"最多包含三个不同数字的正方形"
[帕特里克·德格斯特]

N.J.A.Sloane（2001），部分
整数序列在线百科全书

012	013	014	015	016	017	018	019	024	025
029	034	036	039	045	046	047	048	049	056
059	067	069	079	089	123	124	125	126	127
128	129	134	136	138	145	146	147	148	149
156	158	167	168	169	178	189	234	235	236
239	245	246	247	248	249	256	257	258	259
267	269	279	289	345	346	347	348	349	356
367	368	369	389	456	457	458	459	467	468
469	478	479	489	567	568	569	589	678	679
689	789

图例
工具书类 链接1：http://arxiv.org/abs/2112.00444(萨沙·库尔兹和他的三个学生） 链接2：http://www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathland/概述.htm(Hisanori Mishima先生的网站） 链接3：http://djm.cc/rpa-output/algorithm/digits/squares/tree.digits.s 链接4：https://erich-friedman.github.io/mathmagic/0999.html 链接5：http://www.worldofnumbers.com/em_crump.htm 链接6：http://blue.kakiko.com/mmrmmr/htm/eqtn06.html 链接7：http://www.永生理论.com/NumberTheory/TriDigitalSquares.htm 链接8：网址：http://www.mathmatik.uni-bielefeld.de/~sillke/SEQUENCES/series002 链接9：http://mathforum.org/rec_puzzles_archive/arithmetic/part2 链接10a：https://bbs.emath.ac.cn/forum.php？mod=redirect&goto=findpost&ptid=19296&pid=99359 链接10b：https://github.com/emathgroup/selectedTopics/tree/master/data
三件套	根	方形	来源	图案和零星记录（大多为L⩾17）
0 1 2	A058411号	A058412号	链接2 链接1 链接10	四种无限模式 1(0n个)12= 1(0n个)2(0n个)1  [n个⩾0] 1(0n个)112= 1(0n个)22(0n-1个)121  [n个⩾1] 11(0n个)12= 121(0n-1个)22(0n个)1个[n个⩾1] 101（0n个)10401(0n个)1012= 10201(0n-2个)2101002(0n-4个)110221001(0n-4个)2101002(0n-2个)10201  [n个⩾4] [17] 109599772454600112= [33] 120121101221001210210111000120121 [18] 1100005009089550112= [35] 12100110200221012201210212022010121 [20]1009951019391549797512= [39] 102000121210111101102120011101220022001 [24] 4712877147889716634938992= [48] 222112110111011100020110111110102200012010222201 [29] 100000099999955100100010000012= [57] 100000200000010200110220220200010211120011021020002000001
0 1 3			链接2 链接10	（根溶液不得少于1024 信息来自Hisanori Mishima先生的网站）
0 1 4	A058413号	A058414号	链接2 链接10	六种无限图案 1(0n个)22=1（0n个)4(0n个)4个[n个⩾0] 2(0n个)12= 4(0n个)4(0n个)1  [n个⩾0] 102(0n个)2012= 10404(0n-2个)41004(0n-2个)40401  [n个⩾2] 1(0n个)202（0n个)12= 1(0n个)404(0n-2个)41004(0n-2个)404(0n个)1  [n个⩾2] 201(0n个)1022= 40401(0n-2个)41004(0n-2个)10404  [n个⩾2] 2(0n个)101(0n个)22= 4(0n个)404(0n-2个)11001(0n-2个)404(0n个)4个[n个⩾2] [17]106776120927874622= [33] 114011400004041044011001104401444 [18] 1054231541929997992= [35] 11114041440001011101141014414040401 [19] 37431271837881946522= [38] 14011001114014141144414101441441401104 [22] 31802522547770395385022= [44] 10114004404014444004140001011411401140404004
0 1 5	A058415号	A058416号	链接2 链接10	[17] 234524009549449992= [33] 550015110551505101015151115110001
0 1 6	A058417号	A058418号	链接2 链接1 链接10	三种无限模式 1(0n个)3(0n个)12= 1(0n个)6(0n-1个)11(0n个)6(0n个)1  [n个⩾1] 1(0n个)8(0n个)12= 1(0n-1型)16(0n-1型)66(0n-1个)16(0n个)1  [n个⩾1] 4(0n个)127(0n+2)42= 16(0n-1个)1016(0n-2个)16161(0n-1个)1016（0n+1)16 [n个⩾2] [17] 126493518079452042= [33] 160006101161166601100660666601616 [26] 774700591300020347197007492= [52] 6001610061606011616611060006010661000616100111161001
0 1 7	A058419号	A058420型	链接2 链接10	[16] 84272001145694992= [32] 71017701771000177071770101111001
0 1 8	A058421号	A058422号	链接2 链接10	四种无限模式 9（0n个)12=81（0n-1个)18(0n个)1  [n个⩾1] 1(0n+1)92= 1(0n个)18(0n个)81  [n个⩾0] 1(0n个)4(0n个)12=1（0n个)8(0n-1个)18(0n个)8(0n个)1  [n个⩾1] 1(0n+1)9(0n个)12= 1(0n个)18(0n-1个)101(0n-1个)18(0n个)1  [n个⩾1] [18] 2831609401172446512= [35] 80180118008081811188010188188111801 [18]3316803896536560092= [36] 110011880880801080101881180101808081 [28]29812763711217517379862627512= [55] 8888008801008880800188080010010188818118011188010088001
0 1 9	A058473号	A058474号	链接2 链接10	[20] 436942788245669642512= [40] 1909190001999001011109190090109911991001 [27] 1009900989799999700995000012= [53] 10199000091990191001091091099001091999900190199000001
0 2 3	-	-	-	组合不可能
0 2 4	A058423号	A058424美元	链接2 链接1 链接10	一个无限模式 2(0n个)6(0n个)22= 4(0n-1个)24(0n-1个)44(0n-1个)24(0n个)4  [n个⩾1] [16] 15620628163438322= [31] 2440040242204024220420044444224 [24] 2055247003268565873911682= [47] 42240402444444204240022400420200244000244404224 [27]6340508027279992510050000022= [54] 402020420440020222440222024020044204422022004020000004
0 2 5	A058425号	A058426号	链接2 链接1 链接10	四种无限模式 5(0n个)52= 25(0n-1个)5(0n个)25  [n个⩾1] 5(0n+1个)5052= 25(0n个)505(0n-1个)255025  [n个⩾1] 505(0n+2)52= 255025(0n-1个)505(0n+2)25  [n个⩾1] 15(0n+2)85(0n个)152= 225(0n个)255（0n个)52225(0n-2个)255（0n个)225  [n个⩾2] 法里德·菲鲁兹巴赫特的复杂的图案 [17] 148996711391562452= [33] 222000200055005555555250522500025 [17] 500000500499955052= [34] 2500005005002055502050050520205025 [20] 235000437245384826652= [39] 552252055055220520520522052500505502225 [20] 235585451588701780452= [39] 555005050002525502502022522050000022025 [21] 1501674067666649999852= [41] 22550250055025025225250200022000050000225 [22] 50000005000005002549552= [44]2500005000005252550050255205255020002052025 [22] 50000050049975499999552= [44] 25000050050000550000025505552050220500002025 [23] 449499949999999499999952= [46] 2020502050500020505000050500052500000500000025 [24] 4472417972697210078147652= [48] 200025225225050225520202505522022522200552005225 [25] 50000005004999754999999552= [50] 25000005005000005500225025500555205002205000002025 [27] 5000000000005000005002549552= [54] 250000000000500000500255205000500255205255020002052025 [29] 500000050049999999999550500052= [58] 2500000500500025050020505000050050550050002020502050500025 [29] 500500000049999999999550500052= [58] 2505002500500500000020500505500050500050002020502050500025 [30] 1414220828760672199498050500052= [59] 20000205525005225202000505202222520222202205205000550500025
