed Shirkhorshidi和Teh Ying Wah。时间序列聚类——十年回顾。信息系统，53:16-382015。 [3] 雷卡·阿尔伯特和阿尔伯特·拉兹尔·巴拉布·阿西。复杂网络的统计力学。《现代物理学评论》，74（1）：472002年·Zbl 1205.82086号 [4] Brendan PW艾姆斯。通过半定规划保证聚类和双聚类。数学规划，147（1-2）：429-4652014·Zbl 1297.90107号 [5] Miguel F Anjos和Jean B Lasserre。半定、二次曲线和多项式优化手册，第166卷。施普林格科学与商业媒体，2011年·Zbl 1235.90002号 [6] K.Arun、T.Huang和S.Bolstein。两个三维点集的最小二乘拟合。IEEE模式分析和机器智能汇刊，9（5）：698-7001987。 [7] 阿方索·S·班德拉和拉蒙·范·汉德尔。具有独立项的随机矩阵范数上的尖锐非辛界。概率年鉴，44（4）：2479-25062016·Zbl 1372.60004号 [8] Afonso S Bandeira、Moses Charikar、Amit Singer和Andy Zhu。使用半定规划的多参考对准。第五届理论计算机科学创新会议论文集，第459-470页。ACM，2014年·Zbl 1364.94108号 [9] A.S Bandeira、S.Boumal和A.Singer。角同步最大似然半定松弛的紧性。数学规划，2016年·Zbl 1365.90188号 [10] Sujogya Banerjee、Kaushik Sarkar、Sedat Gokalp、Arunabha Sen和Hasan Davulcu。划分有符号的二部图，用于对个人和组织进行分类。在 [11] Peter L.Bartlett和Shahar Mendelson。经验最小化。普罗巴伯。理论相关领域，135（3）：311-3342006。ISSN 0178-8051·Zbl 1142.62348号 [12] A.I.Barvinok公司。距离几何和二次映射的凸性问题。离散与计算几何，13（2）：189-2021995年3月·兹比尔0829.05025 [13] 吕西恩·比格和帕斯卡·马萨特。最小对比度估计的收敛速度。普罗巴伯。理论相关领域，97（1-2）：113-1501993。ISSN 0178-8051。doi:10.1007/BF01199316。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1007/BF01199316。 ·Zbl 0805.62037号 [14] 格里戈里·布莱克曼（Grigoriy Blekherman）、巴勃罗·帕里罗（Pablo A Parrilo）和雷卡·托马斯（Rekha R Thomas）。半定优化和凸代数几何。SIAM，2012年·Zbl 1260.90006号 [15] Vincent D Blondel、Jean-Loup Guillaume、Renaud Lambiotte和Etienne Lefebvre。大型网络中社区的快速发展。统计力学杂志：理论与实验，2008（10）：P100082008·Zbl 1459.91130号 [16] St´ephane Boucheron、G´abor Lugosi和Pascal Massart。集中不等式：独立性的非渐近理论。牛津大学出版社，2013年。国际标准图书编号978-0-19953525-5·Zbl 1279.60005号 [17] N.Boumal、B.Mishra、P.-A.Absil和R.Sepulchre。Manopt，一个用于流形优化的Matlab工具箱。机器学习研究杂志，15:1455-14592014。统一资源定位地址http://www.manopt.org。 ·Zbl 1319.90003号 [18] N.Boumal、V.Voroninski和A.S.Bandeira。非凸Burr-Monteiro方法适用于光滑半定规划。神经信息处理系统进展29，2757-2765页。2016 [19] 尼古拉斯·博马尔（Nicolas Boumal）。带块对角约束的半定矩阵优化的黎曼低秩方法。arXiv预印本arXiv:1506.00575，2015·Zbl 1405.90124号 [20] 斯蒂芬·博伊德和利文·范登伯格。凸优化。剑桥大学出版社，2004年·Zbl 1058.90049号 [21] 斯蒂芬·博伊德（Stephen Boyd）、劳伦特·埃尔·加维（Laurent El Ghaoui）、埃里克·费龙（Eric Feron）和文卡塔拉马南·巴拉克里希南（Venkataramanan Balakrishnan）。