莫森·波拉赫马迪 协方差估计：GLM和正则化的观点。 （英语） Zbl 1246.62139号 统计科学。 26，第3期，369-387（2011）. 摘要：寻找协方差矩阵的无约束和统计上可解释的重新参数化仍然是统计学中的一个公开问题。它的解决方案在协方差估计中至关重要，特别是在最近的高维数据环境中，强制正定约束的计算成本可能很高。我们从两个相对互补的角度综述了协方差矩阵建模的进展：（1）广义线性模型（GLM）或简约性以及低维协变量的使用，以及（2）高维数据的正则化或稀疏性。从这两个角度来看，一个新兴的、统一的和强大的趋势是将协方差估计问题简化为估计一系列回归问题。我们指出了基于回归的公式的几个实例。一个值得注意的例子是精确矩阵或高斯图形模型的稀疏估计导致快速图形LASSO算法。强调了基于回归的Cholesky分解相对于经典谱（特征值）和方差相关分解的一些优点和局限性。前者提供了一种无约束的、统计上可解释的重参数化，并保证了估计协方差矩阵的正定性。它将协方差估计的非直观任务简化为建模回归序列的任务，代价是在变量之间施加先验顺序。样本协方差矩阵的元素正则化（如分带、锥化和阈值化）具有理想的渐近性质，稀疏估计协方差矩阵是正定的，对于大样本和维数，概率趋于一。 引用于53文件 MSC公司： 62甲12 多元分析中的估计 62J12型 广义线性模型（逻辑模型） 65C60个 统计中的计算问题（MSC2010） 关键词：贝叶斯估计;Cholesky分解;依赖;相关性;图形模型;纵向数据;节俭;惩罚可能性;精度矩阵;稀疏;光谱分解;方差相关分解 软件：ElemStatLearn（电子状态学习）;玻璃制品;考夫雷格;童子军 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.Pourahmadi}，统计科学。26，编号3，369-387（2011年；兹bl 1246.62139） 全文： 内政部 arXiv公司 欧几里得 参考文献： [1] Anderson，T.W.（1973）。线性结构协方差矩阵的渐近有效估计。安。统计师。1 135-141. ·Zbl 0296.62022号 ·doi:10.1214/aos/1193342389 [2] Anderson，T.W.（2003）。《多元统计分析导论》，第三版，新泽西州霍博肯威利出版社·Zbl 1039.62044号 [3] Banerjee，O.、El Ghaoui，L.和d'Aspremont，A.（2008）。通过多变量高斯或二进制数据的稀疏最大似然估计进行模型选择。J.马赫。学习。第9 485-516号决议·Zbl 1225.68149号 [4] Barnard，J.、McCulloch，R.和Meng，X.-L.（2000）。根据标准偏差和相关性对协方差矩阵进行建模，并应用于收缩。统计师。中研院10 1281-1311·Zbl 0980.62045号 [5] Bartlett，M.S.（1933年）。关于统计回归理论。程序。罗伊。爱丁堡Soc.Edinburgh 53 260-283·Zbl 0008.02402号 [6] Bickel，P.J.和Levina，E.（2004）。费希尔线性判别函数的一些理论，“朴素贝叶斯”，以及当变量比观测值多时的一些替代方法。伯努利10 989-1010·Zbl 1064.62073号 ·doi:10.3150/bj/1106314847 [7] Bickel，P.J.和Levina，E.（2008a）。大协方差矩阵的正则化估计。安。统计师。36 199-227. ·Zbl 1132.62040号 ·doi:10.1214/009053607000000758 [8] Bickel，P.J.和Levina，E.（2008b）。通过阈值进行协方差正则化。安。统计师。36 2577-2604. ·Zbl 1196.62062号 ·doi:10.1214/08-AOS600 [9] Bilmes，J.A.（2000年）。因子稀疏逆协方差矩阵。参加IEEE国际声学、语音和信号处理会议（土耳其伊斯坦布尔）2 II1009-II1012。 [10] Boik，R.J.（2002）。协方差矩阵的谱模型。生物特征89 159-182·Zbl 0997.62046号 ·doi:10.1093/biomet/89.1.159 [11] Bondell，H.D.、Krishna，A.和Ghosh，S.K.（2010年）。线性混合效应模型中固定效应和随机效应的联合变量选择。