0 2 6	-	-	-	组合不可能
0 2 7	-	-	-	组合不可能
0 2 8	-	-	-	组合不可能
0 2 9	A058427号	A058428型	链接2 链接10	[17] 963851176739906732= [34] 9290090909029029202290909290992929 [18] 1514001619216737472= [35] 22922009029909029220029029909020009 [21] 1490670655108730886732= [41] 22220990020022929092929022220290920900929
0 3 4	A058429号	A058430型	链接2 链接10	[19] 57732512802002079522= [38] 33330430344333340030340440344044034304 [23] 208327397238179751383622= [45] 434003044400343443044430000434430333044043044
0 3 5	-	-	-	组合不可能
0 3 6	A058431号	A058432号	链接2 链接10	[17] 251071039023481562= [33] 630366666363306003336330636600336
0 3 7	-	-	-	组合不可能
0 3 8	-	-	-	组合不可能
0 3 9	A058433号	A058434号	链接2 链接10	[9]969071253个2= [18] 939099093390990009
0 4 5	A058435号	A058436号	链接2 链接1 链接10	[20] 210821121925769206122= [39] 444455454500400455000455440400550454544 [20] 636399642171128584622= [40] 4050045045555405040055544045540445005444 [22] 66749834797132300059622= [44] 44555404454444540454555540045000554555545444 [26] 212142500221064615745725022= [51]4500444040004440054054450444500544404404054540004 [28] 21084364919070814889395815382= [55] 4445504440405440505004450045555054500055550554550445444
0 4 6	A058437号	A058438号	链接2 链接10	一个无限模式 8(0n个)254(0n+2)82= 64(0n-1个)4064(0n-2个)64644(0n-1个)4064(0n+1)64  [n个⩾2] [18] 6356135985046292622= [36]404004646604004046006460044066664644 [19] 24577763658327432622= [37] 6040664664446006640606666600406400644 [19] 25429629184595792382= [37] 6466660404660460644444606044000660644
0 4 7	A058439号	A058440号	链接2 链接10	[16] 20109883154245522= [31] 4044074004774077447400004400704
0 4 8	A058441号	A058442号	链接2 链接1 链接10	五种无限模式 2(0n个)22= 4(0n个)8(0n个)4  [n个⩾0] 2(0n个)2(0n-1个)22= 4(0n个)8(0n-1个)84(0n-1个)8(0n-1个)4个[n个⩾1] 2（0n-1个)2(0n个)22= 4(0n-1个)8(0n-1个)48(0n-1个)8(0n个)4  [n个⩾1] 2(0n个)222= 4（0n个)88(0n-1个)484  [n个⩾1] 22(0n个)22= 484(0n-1个)88(0n个)4  [n个⩾1] [17] 219199544909200222= [33] 480484404884004840840444000480484 [18] 2200010018179100222= [35] 48400440800884048804840848088040484 [20] 201990218783099595022= [39] 408000484840444404408480044404880088004 [24] 9425754295779433269877982= [48] 888448440444044400080440444440408800048040888804 [29] 200000199999910200200020000022= [57]4000000800000040800440880800040844480044084080008000004
0 4 9	A058443美元	A058444号	链接2 链接10	两个无限模式 (9n个)72= (9n个)4(0n个)9  [n个⩾1] 2(0n个)1(0n个)22= 4(0n个)4(0n个)9（0n个)4(0n个)4  [n个⩾0] [17] 997045605978227532= [34] 9940999404004909449099404004499009 [22] 30157752651590112301382= [43]9094900449944904494440090444449999999499044
0 5 6	A058445号	A058446号	链接2 链接10	[16] 22360814084166662= [31] 5000060065066660656065066555556
0 5 7	-	-	-	组合不可能
0 5 8	-	-	-	组合不可能
0 5 9	A058447号	A058448号	链接2 链接10	[11]707781749972= [22] 5009550055905955950009 [12] 7713951650032= [24] 595050500590005595990009
0 6 7	A058449号	A058450型	链接2 链接10	[20] 260128815524282135762= [39] 676670006660660066767076066770670707776
0 6 8	-	-	-	组合不可能
0 6 9	A058451号	A058452美元	链接2 链接10	[17] 300001011099406142= [33] 900006066606660060090966606696996 [29] 246913142434541140141264123532= [57] 609660999069000006699096996606066090996096009966990996609
0 7 8	-	-	-	组合不可能
0 7 9	A058453号	A058454号	链接2 链接10	[16] 88191722853734972= [32] 77777799799099990007000790009009
0 8 9	A058455号	A058456号	链接2 链接10	[15]3013453319696672= [29] 90809009099908808089808090889 [27]2998316009045725821925183032= [53] 89898988900998890088080098089989880890999988989999809
1 2 3	A030175号	A030174号	链接2 链接10	[20] 568438326761427234892= [40] 3231221313313311221231322223122312333121 [21] 5579635589546259268612= [42] 311323333121312322332133323111223321313321
1 2 4	A053880型	A053881号	链接2 链接10	一个无限模式 (3n个)82= (1n个)4(2n-1个)44  [n个⩾1] [16] 47055737314616712= [32] 22142424142222114221142142112241 [21] 3797662585649548216622= [42] 144222411144424121442444112111142224442244 [28] 11141105979275236264330416682= [55] 1241242424414424212214142144114212224412421422224222224
1 2 5	A031153号	A031153号	链接2 链接10	三种无限模式 (3n个)52=（1）n个)(2n+1个)5  [n个⩾0] 123(3n个)52= 152(1n个)5(2n+2)5  [n个⩾0] (3n个)5044852= (1n个)2251(2n-4个)51515115225  [n个⩾4] [18]1597223388024424892= [35] 25511225512522225551152512152515121 [21] 1245881664209145992852= [41] 15522211212125512112255222511252122511225 [21] 1500516952671696812352= [41] 22515511252551552115222525221211511125225 [23] 348169803724450121233352= [46] 1212222122255221215111111512151155125251522225 [25] 11023409252683697410323352= [49] 1215155515521525522215211555521512552151515552225 [28] 46381625160461175038226203352= [56] 21512551525255251211125255525551555121211151225555512225
