相关链接（在此网站之外）

(2001-11-19)  什么是连分数？

其他相关概念也曾共享过这个名称，但现代术语几乎只指以下类型的表达（称为简单的和/或有规律的)我们用最流行的超越数来说明：第页，的圆的周长与直径之比以下为：

	第页=========================================================3 +	1
		7 +	1
			15 +	1
				1 +	1
					292 +	1
						1 +	1
							1+。。。

省略号（…）表示表达式是继续的无限期。对于无理数，如第页,有一个无限的所谓的序列偏商以下为：3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, ...A001203号. 除了第一个可能的例外，所有这些都是积极的整数。

偏商序列很容易获得：在顶层，数字（此处第页)被视为它是第一个偏商和一些明显小于一的表达，所以第一偏商只是数字的整数部分（简单）。减去那个从数字中，你会得到一个（非负）小于一的小数部分。 当它不是零时，分数部分有一个相互的哪个数字大超过一个。对这个新号码应用相同的程序；不可分割的部分是第二偏商,余数的倒数是下一个数字迭代过程的依据当剩下的[或任何后续的]结果为零，进程终止右边的表达式是有限的。 当原始数字是有理数时，就会发生这种情况，否则程序会一直进行下去。。。

用于连分数的紧凑符号膨胀数字的以下面的例子为例。 注意第一个商后面的分号[提醒大家，这可能不是积极的]省略表示不完整。

第页=[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1 ...]

如果上述过程与有理数一起使用，则展开是有限的，并且这个最后的偏商不能是一（否则我们应该在前面的商上加一个单位）。然而，以1结尾的有限展开通常从以下公式中获得这个截断更大（可能无限）的扩展。例如，[3；7，15，1，292，1]是上述的截断，等于适当的连分数[3；7，15，1293]或104348/33215。

(2001-11-19)  实数的收敛性
The 最佳有理逼近到给定的实数。

有理值，其[有限]连分式展开是给定数的连分式展开称为收敛的这个数字。 （如上所述，适当的连分数的截断需要只要最后一项是统一的，就加上最后两项。）

尽管鉴于收敛可能以一种明显的方式“从底部”计算出来，通常最好生成收敛序列“从顶部”，以P形式计算每个收敛_n个/问_n个，开头为：

P（P）₀=a₀、Q₀= 1和P（P）₁=a₀一₁+1、Q₁=a₁。

以下递归关系（由于欧拉)可能显示为保持：

P（P）n个		一n个P（P）n-1个+P（P）n-2个
问n个		一n个问n-1个+问n-2型

出于编程和其他目的，最好从以下位置开始上述循环n=0（而不是n=2）通过引入以下约定：

P（P）_-2=0，Q_-2= 1和P（P）_-1=1，Q_-1= 0

好吧，我们跳过了枪口。。。 更恰当的做法是将上述循环写成两种不同的关系，分别将分子和分母形式等同。 然后可以使用这对等式建立以下关系[提示：将分子乘以Q_n-1个 并从每个匹配分母中减去乘以P_n-1个 得到下面的第一个方程，这是一个递归关系，可以用来证明第二个等式。]

P（P）n个问n-1个-问n个P（P）n-1个	=	-( P（P）n-1个问n-2个-问n-1个P（P）n-2型)
	=	-(-1)n个

除其他外，这表明P_n个和Q_n个 是互质. 所以，P_n个和Q_n个都已下定决心按比例计算。 因此，欧拉递归确实直接给出了不可约的收敛序列的表示。 毕竟，这是明确的。。。 它可以被看作是从不可约函数获得下一个收敛性的方法两个连续收敛的表示及下一个收敛的值偏商。

我们的最后一个恒等式还表明了两个连续收敛的差是一个单位分数（即分子为单位的分数，也称为古埃及分数) 第n次收敛P（P）_n个/问_n个在中第1季度_n个问_n+1个关于整个连分数x。

A类著名的结果(1936)第页，共页保罗·莱维(1886-1971;X（X）1904年），的几乎所有数字x（在讨论的意义上在下面) Q的极限_n个^1/n个等于经验(第页² / (12 第2层) ). 因此，对于几乎所有x（x）：

极限| x-P_n个/问_n个|^1/n个  =  经验(-第页²/（6英寸2）  =   0.093187822953575873362328...

