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Kh.Hessami Pilehrood。;Hessami Pilehrood，T。

关于欧拉常数的连续分数展开式。 （英语） Zbl 1275.11103号

J.数论 133，编号2，769-786（2013）.
摘要：“在本文中，我们对Aptekarev近似给出了一种新的解释[A.I.阿普特卡雷夫（编辑），欧拉常数和递推关系的有理逼近。文章集。（俄语）Soverem。问题。材料9。莫斯科：Mat.Inst.V.A.Steklova，RAN（2007；Zbl 1134.41001号)]用Meijer（G）-函数和超几何型级数表示。这种方法允许我们描述一个非常一般的结构，给出了带有理系数的（1）和（gamma）中的线性形式。使用这种结构，我们找到了由多项式系数的二阶非齐次线性递归生成的（gamma）的新有理逼近。有趣的是，同样的齐次递归生成了Stieltjes在1895年发现的Euler-Compertz常数的连续分数。”
事实上，所描述的方法确实产生了新的有趣的结果（尽管这还没有解决欧拉常数是否无理的问题），下面将介绍其中的几个结果。
提案1（第773页）。让\[q_n=\sum_｛k=0｝^n\，\left（\ begin｛matrix｝n\cr k\ end｛matrix｝\right）^2k！，\；p_n=\sum_{k=0}^n\，\left（\begin{matrix}n\crk\end{matrix2}\right）^2（n+k）！（H_{n+k}+2H_｛n-k｝-2H_ k),\]然后针对每个\（n=0,1,2，\ldots\）\[\波浪线{f} _n（n）：=\波浪线{p} _n（n）-\伽玛\颚化符{q} _n（n）=n^2\sum_{k=0}^n\，{d\over dt}\，\left（{\Gamma（n+t+1）\over \Gamma^2（t+1）\ Gamma ^2（n-t+1）}\ right）\big|_{t=k}。\]
定理1（第781页）。让\[q_n=\sum_{k=0}^n\，\left（\begin{matrix}n\crk\end{matrix2}\right）^2k！，\qquad p_n=\sum_{k=0}^n\，\left（\begin{matrix}n\crk\end{matrix2}\right）^2k！（2小时_｛n-k｝-2H_ k).\]然后，对于每个（n=0,1，\ldots），使用\（q_n，D_np_n\ in \mathbb Z\），以及\[p_n-\gamma q_n=n！{e^{-2\sqrt{n}}\ over n^{1/4}}\ left（\sqrt{pi\over e}+O（n^{-1/2}）\ right），\qquad q_n=n！{e^{2\sqrt{n}}\在n^{1/4}}\左（{1\over2\squart{pie}}+O（n^{-1/2}）\右）\text{as}n\rightarrow\infty。\]
定理2（第781页）。设具有（s_0=0，s_1=1）和具有（q_0=1，q_1=2）的（s_n）满足递推关系\[X_{n+2}-2（n+2）X_，\]则（s_n/q_n）次指数收敛到Euler-Compertz常数\[\delta-{s_n\ over q_n}=\int_0^{\infty}\，{e^{-x}\ over x+1}\，dx-{s_n\over q-n}=e^{-4\sqrt{n}}\ left（2\pie+O\ left）（n^{-1/2}\ right）\right）\text{as}n\rightarrow\infty。\]
审核人：马塞尔·德布鲁因（哈勒姆）

引用于10文件

MSC公司：

11时70分 连分式和推广
11年60 数论常数的计算
33C60个 超几何积分及其定义的函数（（E）、（G）、（H）和（I）函数）
11层37 定期
11J04型 一个数的齐次逼近

关键词：

欧拉常数;Euler-Compertz常数;Meijer G函数;有理逼近;二阶线性递推;连续分数;Zeilberger的伸缩算法;惠塔克函数;拉盖尔正交多项式

引文：

Zbl 1134.41001号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{Kh.Hessami-Pilehrood}和\textit{T.Hessami Pilehroud}，《数论》133，第2期，769--786（2013；Zbl 1275.11103）
全文： 内政部 arXiv公司

整数序列在线百科全书：

欧拉常数有理近似的分子。
欧拉常数有理近似的分母。

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