1 2 6	A053882号	A053883号	链接2 链接10	[20] 471302685821555935962= [40] 2221262216626122626662262611111116211216 [26] 515956985728716170094329542= [52] 2662116111222626216162621266666216222222216621166116
1 2 7	A053884号	A053885美元	链接2 链接10	[18] 1308349044300152392= [35] 17117772217211221211117217772227121
1 2 8	A053886号	A053887号	链接2 链接10	一个无限模式 (3n个)592= (1n个)28(2n-1个)881个[n个⩾1] [17] 286161006920611412= [33] 818881218818182112888822882221881 [17] 333500841350989892= [34] 1112228111818181281181888828822121 [19] 14909098325613853912= [37] 2222812128828218222281282181228222881 [20] 343776421691669848912= [40] 1181822281111288118221882821111822281881
1 2 9	A053888号	A053889号	链接2 链接10	[17] 999610989294891272= [34] 9992221299191112291912929211222129 [18] 4595565244114395112= [36] 211192199129121999192121999211919121 [27] 1453031311497769862491678392= [53] 21112999921929291129929211912291229929191119991929921
1 3 4	A053890号	A053891美元	链接2 链接10	[20] 210794054335371165212= [39] 444341333431434111311131411343131143441 [30] 1773248751146694430800869081882= [59] 31444111334433114334141133143444444313434111431113141443344
1 3 5	-	-	-	不可能，因为所有3位数都是奇数
1 3 6	A053892号	A053893号	链接2 链接10	[17] 182665448748146312= [33]333666661663616663311166611666161 [29] 115376064821364102185127606942= [57] 133116363336636111166666336113333136136363666113311361636
1 3 7	-	-	-	不可能，因为所有3位数都是奇数
1 3 8	A053894号	A053895号	链接2 链接10	[24] 2860740955275106936108912= [47] 81838388131883313833383381811133318888113813881
1 3 9	-	-	-	不可能，因为所有3位数都是奇数
1 4 5	A053896号	A053897号	链接2 链接10	[14] 735604795060122= [28] 5411144145154411455544144144
1 4 6	A027677美元	A027676号	链接2 链接9 链接10	[19] 12900172146570045462= [37] 1664144414111416144464164661464666116 [21] 3757208286968017748922= [42] 141166141116611464114116414644641441611664 [21] 8025656449253509142292= [42] 644111614414444441664646611416446114664441 [22] 40510672845765801306962= [44] 16411146144166666464466464146441416441444416 [23] 107893981116483808527042= [45] 116411111611641646616166611414441166144111616 [30] 1055673456432736879826113676082= [59] 11144464466166416111166414141141166144146161144464111641664
1 4 7	A053898号	A053899号	链接2 链接10	[19] 10710330281750285382= [37] 1147111747441771474111741117114417444 [22] 21774920842897259024122= [43] 4741471777144414774147714111744447747417744
1 4 8	A053900型	A053901号	链接2 链接10	[18] 2848001898083791912= [35] 81111148114888814414411114441814481 [19] 21176428911443364782= [37] 4484411414414144114118188814881444484 [19] 64351470991823060592= [38] 41411118188114448414441181181148111481 [25] 13469005573606692258417792= [49]18141411114184811411488184148411114184811414184841 [28] 22094837591197901459200229882= [55]488818184818141188448114888448441841181488184448448144
1 4 9	A027675号	A006716号 * （*由 尼尔·斯洛恩)	链接2 链接9 链接4 链接10	[18] 6480702115891070212= [36] 419994999149149944149149944191494441
1 5 6	A053902号	A053903号	链接2 链接10	一个无限模式 (3n个)42= (1n+1)(5n个)6  [n个⩾0] [17] 124720311760579542= [33] 155551561656561551165551166666116 [19] 24822704638317852162= [37] 6161666655611666116165616661556166656 [20] 125160363356821761692= [39] 156651165556116515661615565555551516561 [21] 2581000032190268428692= [41] 66615611661661666651111615111161616151161 [23] 742405654286197264792962= [46] 5511661555161166511651661611666516615516655616
1 5 7	-	-	-	不可能，因为所有3位数都是奇数
1 5 8	A053904号	A053905号	链接2 链接10	[19] 33992919583576796412= [38] 11555185818155188818511188881585888881 [22] 24122371589705096431092= [43] 5818888111118115811551585855811558551185881
1 5 9	-	-	-	不可能，因为所有3位数都是奇数
1 6 7	A053906号	A053907号	链接2 链接10	[10] 12929314242= [19] 1671671667166667776
1 6 8	A053908号	A053909号	链接2 链接10	[17] 127234689130605462= [33] 161886661181618111866616661818116 [18] 1269315508893933812= [35] 16111618611186661611161686166611161 [21] 4314952678612696196042= [42] 186188166186668818681818186188818861116816 [25] 10807942041325984145685412= [49] 1168116111686616811868118886618818666111186868681
1 6 9	A053910号	A053911型	链接2 链接10	[19] 30199274820252169372= [37] 9119961996691166966116961161911661969 [19] 40825129479233732362= [38]16666911969961991191619191116961111696 [21] 4119004369015647447372= [42]169661969919699919691616999616691969199169 [23] 341496700129249667131872= [46] 1166199961991666696199696161116991961919696969 [30] 2482168640920610206575133994372= [59] 61611611619696691696969619616966119999999161919199911916969
1 7 8	A053912号	A053913号	链接2 链接10	[9] 1057691412= [17] 11187111187877881 [9] 2790678912= [17] 77878887787187881
1 7 9	-	-	-	不可能，因为所有3位数字都是奇数
1 8 9	A053914号	A053915号	链接2 链接10	[16] 29698483446098592= [31] 8819999189981919818818919999881
2 3 4	A053916号	A053917号	链接2 链接10	[15] 2054833920866682= [29] 42223424423443333243223342224