系统和控制理论中的线性矩阵不等式，第15卷。暹罗，1994年·Zbl 0816.93004号 [22] S.Burer和R.D.C.Monteiro。低秩半定规划的局部极小与收敛性。数学规划，103（3）：427-4442005·Zbl 1099.90040号 [23] Emmanuel J.Cand'es和Terence Tao。凸松弛的威力：近最优矩阵完成。IEEE传输。通知。理论，56（5）：2053-20802010。ISSN 0018-9448。doi:10.1109/TIT.2010.2044061。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.109/TIT.2010.2044061。 ·Zbl 1366.15021号 [24] 贾利尔·查法昂、奥利维尔·古伊登、纪尧姆·勒库埃和阿兰·帕约尔。压缩传感随机矩阵和高维几何体之间的相互作用，《范式与合成》第37卷【全景与合成】。法国数学协会，巴黎，2012年。国际标准图书编号978-2-85629-370-6·兹比尔1396.94015 [25] 蒋凯扬（Kai-Yang Chiang）、黄乔伊斯（Joyce Whang）和英迪尔吉特（Inderjit S.Dhillon）。基于平衡归一化割的符号网络可扩展聚类。InACM信息和知识管理会议（CIKM），2012年10月。 [26] 杰弗里·奇诺特（Geoffrey Chinot）、勒库·纪尧姆（Lecu´e Guillaume）和勒拉塞尔·马蒂厄（Lerasle Matthieu）。使用Lipschitz和凸损失函数进行统计学习。arXiv预印arXiv:1810.010902018·Zbl 1436.62178号 [27] St´ephane Chr´etien和Franck Corset。将特征值松弛用于二元最小二乘估计问题。信号处理，89（11）：2079-20912009·Zbl 1169.94322号 [28] St´ephane Chr´etien、Cl´ement Dombry和Adrien Faivre。一种用于无监督聚类的低维嵌入的半定规划方法。即将出现应用数学和统计学的前沿。 [29] Aaron Clauset、Mark EJ Newman和Cristopher Moore。在非常大的网络中发现社区结构。物理评论E，70（6）：0661112004。 [30] M.Cucuringu。Z2上的同步和具有约束的多路网络中的社区检测。《复杂网络杂志》，3:469-5062015·Zbl 1404.90039号 [31] M.Cucuringu。同步排名：通过特征向量和半定规划同步实现稳健排名、约束排名和排名聚合。IEEE网络科学与工程学报，3（1）：58-792016。 [32] M.Cucuringu、P.Davies、A.Glielmo和H.Tyagi。海绵：聚类签名网络的广义特征问题。AISTATS 2019，a。 [33] M.Cucuringu、H.Li、H.Sun和L.Zanetti。用于聚类有向图的埃尔米特矩阵：见解和应用。AISTATS 2020，b。 [34] Mihai Cucuringu和Hemant Tyagi。光滑函数模1样本的显著稳健估计及其在相位展开中的应用。机器学习研究杂志，21（32）：1-772020。统一资源定位地址http://jmlr.org/papers/v21/18-143.html。 ·Zbl 1498.62099号 [35] Mihai Cucuringu和Hemant Tyagi。角度同步问题在异质环境中的扩展。arXiv:2012.4932，2021·Zbl 1491.60013号 [36] Mihai Cucuringu、Apoorv Vikram Singh、D´eborah Sulem和Hemant Tyagi。用于对有符号网络进行聚类的正则化谱方法。机器学习研究杂志（JMLR）（即将出版），2021年·Zbl 07626779号 [37] Mark A Davenport和Justin Romberg。从不完全观测中恢复低秩矩阵的概述。IEEE信号处理专题期刊，10（4）：608-6222016。 [38] Kenneth R Davidson和Stanislaw J Szarek。局部算子理论，随机矩阵和banach空间。Banach空间几何手册，1（317-366）：1312001·Zbl 1067.46008号 [39] Chandler Davis和W.M.Kahan。特征向量的扰动旋转。