生物统计学66 1069-1077·Zbl 1233.62134号 ·doi:10.1111/j.1541-0420.2010.01391.x [12] Box，G.E.P.，Jenkins，G.M.和Reinsel，G.C.（1994年）。《时间序列分析：预测与控制》，第三版，普伦蒂斯·霍尔，新泽西州恩格尔伍德克利夫斯·Zbl 0858.62072号 [13] Brown，P.J.、Le，N.D.和Zidek，J.V.（1994年）。协方差矩阵的推断。《不确定性方面》（P.R.Freeman和a.F.M.Smith编辑）77-92。奇切斯特威利·Zbl 0839.62019号 [14] Cai，T.T.，Zhang，C.-H.和Zhou，H.H.（2010）。协方差矩阵估计的最佳收敛速度。安。统计师。38 2118-2144. ·Zbl 1202.62073号 ·doi:10.1214/09-AOS752 [15] Cannon，M.J.、Warner，L.、Taddei，J.A.和Kleinbaum，D.G.（2001）。如果你假设相关数据是独立的，那么会出什么问题：巴西儿童健康干预评估的一个例子。统计师。医学杂志20 1461-1467。 [16] 卡罗尔·R·J（2003）。方差并不总是令人讨厌的参数。生物统计学59 211-220·兹比尔1210.62147 ·doi:10.1111/1541-0420.t01-1-00027 [17] Carroll，R.J.和Ruppert，D.（1988年）。回归中的转换和加权。查普曼和霍尔，纽约·Zbl 0666.62062号 [18] Chang，C.和Tsay，R.S.（2010年）。通过稀疏Cholesky因子和套索估计协方差矩阵。J.统计。计划。推论140 3858-3873·Zbl 1233.62118号 ·doi:10.1016/j.jspi.2010.04.048 [19] Chen，Z.和Dunson，D.B.（2003）。线性混合模型中的随机效应选择。生物统计学59 762-769·Zbl 1214.62027号 ·doi:10.1111/j.0006-341X.2003.0089.x [20] Chiu，T.Y.M.、Leonard，T.和Tsui，K.-W.（1996）。矩阵-对数协方差模型。J.Amer。统计师。协会91 198-210·兹比尔0870.62043 ·doi:10.2307/2291396 [21] Cressie，N.A.C.（1993年）。《空间数据统计》，修订版，威利，纽约·Zbl 0799.62002号 [22] Daniels，M.J.（2005）。纵向数据中依赖结构的一类收缩先验。J.统计。计划。推论127 119-130·Zbl 1054.62019年 ·doi:10.1016/j.jspi.2003.09.026 [23] Daniels，M.J.和Hogan，J.W.（2008）。纵向研究中的缺失数据：贝叶斯建模和敏感性分析策略。统计学和应用概率专著109。查普曼和霍尔/CRC，佛罗里达州博卡拉顿·Zbl 1165.62023号 [24] Daniels，M.J.和Kass，R.E.（1999）。协方差矩阵的非共轭贝叶斯估计及其在层次模型中的应用。J.Amer。统计师。协会94 1254-1263·Zbl 1069.62508号 ·doi:10.2307/2669939 [25] Daniels，M.J.和Kass，R.E.（2001年）。协方差矩阵的收缩估计。生物识别57 1173-1184·Zbl 1209.62132号 ·doi:10.1111/j.0006-341X.2001.01173.x [26] Daniels，M.J.和Pourahmadi，M.（2002年）。协方差矩阵的贝叶斯分析和纵向数据的动态模型。生物特征89 553-566·Zbl 1036.62019年 ·doi:10.1093/biomet/89.3.553 [27] Daniels，M.J.和Pourahmadi，M.（2009年）。通过偏自相关建模协方差矩阵。《多元分析杂志》。100 2352-2363. ·Zbl 1175.62090号 ·doi:10.1016/j.jmva.2009.04.015 [28] Dégerine，S.和Lambert-Lacroix，S.（2003）。非平稳时间序列的偏自相关函数J。多元分析。89 135-147. [29] Dempster，A.（1972年）。协方差选择模型。生物统计学28 157-175。 [30] Dey，D.K.和Srinivasan，C.（1985年）。斯坦因损失下协方差矩阵的估计。安。统计师。