2 3 5	A053918号	A053919号	链接2 链接10	[18] 1597890244433335152= [35]25532532332552235533223325522255225 [27] 5763874766380964869594556352= [54]3322225232252322235332222532253255253352335533253225
2 3 6	A058457号	A058458号	链接2 链接10	[16] 25146025992841562= [31] 6323226232326633633323632632336 [27] 2514621765521053928234578062= [53] 63233226236322223226263332266636366232262662262333636
2 3 7	-	-	-	组合不可能
2 3 8	-	-	-	组合不可能
2 3 9	A053920美元	A053921号	链接2 链接10	[19] 18146412852111956732= [37] 3292922993992939999922923222293922929 [20] 149406468843868745732= [39] 223222929323939222223332232999233932329
2 4 5	A031154号	A031152号	链接2 链接10	三种无限模式 (6n个)52= (4n个)(2n+1)5  [n个⩾0] (6n个)5152=（4n个)24(2n-1型)45225  [n个⩾1] 2(3n个)52= 5(4n-1个)5(2n+1)5  [n个⩾1] [22] 15669851704635096658382= [43] 2455442524452554445254444455245254424242244 [22] 50224053255809852293352= [44] 25224555254424242244454444254455442544542225 [22]50422767203373045564852= [44] 25424554524455524225542255422225542555555225 [24] 1566022111770633825664852= [47] 24524252545545555425452252442555424225445255225 [24] 4735456181353834724283382= [48] 224245452455222424254455242452522555442545442244 [27] 2127069449389122424959463322= [53] 45244244425245444452555552444225545225555452224254224
2 4 6	A053922号	A053923号	链接2 链接10	一个无限模式 (6n个)82= (4n个)6(2n个)4  [n个⩾0] [17] 149887433311283382= [33] 224662426646444226244244226642244 [18]211335426908136682= [35] 44662662666442262666444262424462224 [19]49645409276635704322= [38] 24646666622446664464662466646224666624 [22] 80152644524458609073382= [44] 64244464242642246466444266646244264622246244 [25] 15628264978693003534705682= [49] 2442426662442422262266222264624646466242442242624 [26] 471447390982754558956045682= [52] 2222626424644462446266642442624422642664422222466624 [27] 1631761698975203984563498382= [53] 26626462422424442244464226222466224666246222642626244 [30] 1620625386220462184656183354322= [59] 26264266424622222222622644266266266222662426642466466626624
2 4 7	A058459号	A058460型	链接2 链接10	[11] 880024115822= [22] 7744424444247727742724 [17] 471460223586754182= [34] 2222747424244722424422447477474724
2 4 8	A027679号	A027678号	链接2 链接9 链接8 链接10	[18] 6696448524764816622= [36] 448424228448248888288442822222282244 [20] 205971466088020183382= [39] 424242448424484484244824228422488282244 [23] 537107274650813334545222= [46] 2884842244828242284244242842824284482242248484 [25] 20694160587683237277020222= [49] 4282482824288222284288288882288482848444822888484 [27]1491404989545912183122716622= [53] 22242888428424424282282224442842448448442222888242244 [29]205981171184364038775267920222= [58] 424282428824822822284282828848288484482824448422442848484
2 4 9	A053924号	A053925号	链接2 链接10	[21] 2224684904484885078072= [41] 49492229242429222429494944494949499949249 [21] 5472595309743814708382= [42] 299492994242299992492444422992424244422244
2 5 6	A030486号	A030484号	链接2 链接10	[18] 2371123206884588752= [35] 56222252622266562625655622566265625 [18] 2573951286761710752= [35] 66252252266222665256252522666655625 [18] 7453559904942505162= [36] 555555552565665265566665252566266256 [19] 74533631774892414842= [38] 55552622655552522252252226565666522256 [20] 807815915015454289252= [40] 6525665525522556666225656625562226655625 [21] 2286180715224117331252= [41] 52266222626626566662522622656666222265625 [24] 2377503443165251287004752= [47] 56525226222626252566552565525652262562265225625 [24] 5162912217495686092284652= [48] 266556625655662226525525225552225265562566256225 [26] 814016373454653955129914842= [52] 6626226562522666562566262626266252566552622656522256 [29] 149206744573513238572641965852= [57] 222626526262256222655556652225555252265566656525525662225 [29]235080125971173210855331170752= [57] 552626656266226655522226225556662256522626266565656555625
2 5 7	A030487号	A030485号	链接2 链接10	一个无限模式 1(6n个)52= 2(7n个)(2n+1)5  [n个⩾0] [18] 8701853571370454152= [36] 757222555775727275772757755772522225 [26]521749245572787125209439152= [52] 2722222752557725255755757775775772222257522575527225
2 5 8	A053926号	A053927号	链接2 链接10	[18] 1590133921662645852= [35] 25285258888222255288288552225222225
2 5 9	A053928号	A053929号	链接2 链接10	[17] 771702852478175652= [34] 5955252925229529299525595522529225 [19] 97943655026547051732= [38] 95929595599592555525252922555552959929 [22] 15986010204413092565652= [43] 2555525222555995255555255252529952995599225 [26] 304843488125505516090884852= [51]9292955225252522259252255992995295559999252559595225 [26] 769759438370167236688175652= [52]5925295295295295529229522992229592952529595925252529225
2 6 7	A058461号	A058462号	链接2 链接10	[18] 1505731638647014242= [35] 22672277676226226672276776667627776
2 6 8	-	-	-	组合不可能
2 6 9	A053930号	A053931号	链接2 链接7 链接5 链接1 链接10	[20] 788836041261377855772= [40] 6222622999929222269696699966269229222929 [23] 475671028088705674356732= [46] 2262629269629662226292666922999622262992962929 [26] 263950739153406469484702642= [51] 696699926996296229992699669262629222696929692229696
2 7 8	-	-	-	组合不可能