iii.SIAM数值分析杂志，7（1）：1-461970·Zbl 0198.47201号 [40] J.A.Davis。图中的聚类和结构平衡。《人际关系》，20（2）：181-1871967。 [41] 约汉·德卡斯特罗（Yohann de Castro）、法布里斯·甘博阿（Fabrice Gamboa）、迪迪埃·亨利安（Didier Henrion）和让·拉塞雷（Jean B.Lasserre）。高维半代数域上超分辨率的精确解。IEEE传输。信息理论，63（1）：621-6302017。doi:10.1109/TIT.2016.2619368。统一资源定位地址https://doi.org/10.1109/TIT.2016.2619368。 ·Zbl 1359.94030号 [42] Yohann De Castro、Fabrice Gamboa、Didier Henrion、Roxana Hess、Jean-Bernard Lasserre等。多元多项式回归的近似最优设计。《统计年鉴》，47（1）：127-1552019年·Zbl 1417.62219号 [43] 劳伦特·德马内特和保罗·汉德。无相位线性测量的稳定无优化恢复。傅里叶分析与应用杂志，20（1）：199-2212014·Zbl 1330.90069号 [44] M.Fanuel和H.Tyagi。去噪模样本：k-nn回归和sdp松弛的紧密性。《信息与推断》（即将出版），2021年·Zbl 1494.94007号 [45] M.Fanuel、A.Aspel、J-C.Delvenne和J.A.K.Suykens。正半定嵌入用于降维和样本外扩展。2017. ·Zbl 07493841号 [46] 费英杰和陈玉东。利用sdp稳健地实现随机块模型中的贝叶斯错误率。Alina Beygelzimer和Daniel Hsu，编辑，学习理论会议，2019年6月25日至28日，美国亚利桑那州凤凰城，机器学习研究过程第99卷，第1235-1269页。PMLR，2019a。URLhttp://proceedings.mlr.press/v99/fei19a.html。 [47] 费英杰和陈玉东。块模型SDP的指数误差率：超越Grothendieck不等式。IEEE传输。通知。理论，65（1）：551-5712019b。ISSN 0018-9448·兹比尔1432.90102 [48] 费英杰和陈玉东。利用SDP稳健地实现同步和块模型中的Bayes错误率。IEEE传输。通知。理论，66（6）：3929-39532020。ISSN 0018-9448.doi:10.1109/TIT.2020.2966438.URLhttps://doi.org/10.109/标题：2020.2966438·Zbl 1448.90071号 [49] 罗杰·弗莱彻。统计学（教育测试）中的非线性规划问题。SIAM科学与统计计算杂志，2（3）：257-2671981年·Zbl 0475.62089号 [50] 圣福图纳托。图中的社区检测。物理报告，486（3-5）：75-1742010。 [51] 西蒙·福卡特和霍尔格·劳胡特。压缩传感的数学介绍。应用和数值谐波分析。Birkh¨auser/Springer，纽约，2013年。国际标准图书编号978-0-8176-4947-0；978-0-8176-4948-7. doi:10.1007/978-0-8176-4948-7。网址http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4948-7·Zbl 1315.94002号 [52] 伯恩德·加特纳和季尔·马图塞。半定规划。近似算法和半定规划，第15-25页。施普林格，2012年·Zbl 1257.90001号 [53] 让·查尔斯·吉尔伯特和塞德里克·乔斯。请提供复数半定优化求解器。2017 [54] 克里斯托夫·吉拉德（Christophe Giraud）和尼古拉·维尔泽伦（Nicolas Verzelen）。松弛K-means聚类的部分恢复边界。数理统计与学习，1（3）：317-374·兹比尔1426.62186 [55] 米歇尔·戈曼斯（Michel X Goemans）。组合优化中的半定规划。数学规划，79（1-3）：143-1611997·Zbl 0887.90139号 [56] Michel X Goemans和David P Williamson。最大可满足性问题的新34近似算法。SIAM离散数学期刊，7（4）：656-6661994·Zbl 0812.90129号 [57] Michel X Goemans和David P Williamson。使用半定规划改进最大割和可满足性问题的近似算法。