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孙良良;严雄斌;廖凯芳

反常扩散模型中分数阶项和空间源项的同时反演。 （英语） Zbl 1512.65200号

J.反向病态问题。 30，第6号，791-805（2022）.
本文考虑时间分数阶扩散方程的以下初边值问题：\开始{align*}&\partial_t^\alpha u（x，t）+Au（x，t）=f（x）r（t），\fquad（x，t）\in\Omega\times（0，t）\\&u（x，0）=\phi（x），\x\in\overline{\Omega}，\qquad\frac{\partial u}{\paratil n}（x，t）=0，\（x，t）\in\partial\Omega \ times（0，t），\结束{align*}其中，\（T>0）是固定的，并且\（\Omega\subset\mathbb{R}^d）表示边界足够光滑的有界域\（\partial\Omega）。此外，我们有\（\alpha\In（0,1）\），\（\partial_t^\alpha u \）表示\（u \）的Caputo分数左导数，\（n \）是\（\ partial\Omega \）上的单位外法向量。此外，\（A\）是一个对称的一致椭圆算子，其形式为\[A u（x，t）=-\sum_{i，j=1}^d\frac{\partial}{\parial x_i}\Big，\]其中，在c^1中的\（a{ij}，c\（上划线{\Omega}），a{ij}=a{ji}，c（x）>0\）在\（下划线{\欧米茄}）上，和\（\xi=（\xi_1，\ldots，\xi_d）\in\mathbb{R}^d\）。作者考虑了与空间无关的源项\（f\）和上述IBVP的分数阶\（\alpha\）的同时识别，即，对于给定的\（r（t），\phi（x）\），确定一对\（f（x），\alpha\），使得IBVP的解\（u\）满足\（u（x，t）\ mid_｛\Gamma\times（0，t）｝=g（x，t）\），其中，\（\Gamma\）是\（\partial\Omega\）的非空开放子集。作为主要结果，作者建立了这样一对（f（x），alpha）的唯一性。
在本文的第二部分中，提出了一种同时重建（f（x）和（alpha）的数值算法。为此，考虑L^2（0，T）times（0,1）中的前向算子\（mathcal{F}:（F（x），\alpha）\mapstou（x，T；F，\alfa）\vert_{x\in\Gamma}\（L^2）（\Gamma\ times（0，T））\），其中\（u（x、T；F、\alpha）\表示上述IBVP的解。所考虑的方法是非平稳迭代Tikhonov正则化。该方法的迭代次数（（f^{k+1}，alpha^{k+1}）通过最小化函数\开始{multline*}J（δf^k，δalpha^k）=\frac{1}{2}\Vert\mathcal{F} _（F）^\素数（f^k，\alpha^k）\delta f^k+\mathcal{F}（F）_\alpha^\素数（f^k，\alpha^k）\delta\ alpha^k-（g^\delta-\mathcal{f}（f^k，\alfa^k））\Vert_{L^2（\Gamma\times（0，T））}^2\\+\frac{\mu_k}{2}\Vert\delta f^k\Vert_{D（A^\gamma）}^2+\ frac{\nu_k}}{2{Vert\delta\alpha^k\Vert^2，\结束{multline*}其中，\（mu_k，nu_k>0）是正则化参数，\（g^\delta）表示函数\（g）的给定扰动，并且\（delta f^k=f^{k+1}-f^k，\\delta\alpha^k=\alpha ^{k+1}-\ alpha^k）。此外，\（\Vert\psi\Vert_{D（A^\gamma）}^2=\sum_{n=1}^\infty\lambda_n^{2\gamma}\Vert（\psi，\varphi_n）\Vert^2\），其中\（（\cdot，\cdot）\）表示\（L^2（\Omega）\）-标量积，而\（\{lambda-n，\varfi_n}_{n=1}^ infty）是运算符\（A\）的本征系统。作者考虑了该方法的数值实现。本文最后介绍了一些数值实验的结果。
审核人：罗伯特·柏拉图（西根）

引用于1文件

理学硕士：

65立方米 含偏微分方程初值和初边值问题反问题的数值方法
65立方米 含偏微分方程初值和初边值问题适定问题的数值方法
65J20型 抽象空间中不适定问题的数值解；正则化
65克10 数值优化和变分技术
26A33飞机 分数导数和积分
35兰特 分数阶偏微分方程
35兰特 PDE的反问题
35兰特 PDE的不良问题

关键词：

分数扩散方程;反源问题;分数阶的确定;迭代Tikhonov正则化
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\textit{L.Sun}等人，J.反向不适定问题。30，第6号，791--805（2022；Zbl 1512.65200）
全文： 内政部