连续的收敛一个数字的最佳可能有理逼近 从以下意义上说：分母为低于某个给定的量，即最接近你的分数数字是总是它的收敛点之一。 连续收敛是从下面交替逼近（最粗糙的是整体部分）和上面的近似值。 例如第页分别为：(A002485型 / A002486号)

The 大胆的它们是常用的近似值特别有趣，因为它们对应于之前的截断相当大的偏商（即15或292）。 这是十进制扩展的模拟刚好在9或0（甚至是9或0的字符串）之前取整。 发现值22/7是的上限第页阿基米德（约公元前287年-公元前212年）。 因为292作为偏商是异常大的，355/113是一个很好的近似值（7位正确数字，相对误差仅为+85 ppb）。 它是由中国数学家发现的祖冲之(429-500) 但直到16世纪，在西方仍无人知晓。

另一方面，333/106是一个相当糟糕的破纪录者（考虑到106不小于113）因为它对应于最坏的截断类型（在扩展中前面加“1”）。大约少312倍精确到355/113，因此从未用作有理数近似值第页. 333/106最初被证明是下界第页，共页第页 1583年左右阿德里亚·安托尼斯佐恩(1527-1607).

1766年，约翰·海因里希·兰伯特（Johann Heinrich Lambert，1728-1777）证明了第页是一个无理数：由扩大tg（h）作为连分数，他确立了有理数的正切总是无理的，所以第页/4不可能是有理的，因为它的切线是有理数1Lambert列出了第页. 其中前25个是正确的，但后两个不是。 不幸的是，现代作家忽视了这个错误在没有适当警告读者的情况下复制了兰伯特的名单[Lambert的未修正列表显示在第171页，共页贝克曼很受欢迎”PI的历史" (1971)]. 下面是Lambert给出的收敛性勘误表（列出了他们的回报）：

1	三	/	1
2	22	/	7
三。	333	/	106
4	355	/	113
... ...
25	8958937768937	/	2851718461558  【兰伯特正确给出】
26	139755218526789	/	44485467702853
27	428224593349304	/	136308121570117

Lambert使用了错误的偏商列表：[... 84, 2, 1, 1,37，3…]。 The 对的膨胀读取[…84，2，1，1，15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, ...].

几个有用的收敛序列

Ö2	1,  3/2,  7/5,  17/12,  41/29,  99/70,  239/169,  577/408,  1393/985
Ö三	1,  2,  5/3,  7/4,  19/11,  26/15,  71/41,  97/56,  265/153,  362/209
Ö5	2,  9/4,  38/17,  161/72,  682/305,  2889/1292,  12238/5473

维基百科:  丢番图近似  |  超越数论

(2001-11-19)  一些连分式的精确逼近

偶尔，持续分数膨胀（CFE）可能会显示出非常大的早期偏商，这将建议一个非常精确的近似值。例如，拉马努詹给出（2143/22）^1/4非常接近于第页（它比优秀的355/113，准确度超过ppb的三分之一）。这样一个简单公式的惊人精确性，由CFE第页⁴ ，它正在被截断第五届任期：

第页⁴  =  [97; 2, 2, 3, 1, 16539, 1, 6, 7, 6, 8, 6, 3, 9, 1, 1, 1, 18, 1 ...]

出于某种隐晦的原因，拉马努扬喜欢以可能具有的形式给出上述结果提出了一些更深入的近似原因。这个最愚蠢的其中可能包括以下内容十进制的图案，仅使用数字0、1和2：

第页 » （102-2222/22）² )^1/22

Euler-Marcheroni数的另一个示例克 (欧拉常数):

( 1-克)²  =  [0; 5, 1, 1, 2, 6, 1, 8, 372792, 35, 52, 8, 1, 4, 1, 2, 9, 1 ...]

因此1- Ö(320/1835) » 克  =  0.57721566490153286060651209。。。

娱乐数学家所知的数字是Champernowne常数具有由所有整数的连续数字组成的十进制展开式：0.123456789101112131415161718192021... 它有一个奇异连分数膨胀，这是公平的精致的以获得以下为：

[0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15,答18, 6, 1, 1, 21, 1 ...]

答18是166位整数！ Champernowne常数因此“几乎”等于60499999499/490050000000两个十进制展开式匹配小数点后的186位。 前185位小数为：

0.1234567891011121314...899091929394959697

在那之后，分数继续。。。99000102030405...然而Champernowne常数阅读，当然。。。9899100101102103...

可以说，在光谱的另一端是相关的Copeland-Erdös常数，其十进制扩展包含所有素数的连续数字(A033308号,A030168号). 这是为数不多的已被证实的数字之一是十进制法线，这意味着所有n位数的字符串同样可能是十进制扩展(科普兰&埃尔德斯, 1946).