13 1581-1591. ·Zbl 0582.62042号 ·doi:10.1214/aos/1176349756 [31] Diggle，P.、Liang，K.Y.、Zeger，S.L.和Heagerty，P.J.（2002）。《纵向数据分析》，第二版，牛津克拉伦登出版社·Zbl 1031.62002号 [32] Eaves，D.和Chang，T.（1992年）。有序条件方差和向量部分相关的先验。《多元分析杂志》。41 43-55. ·Zbl 0745.62024号 ·doi:10.1016/0047-259X（92）90056-L [33] Efron，B.、Hastie，T.、Johnstone，I.和Tibshirani，R.（2004）。最小角度回归（讨论）。安。统计师。32 407-499. ·Zbl 1091.62054号 ·doi:10.1214/009053604000000067 [34] El Karoui，N.（2008a）。大维稀疏协方差矩阵的算子范数一致估计。安。统计师。36 2717-2756. ·Zbl 1196.62064号 ·doi:10.1214/07-AOS559 [35] El Karoui，N.（2008b）。基于随机矩阵理论的大维协方差矩阵谱估计。安。统计师。36 2757-2790. ·兹比尔1168.62052 ·doi:10.1214/07-AOS581 [36] Fan，J.、Feng，Y.和Wu，Y.（2009）。通过自适应LASSO和SCAD惩罚进行网络探索。附录申请。统计师。3 521-541. ·Zbl 1166.62040号 ·doi:10.1214/08-AOAS215 [37] Fan，J.、Huang，T.和Li，R.（2007）。用卷积函数的半参数估计分析纵向数据。J.Amer。统计师。协会102 632-641·Zbl 1172.62323号 ·doi:10.1198/016214500000095 [38] Fan，J.和Lv，J.（2010）。高维特征空间中变量选择的选择性概述。统计师。Sinica 20 101-148号·Zbl 1180.62080号 [39] Fitzmaurice，G.、Davidian，M.、Verbeke，G.和Molenberghs，G.编辑（2009年）。纵向数据分析。佛罗里达州博卡拉顿CRC出版社·Zbl 1144.62087号 [40] Flury，B.（1988年）。常见主成分和相关多元模型。纽约威利·Zbl 1081.62535号 [41] Friedman，J.、Hastie，T.和Tibshirani，R.（2008）。用图形套索进行稀疏逆协方差估计。生物统计学9 432-441·Zbl 1143.62076号 ·doi:10.1093/生物统计学/kxm045 [42] Friedman，J.、Hastie，T.和Tibshirani，R.（2010）。套索和分组套索在稀疏图形模型估计中的应用。斯坦福大学技术报告·Zbl 1143.62076号 [43] Furrer，R.和Bengtsson，T.（2007年）。卡尔曼滤波器变量中高维先验和后验协方差矩阵的估计。《多元分析杂志》。98 227-255. ·Zbl 1105.62091号 ·doi:10.1016/j.jmva.2006.08.0003 [44] 加布里埃尔，K.R.（1962年）。有序变量集的前相关分析。安。数学。统计师。33 201-212. ·Zbl 0111.15604号 ·doi:10.1214/aoms/1177704724 [45] Garthwaite，P.H.和Al-Awadhi，S.A.（2001年）。多元正态抽样的非结合先验分布评估。J.R.统计社会服务。B统计方法。63 95-110. ·Zbl 0976.62047号 ·doi:10.111/1467-9868.00278 [46] Golub，G.H.和Van Loan，C.F.（1989年）。矩阵计算，第二版，《数学科学中的约翰·霍普金斯系列》3。约翰·霍普金斯大学出版社，马里兰州巴尔的摩·Zbl 0733.65016号 [47] Haff，L.R.（1980年）。多元正态协方差矩阵的经验贝叶斯估计。8 586-597. ·Zbl 0441.62045号 ·doi:10.1214/aos/1176345010 [48] Haff，L.R.（1991）。某些Bayes估计的变分形式。安。统计师。19 1163-1190. ·Zbl 0739.62046号 ·doi:10.1214/aos/1176348244 [49] Hastie，T.