参考文献：

[1] B.Berkowitz，H.Scher和S.E.Silliman，实验室规模的异常传输，非均质多孔介质，水资源研究36（2000），第1期，149-158。
[2] R.Courant和D.Hilbert，《数学物理方法》。第一卷，《跨科学》，纽约，1953年·Zbl 0729.35001号
[3] M.Hanke和P.C.Hansen，大型问题的正则化方法，调查数学。工业。3（1993），第4期，253-315·Zbl 0805.65058号
[4] V.Isakov，偏微分方程反问题，第二版，应用。数学。科学。127，施普林格，纽约，2006年·兹比尔1092.35001
[5] J.Janno和N.Kinash，从最终测量值重建分数扩散方程中的导数阶和源项，《反问题》34（2018），第2期，文章编号025007·Zbl 1474.35694号
[6] D.Jiang，Z.Li，Y.Liu和M.Yamamoto，时间分数阶扩散-平流方程的弱唯一延拓性质和相关逆源问题，逆问题33（2017），第5期，文章ID 055013·Zbl 1372.35364号
[7] A.A.Kilbas、H.M.Srivastava和J.J.Trujillo，分数阶微分方程的理论和应用，北霍兰德数学。第204号研究生，爱思唯尔科学，阿姆斯特丹，2006年·Zbl 1092.45003号
[8] K.Levenberg，最小二乘法中某些非线性问题的求解方法，Quart。申请。数学。2 (1944), 164-168. ·Zbl 0063.03501号
[9] G.Li，D.Zhang，X.Jia和M.Yamamoto，时间分数阶扩散方程中空间相关扩散系数和分数阶的同时反演，《反问题》29（2013），第6期，文章编号065014·Zbl 1281.65125号
[10] Z.Li和Z.Z.Zhang，基于稀疏边界数据的分数阶扩散方程中分数阶和源项的唯一确定，反问题36（2020），第11期，文章ID 115013·Zbl 1452.35259号
[11] 刘彦，张振华，时间分数阶扩散方程源项中时间分量的重构，物理学报。A 50（2017），第30号，文章编号305203·Zbl 1371.60138号
[12] D.W.Marquardt，非线性参数的最小二乘估计算法，《社会工业杂志》。申请。数学。11 (1963), 431-441. ·Zbl 0112.10505号
[13] R.Metzler和J.Klafter，接近热平衡的次扩散输运：从朗之万方程到分数扩散，物理学。版本E 61（2000），6308-6311。
[14] R.Metzler和J.Klafter，《异常扩散的随机行走指南：分数动力学方法》，Phys。代表339（2000），第1号，第77号·兹比尔0984.82032
[15] E.W.Montroll和G.H.Weiss，格子上的随机行走。II、 J.数学。物理学。6 (1965), 167-181. ·Zbl 1342.60067号
[16] V.A.Morozov，解决不正确问题的方法，Springer，纽约，1984年·Zbl 0549.65031号
[17] D.A.Murio，时间分数阶扩散方程的隐式有限差分近似，计算。数学。申请。56（2008），第4期，1138-1145·Zbl 1155.65372号
[18] M.Raberto、E.Scalas和F.Mainardi，《高频金融数据中的等待时间和回报：实证研究》，Phy。A 314（2002），编号1749-755·Zbl 1001.91033号
[19] Z.Ruan，W.Zhang和Z.Wang，时间分数阶扩散方程分数阶和空间相关源项的同时反演，应用。数学。计算。328 (2018), 365-379. ·Zbl 1427.65228号
[20] K.Sakamoto和M.Yamamoto，分数阶扩散波方程的初值/边值问题及其在一些反问题中的应用，J.Math。分析。申请。382（2011），第1期，426-447·Zbl 1219.35367号
[21] E.Scalas、R.Gorenflo和F.Mainardi，分数微积分和连续时间金融，物理学。A 284（2000），编号1-4376-384。
[22] I.M.Sokolov和J.Klafter，《从扩散到反常扩散：爱因斯坦布朗运动之后的一个世纪》，《混沌》15（2005），第2期，文章编号026103·Zbl 1080.82022号
[23] L.Sun和T.Wei，时间分数阶扩散方程中零阶系数的识别，应用。数字。数学。111 (2017), 160-180. ·Zbl 1353.65102号
[24] L.L.Sun，Y.S.Li和Y.Zhang，多项时间分数阶扩散方程中位项和分数阶的同时反演，反问题37（2021），第5期，文章编号055007·兹比尔1462.35469
[25] J.-G.Wang和T.Wei，识别时间分数扩散方程空间相关源的准可逆性方法，应用。数学。模型。39（2015），第20期，6139-6149·Zbl 1443.35198号
[26] Wang，Y.-B.Zhou和T.Wei，识别时间分数阶扩散方程空间相关源的两种正则化方法，应用。数字。数学。68 (2013), 39-57. ·兹比尔1266.65161
[27] W.Wang，M.Yamamoto和B.Han，分数阶扩散方程反源问题再生核空间的数值方法，《反问题》29（2013），第9期，文章编号095009·Zbl 1296.65126号
[28] T.Wei，X.L.Li和Y.S.Li，时间分数阶扩散方程的反时间依赖源问题，反问题32（2016），第8期，文章编号085003·Zbl 1351.65072号
[29] T.Wei，L.Sun和Y.Li，多维时间分数阶扩散方程中逆空间相关源项的唯一性，应用。数学。莱特。61 (2016), 108-113. ·Zbl 1386.35481号
[30] T.Wei和J.Wang，时间分数阶扩散方程反源问题的修正拟边值方法，应用。数字。数学。78 (2014), 95-111. ·兹比尔1282.65141
[31] S.B.Yuste、L.Acedo和Katja Lindenberg，（a+B\rightarrow c）反应-再扩散过程中的反应前沿，物理。E 69版（2004年），文章编号036126。
[32] S.B.Yuste和K.Lindenberg，次级扩散限制反应，化学。物理学。284（2002），第1期，169-180。
[33] Y.Zhang和X.Xu，分数阶扩散方程的反源问题，反问题27（2011），第3期，文章ID 035010·Zbl 1211.35280号
[34] 张振清，魏涛，用截断法识别时间分数阶扩散方程中的未知源，应用。数学。计算。219（2013），第11期，5972-5983·Zbl 1273.65134号
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