2 7 9	A053932号	A053933号	链接2 链接10	[11] 149073043272= [21] 222227722297792922929 [27] 8502818519745257268951706732= [54] 722979227797229279772792797979272222799797729799272929
2 8 9	A053934号	A053935号	链接2 链接10	[13] 54058291676672= [26] 29222988989999289998222889 [26] 173201856020623604697017672= [51] 299988829289888292222928892882898892999989922922289
3 4 5	A053936美元	A053937号	链接2 链接10	[20] 213432317968587979622= [39] 455533543534444433554534333443535353444
3 4 6	A053938号	A053939美元	链接2 链接10	[17] 668179963510090922= [34] 4464644636363464333646646666664464 [19] 66666808333280313442= [38] 44444633333463334436443663666646446336
3 4 7	A058463号	A058464号	链接2 链接10	[17] 211503516395764622= [33] 447337374477734734334374744437444 [20] 209134967122510331882= [39] 437374344733334774447744773373477443344 [22] 18648789168300830393122= [43] 3477773374437343773773333743737447337433344 [27] 2710061500657222627032893122= [53] 73444333373444774773333473377377773344743344373433344
3 4 8	A053940美元	A053941号	链接2 链接10	[19] 69529482123330135222= [38] 48343488843384848488834343333834844484 [25] 59063004023960585668100622= [50] 34884384443343843348888488484833488344838384443844
3 4 9	A053942号	A053943号	链接2 链接10	[21] 1856056168178915846072= [41] 34449444994349999433343349994949439344449
3 5 6	A053944号	A053945美元	链接2 链接10	[17] 235279267177397842= [33] 553563335635333565566365536366656
3 5 7	-	-	-	不可能，因为所有3位数都是奇数
3 5 8	-	-	-	组合不可能
3 5 9	-	-	-	不可能，因为所有3位数都是奇数
3 6 7	A053946号	A053947号	链接2 链接10	[17] 252263231038064242= [33] 636367377337637773373677663667776 [19] 19329675029170494742= [37] 3736363367333373666777367633763676676
3 6 8	A058465美元	A058466号	链接2 链接10	[15] 1835392788121562= [29] 33686666866886336386333368336
3 6 9	A053948号	A053949号	链接2 链接10	[23] 184300479208275355731872= [45] 339666666363999366939366969366969936633336969 [26] 310472864568446136471793862= [51] 963933996333366963633963999333393696336393663336996
3 7 8	-	-	-	组合不可能
3 7 9	-	-	-	不可能，因为所有3位数都是奇数
3 8 9	A058467号	A058468号	链接2 链接10	[12] 1999749581672= [23] 39989983893893399999889
4 5 6	A030177号	A030176号	链接2 链接1 链接10	[17] 254256672786488842= [33] 646464556564556546656456554445456 [21] 2376056911242982931122= [41] 56456464454655444665444666454556666644544 [23] 752692198408197702945922= [46] 5665455455445656566644565645546455454464446464 [24]6757548110569887429497842= [48] 456644564666666555445565455644644555565545646656 [26]25781108355916284179757382= [51] 664665545464645645665646644665564654546645556644644
4 5 7	A053950号	A053951号	链接2 链接10	[16] 86298635839493882= [32] 74474545477575775744575745574544 [29] 273414473931894186316755075882= [57] 747554745554544455555455747745774457774554454557445577744
4 5 8	A053952号	A053953号	链接2 链接10	[15] 7671758980565382= [30] 588558858558855585845444545444 [30] 2930611855037247266842022226222= [59] 85884858448848555885485448555548484845848584584884848554884
4 5 9	A053954号	A053955号	链接2 链接10	[24] 7039570014918950999626432= [48] 495555459949459999994555545994544549499995545449
4 6 7	A053956号	A053957号	链接2 链接10	[18] 2538631017787867622= [35] 64446474444746646444646744666444644 [24] 8152770354097230288588922= [48] 664676644466466777446466766667744446667647467664
4 6 8	A053958号	A053959美元	链接2 链接10	[20] 262043215299817843782= [39] 686666466846666884868486448488884846884
4 6 9	A053960型	A053961号	链接2 链接10	[21] 9999973233211674451872= [42] 999994646649499499946646996649944649464969 [23] 222365614466276000406142= [45] 494464664969644944649644494946666694449496996 [25] 97182635791930261190752642= [50]94444646994669646646969664664969996646496669696
4 7 8	A053962号	A053963号	链接2 链接10	[19] 92080642639345689382= [38] 84788447488748874848488744487874447844 [20] 220191935534625061222= [39] 484844884744844787448744774844887478884
4 7 9	A053964号	A053965号	链接2 链接10	[10] 88191710382= [20] 77777777797497997444 [27] 8659965356615451261937253572= [54] 749949999777797799497449749797947997449449477944777449
4 8 9	A053966号	A053967美元	链接2 链接10	一个无限模式 (6n个)72= (4n+1)(8n个)9  [n个⩾0] [10] 66700816672= [20] 44489989444449498889 [26] 307327185583215040908860222= [51] 944499989984998988844994898844848999494444994984484
5 6 7	A053968号	A053969号	链接2 链接10	[18] 8158166310915564242= [36] 665556775565576667756557666775667776 [21] 8818541022004584833342= [42] 777666657567776675657756675676567555755556 [22] 25623537358367533905262= [43] 6565656667556566576676575665776756666556676
5 6 8			链接2 链接10	只有这一个相当平凡的解决方案是已知的 [三] 8162= [6] 665856
5 6 9	A053970号	A053971号	链接2 链接10	[18] 8340237226635502362= [36] 695595569965566559565695699695655696
5 7 8	-	-	-	组合不可能
5 7 9	-	-	-	不可能，因为所有3位数都是奇数
5 8 9	A058469号	A058470型	链接2 链接10	[11] 924964315832= [22] 8555589855588599885889
6 7 8			链接2 链接10	（10以下无根溶液25 信息来自Hisanori Mishima先生的网站）
6 7 9	A053972号	A053973号	链接2 链接10	[16] 98319772567255262= [32] 96667776776767999797799699976676
6 8 9	A053974号	A053975号	链接2 链接10	[22] 25881840486852357673832= [43] 6698696669868698868988986669668968886668689
7 8 9	A058471号	A058472号	链接2 链接10	[16] 99493707779879172= [32]9898998788777879888789778997998889