美国医学会杂志（JACM），42（6）：1115-11451995·Zbl 0885.68088号 [58] 戴维·格罗斯（David Gross）。从任何基础上的少数系数中恢复低秩矩阵。IEEE传输。通知。理论，57（3）：1548-15662011。ISSN 0018-9448。doi:10.1109/TIT.2011.2104999。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1109/TIT.2011.2104999。 ·Zbl 1366.94103号 [59] David Gross、Yi-Kai Liu、Steven T Flammia、Stephen Becker和Jens Eisert。通过压缩传感的量子状态层析成像。体检报告，105（15）：1504012010·Zbl 1448.81075号 [60] A.格罗森迪克。R´esum´e de la th´eorie m´etrique des produits张量拓扑。博尔。圣保罗协会，1953年8月1日至79日。ISSN 0373-1375·兹伯利0074.32303 [61] 亚历山大·格罗森迪克。R´esum´e de la th´eorie m´etrique des produits张量拓扑。圣保罗马特马提亚协会，1956年·Zbl 0074.32303号 [62] 奥利维尔·古伊登和罗曼·弗什宁。基于Grothendieck不等式的稀疏网络社区检测。普罗巴伯。理论相关领域，165（3-4）：1025-10492016。ISSN 0178-8051。统一资源定位地址https://doi.org/10.1007/s00440-015-0659-z。 ·Zbl 1357.90111号 [63] 奥利维尔·盖登和罗曼·维希宁。基于grothendieck不等式的稀疏网络社区检测。概率论及相关领域，165（3-4）：1025-10492016·Zbl 1357.90111号 [64] 布鲁斯·哈耶克（Bruce Hajek）、吴一红（Yihong Wu）和徐嘉明（Jiaming Xu）。通过半定规划实现精确的集群恢复阈值。IEEE信息理论汇刊，62（5）：2788-27972016·兹比尔1359.94222 [65] 何思迈、罗志泉、聂家旺和张树忠。不定齐次二次优化的半定松弛界。SIAM优化杂志，19（2）：503-5232008·Zbl 1180.90218号 [66] Chinmay Hegde、Aswin C Sankaranarayanan和Richard G Baraniuk。流形的近等距线性嵌入。2012年IEEE统计信号处理研讨会（SSP），第728-731页。IEEE，2012年。 [67] 塞缪尔·霍普金斯。多项式时间的亚高斯平均估计。CoRR，abs/1809.074252018年。统一资源定位地址http://arxiv.org/abs/1809.07425。 ·Zbl 1454.62162号 [68] 侯耀平。符号图的最小拉普拉斯特征值的界。《数学学报》，21（4）：955-9602005年·Zbl 1080.05060号 [69] 阿德尔·贾马德（Adel Javanmard）、安德烈亚·蒙塔纳里（Andrea Montanari）和费德里科·里奇·特森吉（Federico Ricci-Tersenghi）。半定弛豫中的相变。《美国国家科学院院刊》，113（16）：E2218-E22232016·Zbl 1359.62188号 [70] David Karger、Rajeev Motwani和Madhu Sudan。用半定规划近似图着色。美国医学会杂志（JACM），45（2）：246-2651998·Zbl 0904.68116号 [71] Subhash Khot和Assaf Naor。近似核聚类。Mathematika，55（1-2）：129-1652009·Zbl 1195.68114号 [72] 弗拉基米尔·科尔钦斯基。风险最小化中的局部Rademacher复杂性和oracle不等式。安.统计师。，34(6):2593-2656, 2006. ISSN 0090-5364。doi:10.1214/009053606000001019。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1214/00905360000001019。 ·Zbl 1118.62065号 [73] 弗拉基米尔·科尔钦斯基。Oracle在经验风险最小化和稀疏恢复问题中的不等式，数学讲义2033卷。施普林格，海德堡，2011年。是978-3-642-22146-0。