、Tibshirani，R.和Friedman，J.（2009）。《统计学习的要素：数据挖掘、推断和预测》，第二版，纽约斯普林格出版社·Zbl 1273.62005年 [50] Hoff，P.D.（2009）。用于合并协方差估计的分层特征模型。J.罗伊。统计师。Soc.序列号。B 71 971-992·文件编号：10.1111/j.1467-9868.2009.00716.x [51] Hoff，P.D.和Niu，X.（2009年）。协方差回归模型。华盛顿大学技术报告·Zbl 1238.62065号 [52] Huang，J.Z.，Liu，L.和Liu，N.（2007）。用基函数近似估计纵向数据的大协方差矩阵。J.计算。图表。统计师。16 189-209. ·doi:10.1198/106186007X181452 [53] Huang，J.Z.，Liu，N.，Pourahmadi，M.和Liu，L.（2006）。通过惩罚正态似然选择协方差矩阵和估计。生物特征93 85-98·Zbl 1152.62346号 ·doi:10.1093/生物技术/93.185 [54] James，W.和Stein，C.（1961年）。二次损失估算。程序中。第四届伯克利交响乐团。数学。统计师。普罗巴伯。I 361-379。加州大学出版社，伯克利·Zbl 1281.62026号 [55] Jiang，G.、Sarkar，S.K.和Hsuan，F.（1999）。相依多元正态协方差矩阵同质性的似然比检验及其修正。J.统计。计划。推论81 95-111·Zbl 0939.62051号 ·doi:10.1016/S0378-3758（99）00024-5 [56] Joe，H.（2006）。基于部分相关生成随机相关矩阵。《多元分析杂志》。97 2177-2189. ·兹比尔1112.62055 ·doi:10.1016/j.jmva.2005.05.010 [57] Johnstone，I.M.（2001）。关于主成分分析中最大特征值的分布。安。统计师。29 295-327. ·Zbl 1016.62078号 ·doi:10.1214/aos/1009210544 [58] Johnstone，I.M.和Lu，A.Y.（2009年）。高维主成分分析的一致性和稀疏性。J.Amer。统计师。协会104 682-693·Zbl 1388.62174号 ·doi:10.1198/jasa.2009.0121 [59] Jones，R.H.（1980）。ARMA模型对缺失观测值时间序列的最大似然拟合。技术计量22 389-395·Zbl 0451.62069号 ·doi:10.2307/1268324 [60] Jones，M.C.（1987）。从自回归移动平均模型的平稳性和可逆性区域中随机选择参数。J.罗伊。统计师。Soc.序列号。C 36 134-138·Zbl 0617.62100号 ·doi:10.2307/2347544 [61] Jong，J.-C.和Kotz，S.（1999）。关于主成分和回归分析之间的关系。阿默尔。统计师。53 349-351. ·doi:10.2307/2686055 [62] Kalman，A.E.（1960）。线性滤波和预测问题的新方法。事务处理。阿默尔。Soc.机械。工程-基础工程82 35-45。 [63] Kaufman，C.G.、Schervish，M.J.和Nychka，W.（2008年）。大数据集中基于似然估计的协方差减缩。J.Amer。统计师。协会103 145-155·Zbl 1286.62072号 [64] Kurowicka，D.和Cooke，R.（2003）。正定矩阵的部分相关树参数化。线性代数应用。372 225-251. ·兹比尔1027.60070 ·doi:10.1016/S0024-3795（03）00507-X [65] Lam，C.和Fan，J.（2009年）。大协方差矩阵估计中的稀疏性和收敛速度。安。统计师。37 4254-4278. ·Zbl 1191.62101号 ·doi:10.1214/09-AOS720 [66] Ledoit，O.、Santa-Clara，P.和Wolf，M.（2003）。灵活的多元GARCH建模及其在国际股市中的应用。经济评论。统计师。85 735-747. [67] Ledoit，O.和Wolf，M.（2004）。大维协方差矩阵的条件良好估计。《多元分析杂志》。88 365-411. ·Zbl 1032.62050 ·doi:10.1016/S0047-259X（03）00096-4 [68] Leng，C.