---

法里德·菲鲁兹巴赫特(电子邮件) (1962–2019 †)
A058426（数字为0,2和5的正方形）
[2008年9月12日20:37]

---

我发现以下有趣的数字无限模式米这样的话
的数字米²是0,2&5表中没有提到的

a（n）=4.4.（9_2^1–1).4.(9_2^2–1).4.(9_2^三–1). ... .4.(9_2^n个–1).5      [n个>0]

b（n）=a（n）²= {20} . {20.5.(0_2^1–1)} . {20.5.(0_2^1–1).5.(0_2^2–1)} . ... . {20.5.(0_2^1–1).5.(0_2^2–1) . ... . 5.(0_2^n个–1)} . {25}

示例：

a（1）=4.4.9.5=4495

b（1）={20}。｛2050｝。{25} = 20205025

a（2）=4.4.9.4.999.5=44949995

b（2）={20}。{2050}.{20505000}.{25} =2020502050500025

a（3）=4.4.9.4.999.4.9999999.5=4494999499999995

b（3）={20}。{2050}.{20505000}.{2050500050000000}.{25} = 20205020505000205050005000000025

a（4）=4.4.9.4.999.4.9999999.4999999999.5=449499949999999999999995

b（4）={20}。｛2050｝。{20505000}.{2050500050000000}. {20505000500000005000000000000000}.{25}

        = 2020502050500020505000500000002050500050000000500000000000000025

我希望模式和示例是清楚的。

最美好的祝福，
法里德

---

法里德·菲鲁兹巴赫特(电子邮件) (1962–2019 †)
A058426（带数字0,2和5的正方形）
[2008年12月16日17:22]

---

对于[1，我还发现了以下类似的模式a（n，k）<k个<n个+1 ].

a（n，k）= 4.4.(9_2^1–1).4.(9_2^2–1).4.(9_2^三–1). ... .4.（9）_2^n个–1).4（9）_2^k个–2).5      [1 <k个<n个+1]

b（n，k）=a（n，k）的公式²比b（n）更复杂。

我在以下示例之后编写了b（n，2）的公式：

a（2,2）=4.4.9.4.999.4.99.5=44949994995

b（2,2）=2020502050050525050025

a（3，2）=4.4.9.4.999.4.9999999.4.99.5=4494999499994995

b（3，2）=202005020505000020500500500500500025050025

a（3，3）=4.4.9.4.999.4.9999999.4999.5=44949994999999949999995

b（3，3）=20200502050500002050500500500500052500000500000025

a（4，2）=4.4.9.4.999.4.9999999.4.9999999999994.99.5

=449499949999999949999999999999994995

b（4，2）=202005020505000020505000050050005000000020500500500500500050000500500000000000025050025

a（4，3）=4.4.9.4.999.4.9999999.4.9999999999994.999999.5

            = 449499949999999499999999999999949999995

b（4，3）=202005020505000020500500050000000205050000500055000000500000002500000500000025

a（4，4）=4.4.9.4.999.4.9999999.4.9999999999994.99999999999.5

            = 44949994999999949999999999999994999999999999995

b（4，4）=2020050205050000205050000500500050000000205050005000000050500050000550000000525000000000000000000000025

b（n，2）用于[n个>2]，包括2n个子字符串，我用“.”分隔它们，并将它们放在
在括号之间，如下所示。

b（n，2）=

{20205}.