doi:10.1007/978-3642-22147-7。统一资源定位地址http://dx.doi.org/ 10.1007/978-3-642-22147-7. 2008年在圣弗洛尔举行的第38届概率暑期学校的讲座，“圣弗洛尔概率学院”。【圣弗洛尔概率暑期学校】·Zbl 1223.91002号 [74] J´erˆome Kunegis、Stephan Schmidt、Andreas Lommatzsch、J¨urgen Lerner、Ernesto William De Luca和Sahin Albayrak。符号图的谱分析，用于聚类、预测和可视化。SDM，2010年10月559-570日。 [75] 让·伯纳德·拉塞雷（Jean Bernard Lasserre）。多项式和半代数优化导论。52号。剑桥大学出版社，2015年·Zbl 1320.90003号 [76] 贾瓦德·拉瓦伊和史蒂文·赫·洛。最优潮流问题中的零对偶间隙。IEEE电力系统汇刊，27（1）：92-1072011。 [77] Can M.Le、Elizaveta Levina和Roman Vershynin。基于低阶近似的网络社区检测优化。安.统计师。，44(1):373-400, 2016. ISSN 0090-5364。统一资源定位地址https://doi.org/10.1214/15-AOS1360。 ·Zbl 1331.62312号 [78] 纪尧姆·勒库埃和沙哈·门德尔森。学习亚高斯类：上限和极小极大界。技术报告，CNRS，Ecole polytechnique and Technion，2013年。 [79] 米歇尔·勒杜。《测量现象的集中》，《数学调查与专著》第89卷。美国数学学会，普罗维登斯，RI，2001年。国际标准图书编号0-8218-2864-9·兹比尔0995.60002 [80] 米歇尔·勒杜和米歇尔·塔拉格兰德。巴拿赫空间中的概率，Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete（3）第23卷[数学和相关领域的结果（3）]。施普林格·弗拉格，柏林，1991年。国际标准图书编号（ISBN）3-540-52013-9。等周和过程·Zbl 0748.60004号 [81] Claude Lemar´echal、Arkadii Nemirovskii和Yurii Nesterov。捆绑方法的新变体。数学规划，69（1-3）：111-1471995·Zbl 0857.90102号 [82] J.Leskovec、D.Huttenlocher和J.Kleinberg。预测在线社交网络中的积极和消极联系。WWW，第641-650页，2010a。 [83] Jure Leskovec、Daniel Huttenlocher和Jon Kleinberg。《社交媒体网络》签约。InCHI，第1361-1370页，2010年b。 [84] L´aszl´o Lov´asz。关于图的香农容量。IEEE信息理论汇刊，25（1）：1-71979·Zbl 0395.94021号 [85] Wing-Kin Ken Ma。二次优化问题的半定松弛及其应用。IEEE信号处理杂志，1053（5888/10），2010年。 [86] Enno Mammen和Alexandre B.Tsybakov。平滑判别分析。安.统计师。，27(6):1808-1829, 1999. ISSN 0090-5364。doi:10.1214/aos/1017939240。URLhttps://doi.org/10.1214/aos/1017939240·兹比尔0961.62058 [87] 伯纳德·马丁内特。算法解决了优化问题和极小问题。Joseph-Fourier-Grenoble I大学博士论文，1972年。 [88] 帕斯卡·马萨特。集中不等式和模型选择，数学讲义1896卷。施普林格，柏林，2007年。国际标准图书编号978-3-540-48497-4；3-540-48497-3. 2003年7月6日至23日，第33届概率论暑期学校在圣弗洛尔举行的讲座，由Jean Picard作前言·Zbl 1170.60006号 [89] 大卫·A·马齐奥蒂。多电子量子力学的大规模半定规划。体检报告，106（8）：0830012011·Zbl 1135.81378号 [90] 埃尔沙南·莫塞尔（Elchanan Mossel）、乔·内曼（Joe Neeman）和艾伦·斯利（Allan Sly）。种植分区模型中的重建和估计。普罗巴伯。理论相关领域，162（3-4）：431-4612015。ISSN 0178-8051。doi:10.1007/s00440-014-0576-6。