、Zhang，W.和Pan，J.（2010）。纵向数据的半参数均值-方差回归分析。J.Amer。统计师。协会105 181-193·Zbl 1397.62130号 ·doi:10.1198/jasa.2009.tm08485 [69] Leonard，T.和Hsu，J.S.J.（1992年）。协方差矩阵的贝叶斯推断。统计年鉴。20 1669-1696. ·Zbl 0765.62031号 ·doi:10.1214/aos/1176348885 [70] LeSage，J.P.和Pace，R.K.（2007年）。矩阵指数空间规范。《计量经济学杂志》140 190-214·Zbl 1418.62295号 ·doi:10.1016/j.jeconom.2006.09.007 [71] Leung，P.L.和Muirhead，R.J.（1987年）。MANOVA和典型相关分析中参数矩阵和特征值的估计。安。统计师。15 1651-1666. ·Zbl 0629.62059号 ·doi:10.1214/aos/1176350616 [72] Levina，E.、Rothman，A.和Zhu，J.（2008）。通过嵌套Lasso惩罚对大协方差矩阵进行稀疏估计。附录申请。统计师。2 245-263. ·Zbl 1137.62338号 ·doi:10.1214/07-AOAS139 [73] Liang，K.Y.和Zeger，S.L.（1986）。使用广义线性模型进行纵向数据分析。生物特征73 13-22·Zbl 0595.62110号 ·doi:10.1093/biomet/73.1.13 [74] Liechty，J.C.、Liechty，M.W.和Müller，P.（2004）。贝叶斯相关估计。生物特征91 1-14·兹比尔1132.62314 ·doi:10.1093/biomet/91.1.1 [75] Lin，T.I.（2011）。纵向数据t分布位置和尺度参数联合建模中的贝叶斯推断。J.统计。计划。推论141 1543-1553·Zbl 1204.62040号 ·doi:10.1016/j.jspi.2010.11.001 [76] Lin，S.P.和Perlman，M.D.（1985年）。协方差矩阵四个估计量的蒙特卡罗比较。《多元分析VI》（宾夕法尼亚州匹兹堡，1983）411-429。荷兰北部，阿姆斯特丹·Zbl 0593.62051号 [77] Lin，T.-I.和Wang，Y.-J.（2009）。一种稳健的纵向数据均值和尺度协方差联合建模方法。J.统计。计划。推断139 3013-3026·Zbl 1168.62082号 ·doi:10.1016/j.jspi.2009.02.008 [78] Liu，C.（1993）。正态单调可忽略缺失数据协方差后验分布的Bartlett分解。《多元分析杂志》。46 198-206. ·Zbl 0778.62004号 ·doi:10.1006/jmva.1993.1056 [79] Liu，X.和Daniels，M.J.（2006）。基于参数展开和重参数化的相关矩阵模拟新算法。J.计算。图表。统计师。15 897-914. ·doi:10.1198/106186006X160681 [80] McMurry，T.L.和Politis，D.N.（2010年）。自方差矩阵和线性过程引导的带状和锥形估计。J.时间序列分析。31 471-482. ·Zbl 1226.60052号 ·doi:10.1111/j.1467-9892.2010.00679.x [81] Meinshausen，N.和Bühlmann，P.（2006）。高维图和用套索选择变量。安。统计师。34 1436-1462. ·Zbl 1113.62082号 ·doi:10.1214/0090536000000281 [82] Pan，J.和Mackenzie，G.（2003年）。纵向研究中均值-方差结构建模。生物特征90 239-244·Zbl 1039.62068号 ·doi:10.1093/biomet/90.1.239 [83] Peng，J.、Zhou，N.和Zhu，J.（2009）。联合稀疏回归模型的偏相关估计。J.Amer。统计师。协会104 735-746·Zbl 1388.62046号 ·doi:10.198/jasa.2009.0126 [84] Pinheiro，J.D.和Bates，D.M.（1996）。方差-方差矩阵的无约束参数化。统计计算。6 289-366. [85] Pourahmadi，M.（1999年）。