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Lee，Keonhee先生;Nguyen、Ngocthach

具有扩张测度的流的谱分解和（Omega）-稳定性。 （英语） 兹比尔1469.37020

J.差异。方程 269，第9期，7574-7604（2020年）.
对于紧致度量空间（X）上的流（φ）和X中的点（X），用（φ{mathbb{R}}（X））表示（X）的轨道。对于任何（x中的x）和一个常数（δ>0），我们为一些连续函数定义了（Gamma^\phi_\delta（x）：=\{y\in x\midd（\phi_t（x），\phi_{c（t）}（y）），称为以\（x）}。
作者定义了测量扩展流的变体如下：
定义。如果存在（delta>0）（称为扩展常数\（mu\）），则（X）上的Borel测度\（mu）被称为扩展\（phi\），使得所有\（X中的X\）的（mu（Gamma^\phi_\delta（X）\backslash\phi_{\mathbb{R}}（X））=0）。我们说，如果每个Borel测度（相应地，不变Borel度量）都是针对\（\phi\）展开的，那么流\（\pi\）就是被测展开的（对应地，不变被测展开）。
在第3节中，作者证明了以下内容：
定理。紧致度量空间（X）上的流（φ）是在（X）上恒量扩张的当且仅当它是在其链递归集（φ）上恒量扩张。
作者还构造了一个流（例3.2），该流在其非游荡集（Omega（\phi））上是不变的可测展开的，但在（X）上不是不变的可测量展开的（请注意，）。
在第4节中，他们提出了流的Smale谱分解定理的一个可测量版本。
定理。如果紧致度量空间（X）上的流（φ）在其链递归集（φ）上是不变可测展开的，并且在（φ）中具有不变可测阴影性质，则（φ）具有谱分解，即非游荡集\)分解为有限多不变子集和闭子集的不相交并\[\欧米茄（\phi）=B_1\cup\dots\cup B_l\]使得对于\（1\leq i\leq l\），\（\phi\）在每个\（B_i\）上是拓扑传递的。
作者还给出了一个示例（参见示例4.5），以表明具有阴影特性的恒定测量膨胀流不具有谱分解。作为推论，作者推导了Smale谱分解的以下拓扑版本，该版本修正了[M.Komuro先生莫纳什。数学。98, 219–253 (1984;Zbl 0545.58037号)]:
推论。如果紧致度量空间（X）上的流（φ）在其链递归集（φ）上是可膨胀的，并且在（φ））上具有阴影性质，则（φ）具有谱分解。
第5节介绍了以下术语：
（i）
\（operatorname{PO}（X_t））表示（C^1）向量场（X）在（C^ infty）流形（M）上的流（X _t）的周期点集。
（ii）
如果（M）的紧致不变子集（λ）表现出分裂（t_xM=E^s_X\oplus\langle X（X）rangle\oplus E^u_X（X\in\Lambda）），并且存在常数（C\geq 1），（0<\Lambda<1），使得切线流（DX_t:TM\to TM\）离开连续不变分裂\[\垂直DX_t|_{E^s_x}\Vert\leq Ce^{-\lambda t}\text{和}\Vert DX_{-t}|_{E ^u_x}\垂直\leq Ce ^{-\ lambda t}\]对于\（x\in\Lambda\）和\（t\geq0\）。
（iii）
如果（C^1）向量场（X\in\mathcal{X}^1（M））对于（X_t）是双曲线，则称其为Anosov。
（iv）
如果（Omega（X_t）是双曲线，并且（operatorname{PO}（X_t））在（Omeca（X_t）\smallsetminus\mathrm{Sing}（X）\s）中是稠密的，则称（C^1）向量场（X\in\mathcal{X}^1（M））满足公理A，其中Sing\（（X）\）表示\（X\）的零点集。
（v）
如果（X）的小扰动保持了（Omega（X_t））的拓扑结构，则向量场（X\in\mathcal{X}^1（M））（或其积分流（X_t\））称为（Omega\）稳定。
（vi）
如果存在（X）的（C^1）邻域（mathcal{U}），使得（Y）的积分流（Y_t）是不变的可测扩展的，则称（X）中的积分流为稳定不变可测扩展。
作者利用Omega稳定性的概念刻画了紧（C^ infty）流形上的可测扩张流，并证明了以下定理。
定理。无处消失（C^1）向量场（Xinmathcal{X}^1（M））的积分流（X_t）是稳定不变测度扩张的当且仅当（X\）是（Omega）稳定的。
审核人：Himadri Kumar Mukerjee（希隆）

引用于3文件

理学硕士：

37D05型 具有双曲轨道和集合的动力系统
第37页第10页 动力系统的不变流形理论
第37页第15页 莫尔斯-斯莫尔系统
37D20型 一致双曲系统（扩展、Anosov、Axiom A等）
37C75号 光滑动力系统的稳定性理论
37元50分 平滑动力学中的近似轨迹（伪轨迹、阴影等）

关键词：

测量扩展系统;测量阴影系统;光谱分解;\（\Omega\）-稳定性

引文：

Zbl 0545.58037号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{K.Lee}和\textit{N.Nguyen}，J.Differ。等式269，No.9，7574--7604（2020；Zbl 1469.37020）
全文： 内政部

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