统一资源定位地址https://doi.org/10.1007网址/s00440-014-0576-6·Zbl 1320.05113号 [91] Y内斯特罗夫。半定松弛和非凸二次优化。优化方法和软件，12:1-201997。 [92] 马克·纽曼（Mark EJ Newman）。使用矩阵的特征向量发现网络中的社区结构。物理评论E，74（3）：0361042006。 [93] 卡尔·奥尔森（Carl Olsson）、安德斯·埃里克森（Anders P Eriksson）和弗雷德里克·卡尔（Fredrik Kahl）。解决大规模二元二次问题：谱方法与半定规划。2007年IEEE计算机视觉和模式识别会议，第1-8页。IEEE，2007年。 [94] 彭继明和于伟。通过半定规划逼近k均值型聚类。SIAM优化杂志，18（1）：186-2052007·Zbl 1146.90046号 [95] 彭继明和余霞。k-means型聚类的新理论框架。数据挖掘的基础和进展，第79-96页。斯普林格，2005年·Zbl 1085.68132号 [96] 盖伊·皮耶拉。在产品空间中通过形式化进行分解。数学规划，28（1）：96-1151984·Zbl 0523.49022号 [97] 吉勒斯·皮西耶（Gilles Pisier）。格罗森迪克定理，过去和现在。《美国数学学会公报》，49（2）：237-3232012·Zbl 1244.46006号 [98] 梅森·A·波特（Mason A Porter）、朱卡·佩卡·昂内拉（Jukka-Pekka Onnela）和彼得·穆查（Peter J Mucha）。网络中的社区。AMS通知，56（9）：1082-10972009·Zbl 1188.05142号 [99] 弗朗茨·伦德尔。整数规划的半定松弛。Michael J¨unger、Thomas M.Liebling、Denis Naddef、George L.Nemhauser、William R.Pulleyblank、Gerhard Reinelt、Giovanni Rinaldi和Laurence A.Wolsey，编辑，《1958-2008年整数编程50年——从早期到现在的状态》，第687-726页。施普林格，2010年。doi:10.1007/978-3-540-68279-0z18。统一资源定位地址https://doi.org/10.1007网址/ 978-3-540-68279-0_18. ·邮编：1187.90003 [100] 马丁·罗耶。通过半定规划实现自适应聚类。《神经信息处理系统进展》，第1795-1803页，2017年。 [101] P Scobey和DG Kabe。向量二次规划问题和不等式约束最小二乘估计。《工业杂志》。数学。Soc.，28:37-491978年·Zbl 0391.90080号 [102] 亚历山大·夏皮罗。加权最小跟踪因子分析。《心理学》，47（3）：243-2641982年·Zbl 0544.62058号 [103] A.Singer和Y.Shkolnisky。用特征向量和半定规划从Cryo-EM中的公共线确定三维结构。SIAM成像科学杂志，4（2）：543-5722011·Zbl 1216.92045号 [104] 阿米特·辛格。通过特征向量和半定规划实现角度同步。应用和计算谐波分析，30（1）：20-362011·Zbl 1206.90116号 [105] 孙骏、史蒂芬·博伊德、林晓和佩西·迪亚科尼斯。图上最快的混合马尔可夫过程以及与最大方差展开问题的联系。SIAM综述，48（4）：681-6992006·Zbl 1109.60324号 [106] 玛丽亚诺·泰珀（Mariano Tepper）、阿尼凡·森古普塔（Anirvan M.Sengupta）和德米特里·切洛夫斯基（Dmitri B.Chklovskii）。聚类并不难：非负SDP用于流形解缠结。J.马赫。学习。决议，19:82:1-82:30，2018年。统一资源定位地址http://jmlr.org/papers/v19/18-088.html。 ·Zbl 1482.90139号 [107] 迈克尔·托德。半定优化。《数字学报》，10:515-5602001·兹比尔1105.65334 [108] 亚历山大·谢巴科夫（Alexandre B.Tsybakov）。最佳聚集率。InComputation Learning Theory and Kernel Machines（COLT-2003），《人工智能课堂讲稿》第2777卷，第303-313页。斯普林格，海德堡，2003年·Zbl 1208.62073号 [109] 亚历山大·谢巴科夫（Alexandre B.Tsybakov）。