纵向数据应用的联合均值-方差模型：无约束参数化。生物特征86 677-690·Zbl 0949.62066号 ·doi:10.1093/biomet/86.3.677 [86] Pourahmadi，M.（2000年）。多元正态协方差矩阵广义线性模型的最大似然估计。生物特征87 425-435·Zbl 0954.62091号 ·doi:10.1093/biomet/87.2.425 [87] Pourahmadi，M.（2001）。时间序列分析和预测理论基础。纽约威利·Zbl 0982.62074号 [88] Pourahmadi，M.（2007a）。多元正态协方差矩阵的Cholesky分解和估计：参数正交性。生物特征94 1006-1013·Zbl 1156.62043号 ·doi:10.1093/biomet/asm073 [89] Pourahmadi，M.（2007b）。协方差矩阵的同时建模：GLM、贝叶斯和非参数视角。《相关数据建模2004》（D.Gregori et al.，eds.）41-64。意大利米兰FrancoAngeli。 [90] Pourahmadi，M.和Daniels，M.J.（2002年）。纵向数据的动态条件线性混合模型。生物统计学58 225-231·Zbl 1209.62152号 ·doi:10.1111/j.0006-341X.20020025.x [91] Quenouille，M.H.（1949年）。时间序列相关性的近似检验。J.罗伊。统计师。Soc.序列号。B 11 68-84·Zbl 0035.09201号 [92] Rajaratnam，B.、Massam，H.和Carvalho，C.M.（2008年）。图形高斯模型中的灵活协方差估计。安。统计师。36 2818-2849. ·Zbl 1168.62054号 ·doi:10.1214/08-AOS619 [93] Ramsey，F.L.（1974）。偏自相关函数的特征。安。统计师。2 1296-1301. ·Zbl 0301.62046号 ·doi:10.1214操作系统/1176342881 [94] Rocha，G.V.、Zhao，P.和Yu，B.（2008）。稀疏伪似然逆协方差估计（splice）的路径跟踪算法。技术报告759，加州大学伯克利分校统计系。 [95] Rothman，A.J.、Levina，E.和Zhu，J.（2009年）。大协方差矩阵的广义阈值。J.Amer。统计师。协会104 177-186·Zbl 1388.62170号 ·doi:10.1198/jasa.2009.0101 [96] Rothman，A.J.、Levina，E.和Zhu，J.（2010）。一种新的高维基于Cholesky的协方差正则化方法。生物特征97 539-550·Zbl 1195.62089号 ·doi:10.1093/biomet/asq022 [97] Rothman，A.J.、Bickel，P.J.、Levina，E.和Zhu，J.（2008）。稀疏置换不变协方差估计。电子。《美国联邦法律大全》第2卷第494-515页·Zbl 1320.62135号 ·doi:10.1214/08-EJS176 [98] Roy，J.（1958年）。多元分析中的逐步下降法。安。数学。统计师。29 1177-1187. ·Zbl 0087.33907号 ·doi:10.1214/aoms/1177706449 [99] Searle，S.R.、Casella，G.和McCulloch，C.E.（1992年）。差异组件。纽约威利·Zbl 0850.62007号 [100] Smith，M.和Kohn，R.（2002年）。纵向数据的简约协方差矩阵估计。J.Amer。统计师。协会97 1141-1153·兹比尔1041.62044 ·doi:10.1198/016214502388618942 [101] Stein，C.（1956年）。多元正态分布均值的常用估计的不可接受性。程序中。第三届伯克利研讨会。数学。统计师。普罗巴伯。I 197-206年。加州大学出版社，伯克利·Zbl 0073.35602号 [102] Stein，C.（1975）。协方差矩阵的估计。在Rietz讲座中。IMS第39届年会。乔治亚州亚特兰大·Zbl 0302.05015号 [103] Szatrowski，T.H.（1980）。模式均值和协方差的多元正态估计问题显式解的充要条件。安。统计师。8 802-810. ·Zbl 0507.62050号 ·doi:10.1214/aos/1176345072 [104] Tibshirani，R.