            {(0_2^1–1).205}.

            {(0_2^1–1).5.(0_2^2–1).205}.

｛（0_2^1–1).5（0_2^2–

1).5.(0_2^三–1).205}.

            ... .

            {(0_2^1–1).5.(0_2^2–1).5.(0_2^三–1). ... .5.(0_{2^（n–1）–1}).205}.

{00505}.

            {5005.(0_2^三–4)}.

            {5005.(0_2^4–4)}.

            ...

            {5005.(0_2^n个–4)}.

{25050025}

示例：

b（3.2）=a（3.2）²=

{20205}.

            {(0_2^1–1).205}.

            {(0_2个^1–1).5.(0_2个^2–1).205}.

{00505}.

            {5005.(0_2^三–4)}.

{25050025}

=

20205.

            0205.

            0.5.000.205.

00505.

            5005.0000.

25050025.

=20205020505000205005055005000025050025

b（4,2）=a（4,2中）²=

{20205}.

            {(0_2^1–1).205}.

            {(0_2^1–1).5.(0_2^2–1).205}.

            {(0_2^1–1).5.(0_2^2–1).5.(0_2^三–1).205}.

{00505}.

｛5005.（0_2^三–4个)}.

            {5005.(0_2^4–4)}.

{25050025}

=

20205.

            0205.

            0.5.000.205.

            0.5.000.5.0000000.205.

00505.

            5005.0000.

            5005.000000000000.

25050025

=2020502050500020505000500000002050050550050000500500000000000025050025

希望b（n，2）的公式和示例是清楚的。

最美好的祝福，
法里德

---

法里德·菲鲁兹巴赫特(电子邮件) (1962–2019 †)
A058426（带数字0,2和5的正方形）
[2008年12月19日16:22]

---

我还发现了一个很好的b（n，k）公式：

b（n，k），[1<k个<n个] :

b（n，k）=

{20}.

            {20.5.(0_2^1–1)}.

            {20.5.(0_2^1–1).5.(0_2^2–1)}.

            {20.5.(0_2^1–1).5（0_2^2–1).5（0_2^三–1)}.

            {20.5.(0_2^1–1).5.(0_2^2–1).5.(0_2^三–1).5.(0_2^4–1)}.

            {20.5.(0_2^1–1).5.(0_2^2–1).5.(0_2个^三–1).5.(0_2^4–1).5.(0_2^5–1)}.

            ...

            {20.5.(0_2^1–1).5.(0_2^2–1).5.(0_2^三–1).5.(0_2^4–1). ... .5.(0_{2^（n–1）–1})}.

{20.5.(0_2^1–1).5.(0_2个^2–1).5.(0_2个^三–1). ... .5.(0_{2^（k–2）–1}).5.(0_{2^（k–1）}).

                        5.(0_2^1–1).5.(0_2^2–1).5.(0_2^三–1). ... .5.（0_{2^（k–2）–1}).5.(0_{2^（k–1）–1}).5}.

            {5.(0_2^k个–2).5.(0_{2^（k+1）–2^k个})}.

            {5.(0_2^k个–2).5.(0_{2^（k+2）–2^k个})}.

。。。

            {5.(0_{2个^k个–2}).5.(0_{2^n个–2^k个})}.

{25.(0_2^k个–3).5.(0_2^k个–2).25}

和

b（n，n）[n个> 2 ] :

b（n，n）=

{20} 。

            {20.5.(0_2^1–1)}.

            {20.5.(0_2^1–1).5.(0_2^2–1)}.

｛20.5.（0_2^1–1).5.(0_2^2–1).5.(0_2^三–1)}.

            {20.5.(0_2^1–1).5.(0_2^2–1).5.(0_2个^三–1).5.(0_2^4–1)}.

｛20.5.（0_2^1–1).5（0_2^2–1).5.(0_2^三–1).5.(0_2^4–1).5.(0_2^5–1)}.

            ...

            {20.5.(0_2^1–1).5.(0_2^2–1).5.(0_2^三–1).5（0_2^4–1). ... .5.(0_{2^（n–1）–1})}.

{20.5.(0_2^1–1).5.(0_2^2–1).5.(0_2^三–1). ... .5.(0_{2^（n–2）–1}).5.(0_{2^（n–1）}).

                        5.(0_2^1–1).5（0_2^2–1).5（0_2^三–1). ... .5.(0_{2^（n–2）–1}).5.(0_{2^（n–1）–1}).5}.

{25.(0_2^n个–3).5.(0_{2^n个–2个}).25}

---

尊敬的法里德,

你在那里发现了多么复杂美丽的图案啊！谢谢！

---

法里德·菲鲁兹巴赫特(电子邮件) (1962–2019 †)
A058426（带数字0,2和5的正方形）
[2009年2月24日9:24]

---

由于以下六个数字是无限模式的解，因此它们
不得出现在零星溶液表中。

一点四四九五
二点四九四九九九五
3. 4949994995
4. 4494999499499995
5. 4494999499999995
6. 4494999499999994995

数字44949994999999949999995不是我的无限模式的解。

帕特里克回答：

但你确定最后一个数字不能成为其中的一部分吗
无限模式。也许它看起来和其他的很相似
对你的模式进行“不知何故”的改编也可能包括这一个？

---

法里德·菲鲁兹巴赫特(电子邮件) (1962–2019 †)
A058426（数字为0,2和5的正方形）-新图案
[2009年2月26日4:29]

---

1
对于每个自然数n个, [n个>1]存在n个数字米以下各项
表单，其中米²只有三个不同的数字0,2&5.