统计学习中分类器的最佳聚合。安.统计师。，32（1）:135-1662004.ISSN 0090-5364.doi:10.1214/aos/1079120131.URLhttp://dx.doi.org/10.1214/aos/1079120131。 ·Zbl 1105.62353号 [110] 萨拉·范·德格尔（Sara A.van de Geer）。《经验过程理论的应用》，剑桥数列第6卷，统计和概率数学。剑桥大学出版社，剑桥，2000年。国际标准图书编号0-521-65002-X·Zbl 0953.62049号 [111] Aad W.van der Vaart和Jon A.Wellner。弱收敛和经验过程。统计学中的斯普林格系列。Springer-Verlag，纽约，1996年。国际标准图书编号0-387-94640-3。具有统计应用程序·Zbl 0862.60002号 [112] 弗拉基米尔·瓦普尼克。统计学习理论。信号处理、通信和控制的自适应和学习系统。约翰·威利父子公司，纽约，1998年。国际标准图书编号0-471-03003-1。Wiley-Interscience出版物·Zbl 0935.62007号 [113] 罗曼·弗什宁。高维概率：数据科学应用简介，第47卷。剑桥大学出版社，2018年·兹比尔1430.60005 [114] 随机扰动下的奇异向量。预印本于arXiv提供：104.2000，2010·Zbl 1242.65069号 [115] Ir’ene Waldspurger、Alexandre d'Aspremont和St´ephane Mallat。相位恢复、最大割和复半定规划。数学规划，149（1-2）：47-812015·Zbl 1329.94018号 [116] 基利安·温伯格（Kilian Q Weinberger）和劳伦斯·K·索尔（Lawrence K Saul）。介绍了利用最大方差展开进行非线性降维。InAAAI，第6卷，第1683-1686页，2006a。 [117] 基利安·温伯格（Kilian Q Weinberger）和劳伦斯·K·索尔（Lawrence K Saul）。用半定规划实现图像流形的无监督学习。国际计算机视觉杂志，70（1）：77-90，2006b。 [118] 基利安·温伯格（Kilian Q Weinberger）、本杰明·帕克（Benjamin Packer）和劳伦斯·K·索尔（Lawrence K Saul）。利用半定规划和核矩阵分解进行非线性降维。InAISTATS，第2卷，第6页。Citeser，2005年。 [119] 亨利·沃尔科维奇。硬组合问题的半定和拉格朗日松弛。InIFIP系统建模和优化会议，第269-309页。斯普林格，1999年·Zbl 0999.90031号 [120] 亨利·沃尔科维奇（Henry Wolkowicz）、罗梅什·塞加尔（Romesh Saigal）和列文·范登伯格（Lieven Vandenberghe）。半定规划手册：理论、算法和应用，第27卷。施普林格科学与商业媒体，2012年·Zbl 0962.90001号 [121] M.Xu、V.Jog、H.Sun和PL.Loh。加权随机块模型中社区估计的最优比率。统计年鉴，2020年·Zbl 1440.62126号 [122] Y.Yu、T.Wang和R.J.Samworth。对于统计学家来说，戴维斯-卡汉定理的一个有用变体。Biometrika，102（2）：315-3232015。doi:10.1093/biomet/asv008。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1093/biomet/asv008。 ·Zbl 1452.15010号 [123] Alp Yurtsever、Joel A.Tropp、Olivier Fercoq、Madeleine Udell和Volkan Cevher。可伸缩半定规划。SIAM J.数学。数据科学。，3(1):171-200, 2021. doi:10.1137/19M1305045。统一资源定位地址https://doi.org/10.1137/19M1305045。 ·Zbl 1470.90068号 [124] S.Zhang和Y.Huang。复二次优化和半定规划。SIAM优化期刊，16（3）：871-8902006·Zbl 1113.90115号 [125] 张树忠。二次最大化和半定松弛。数学规划，87（3）：453-4652000·Zbl 1009.90080号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。