（1996）。通过套索回归收缩和选择。J.罗伊。统计师。Soc.序列号。B 58 267-288·Zbl 0850.62538号 [105] Wagaman，A.S.和Levina，E.（2009年）。使用Isomap发现稀疏协方差结构。J.计算。图表。统计师。18 551-572. ·doi:10.1198/jcgs.2009.08021 [106] Warton，D.I.（2008）。相关矩阵和协方差矩阵的惩罚正态似然和岭正则化。J.Amer。统计师。协会103 340-349·Zbl 1471.62362号 ·doi:10.1198/016214500000021 [107] Wermuth，N.（1980）。线性递归方程、协方差选择和路径分析。J.Amer。统计师。协会75 963-972·Zbl 0475.62056号 ·doi:10.2307/2287189 [108] Witten，D.M.和Tibshirani，R.（2009年）。高维问题的协方差回归和分类。J.罗伊。统计师。Soc.序列号。乙71 615-636·Zbl 1250.62033号 ·文件编号：10.1111/j.1467-9868.2009.00699.x [109] Wold，H.O.A.（1960年）。因果链模型的推广。《计量经济学》28 443-463·doi:10.2307/1907733 [110] Wong，F.、Carter，C.K.和Kohn，R.（2003）。协方差选择模型的有效估计。生物特征90 809-830·兹比尔1436.62346 ·doi:10.1093/biomet/90.4.809 [111] Wright，S.（1934年）。路径系数法。安。数学。统计师。5 161-215. ·Zbl 0010.31305号 ·doi:10.1214/aoms/1177732676 [112] Wu，W.B.和Pourahmadi，M.（2003）。纵向数据大协方差矩阵的非参数估计。Biometrika 90 831-844·Zbl 1436.62347号 ·doi:10.1093/biomet/90.4.831 [113] Wu，W.B.和Pourahmadi，M.（2009）。平稳过程的带样本自协方差矩阵。统计师。Sinica 19 1755-1768年·Zbl 1176.62083号 [114] Yang，R.-Y.和Berger，J.O.（1994）。使用参考先验估计协方差矩阵。安。统计师。22 1195-1211. ·Zbl 0819.62013号 ·doi:10.1214/aos/1176325625 [115] Yuan，M.和Huang，J.Z.（2009）。高维t分布的正则化参数估计。J.统计。计划。推断139 2284-2292·Zbl 1160.62053号 ·doi:10.1016/j.jspi.2008年10月14日 [116] Yuan，M.和Lin，Y.（2007）。高斯图形模型中的模型选择和估计。生物特征94 19-35·Zbl 1142.62408号 ·doi:10.1093/biomet/asm018 [117] 尤尔·G·U（1907）。关于任意数量变量的相关理论，用新的符号系统处理。罗伊。Soc.程序。79 85-96. [118] 尤尔·G·U（1927）。研究扰动序列中的周期性模型，特别参考Wolfer的太阳黑子数。菲洛斯。事务处理。R.Soc.伦敦。序列号。数学。物理学。工程科学。226 267-298. [119] Zimmerman，D.L.（2000）。通过PRISM查看纵向数据的相关结构。阿默尔。统计师。54 310-318. ·doi:10.2307/2685784 [120] Zimmerman，D.L.和Nüñez-AntóN，V.（2001）。增长曲线数据的参数建模：概述（含讨论）。测试10 1-73·Zbl 0981.62050号 ·doi:10.1007/BF02595823 [121] Zimmerman，D.L.和Nüñez-AntóN，V.A.（2010年）。纵向数据的前相关模型。统计学和应用概率专著112。佛罗里达州博卡拉顿CRC出版社·Zbl 0897.62077号 [122] Zou，H.、Hastie，T.和Tibshirani，R.（2006）。稀疏主成分分析。J.计算。图表。统计师。15 265-286. ·doi:10.1198/106186006X113430 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。