44.(9_2^1–1).4(9_2^2–1).4. ... (9_2^n个–1).4.99.4.(9_k个)第5条

在哪里？k个在集合中A类(n个)= {2^三–2,2^4–2, ...,2^n个–2,2^（n+1）–4,2^（n+1）+2个}.

请注意A类(n个)有n个元素和A类(2)只有最后两个条件。

因为[n个>2]我们有分钟(A类(n个))=6且仅[n=2]min(A类(n个)) = 4,
我考虑了与A类(2)={4,10}即4494999499499995&
4494999499499999999995作为两种零星的解决方案。

但正如您所料，我们可以包括这两个解决方案，特别是第一个
对应于4（A类(2))，在这些无限的模式中。

假设我-第项（按递增顺序）A类(n个)=A类(n个,我)现在我们定义：

c（c）(n个,我) = 44.(9_2^1–1).4(9_2^2–1).4. ... (9_2^n个–1).4.99.4.(9_{A类(n个,我)}).5

和

复写的副本(n个,我)=c（c）(n个,我)².

示例：

c（c）(2,1) = 44.(9_2^1–1).4.(9_2^2–1).4.99.4.(9_A类(2,1)).5

c（c）(2,2) = 44.(9_2^1–1).4.(9_2^2–1).4.99.4.(9_A类(2,2)).5

c（c）(三,2) = 44.(9_2^1–1).4.(9_2^2–1).4.(9_2个^三–1).4.99.4.(9_A类(三,2)).5

A类(2,1)=2个^(2+2)–4个=4;A类(2,2)=2^(2+2)+2个=10;A类(三,2)=2^(3+1)–4=12

因此，

c（c）(2,1) = 4494999499499995
c（c）(2,2) = 4494999499499999999995
c（c）(三,2) = 44949994999999949949999999999995

复写的副本(2,1) = 20205020500505205550255005000025
复写的副本(2,2) = 20205020500505250500205050005005000000000025
复写的副本(三,2) = 2020502050500020500505500500002055502550000000500500000000000025

2
对于每个自然数n个，存在一个数字d日(n个),

d日(n个) = 5.(0_{3*2^（n–1）–1}).5.(0_{3*2^（n–2）–1}). ... . 5.(0_3*2^0–1).49995505,

哪里日(n个)=d日(n个)²只有三个不同的数字0,2&5.

请注意，我们有d日(n+1) = 5.(0_3*2^n个–1).d日(n个)和的位数d日(n个)等于
8+ (3*2^0+3*2^1+ ... +3*2个^（n-1）)=3*2^n个+5.

所以对于序列{d日(n个)}我们得到了以下递归关系。

d日(1) = 50049995505,d日(n+1)=d日(n个) +5*10^(3*2^（n+1）+4).

示例：

d日(2) = 5.(0_3*2^1–1).5.(0_3*2^0–1).49995505 = 50000050049995505
日(2) = 2500005005002055502050050520205025

d日(三) = 5.(0_3*2个^2–1).5.(0_3*2^1–1).5.(0_3*2^0–1).49995505
d日(三)=50000000000050000050049995505
日(三) = 2500000000005000005005002050505005002055502050050520205025

d日(4)=d日(三) +5*10^(3*2^4+4)=50000000000050000050049995505+5*10^52
d日(4) = 50000000000000000000000050000000000050000050049995505.

---

安妮·扎恩(电子邮件)
报告模式0 1 8中的错误。
[2021年6月12日20:37]

---

你好，
我在这个网页的表格中发现了一个错误。其中一个无限模式是错误的。
对于三0 1 8，有模式1（0_n个)4(0_n个)1²=1（0_n个)818(0_n个)8（0_n个)1[n>=1]这是不对的。
它应该是1（0_n个)8(0_n-1个)18(0_n个)8(0_n个)1 .

---

赵慧都(电子邮件)
更新最多包含三个不同数字的方块
[2024年3月1日至2日7:00]

---

你好，帕特里克，
我搜索了最多包含三个不同数字的正方形的问题
并找到所有长度小于27位的结果。
结果可在中文论坛上获得（参见链接10）。

---

我认为我们应该感谢集成电路行业的发展所取得的成就。
C++代码与“openmp”一起使用，在40核的机器中运行，以处理一个模式
（给定3位数的正方形）其基数不超过27位数（因此正方形不超过54位数）
该代码首先枚举所有整数，以便其方块的最后16位在模式中。
接下来，它枚举模式中前16位数字的正方形，并求其平方根。
对于目标整数，两个整数列表的某些数字应该重叠，以便我们可以
在第一个列表中搜索那些数字重叠的整数，并验证结果。
相应的C++代码也在BBS中。
https://bbs.emath.ac.cn/forum.php？mod=viewthread&tid=19296&page=9#pid99352

---

赵慧都(电子邮件)
第二次更新
[我是2024年6月3日23:52]

---

所有结果现在都不超过30位，例如
[30] 177324875114669443080086908188^2 = [59] 31444111334433114334141133143444444313434111431113141443344

---

[ 页面顶部]

---

[( 1996 - 2024 )]（©保留所有权利）-上次修改日期：2024年3月8日。

---

Patrick De Geest-比利时-简短的个人简历-一些图片
电子邮件地址：pdg@worldofnumbers.com

---