0.2357111317192329313741434753596167717379838997101103107109...
[ 0;4,4,8,16,18,5,1,1,1,1,7,1,1,6,2,9,58,1,3,4,2,2,1,1,2,1,4,39,4,4,5,2,1,1,87... ]

连续分数膨胀未知正常的但很可能是这样据我所知，还没有一个数字显示二者都标准十进制展开式和 一个正常的连续分式展开（尽管它是众所周知的那个几乎所有实数有这两个属性！

(2001-11-19)  一些无理数的正则模式

连分式有一种诱人的普遍性：每个数字都有一个而且只有一个表示为连分数（如果我们排除团结是两个或更多个元素的有限连续部分）。 因此，人们一直在寻找连续分数表示中的模式他们最喜欢的常数。没有出现这样的模式第页或克,但一些著名数字的连分数值得注意。。。

下表中的第一项（称为黄金数字)是收敛最慢的连分式（偏商越低，收敛速度越慢）。 在这种情况下，（f）被视为“最简单”连分数，或作为“最不合理”的数字之一（所谓的高贵的数字).

有理数对应于有限的，有限的连分数。部分商序列最终为周期的连分数被称为周期性的连分数，它们对应于二次的非理性的[也称为二次代数数,这些是具有积分系数的二次多项式的无理根。上表中的前几个条目是周期连分式的示例。参见序列A003285号在中在线的整数序列百科全书平方根周期的长度连续整数（按照惯例，有限CFE的“周期”为零）。

(2001-11-19)  偏商的正态分布

对于几乎所有的数字偏商：连分式表示在无理数之间创建了一种双射关系从0到1的数字和正整数的无限序列。0和1之间的数集的常见概率测度（Lebesgue测度）从而转化为它们的偏商的统计特性，即被俄罗斯数学家调查A.亚瑟。钦钦(1894-1959).

例如，可以证明，其部分商为有界是零测度。换句话说，对于几乎所有数字偏商序列不有一个上限。1935年，钦钦发表了一篇引人注目的结果表明，给定的整数k出现在几乎所有具有以下频率的实数：

P（a=k）=lg[1+1/（k²+2k）]=-lg（k）+2 lg（k+1）-lg（k+2）

其中，lg（x）是二进制对数ln（x）/ln（2）。从数字上讲，这意味着，在“典型”数字的扩展中，偏商为“1”，约为41.5%的时间，“2”17%、“3”9.31%、“4”5.89%、“5”4.064%等。 钦钦定律也可以通过给出偏商等于k的概率或更多即：

P（甲）≥k） =lg[1+1/k]=lg（k+1）-lg（k）

当然，问题是，通常无法保证给定的数字是“典型的”。数字第页 出现成为“典型”（很可能是这样）。然而，全部的另一个的特殊的表格中的数字在上面是肯定的不。

上述概率分布使算术平均值部分的商是无限的。这个几何平均值然而，它是有限的，并且是第一个由Khinchin计算（他只出版了第一本二数字）。它被称为钦钦常数（也拼写为钦钦常数) :

¥ Õ k=1

ì î

1 +

1 k（k+2）

ü þ

lg（k）

=   2.68545200106530644531-

正如钦钦本人迅速指出的那样，可以使用任何其他收敛方法来代替几何的平均值。所以，从更大的角度来看，上述“平均”部分商没有什么特别之处。实际上，我们可以考虑所谓的p指数Hölder均值,通过取p次幂的算术平均，并将结果提高到1/p的幂。普通人算术平均值对应于p=1几何平均值是（极限）情况p=0调和平均值是p=-1，的二次平均值为p＝2等。在Khinchin定律下的偏商的情况下，我们可以得到通过相应调整指数p的选择，“平均”任何大于1的值（不允许p值大于或等于1，这会产生无限结果）。例如调和平均值典型的偏商为：

1.74540566240734686349+

而二次有理数（2次代数数）具有周期CFE，3级或以上的代数数完全不同，似乎几乎所有这些都是典型的，在中感觉他们似乎遵守了钦钦定律. 例如Delian常数是：

2^1/3======================================================================[ 1; 3, 1, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 8, 1, 14, 1, 10, 2, 1, 4, 12, 2, 3, 2, 1, 3, 4, 1, 1,2, 14, 3, 12, 1, 15, 3, 1, 4, 534, 1, 1, 5, 1, 1, 121, 1, 2, 2, 4, 10, 3, 2, 2,41, 1, 1, 1, 3, 7, 2, 2, 9, 4, 1, 3, 7, 6, 1, 1, 2, 2, 9, 3, 1, 1, 69, 4, 4, 5,12, 1, 1, 5, 15, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 89, 1, 22, 186, 6, 2, 3, 1, 3, 2, 1, 1, 5, 1...]  A002945号

我们曾经听说过钦钦定律不适用于全部的这样的三次非理性，并且已经构建了一些明确的反例。。。 这可能是一个城市传奇，请告诉我们如果你更清楚。。。

读者的帮助（目前为止）：

2002年10月23日，“朱塞佩”告诉了我们真正的根(»3600-1/30)多项式的x个^三 -3600 x²+120 x-2（没有任何声明）：

x=[3599; 1, 28, 1, 7198, 1, 29, 388787400, 23, 1, 8998, 1, 13, 1, 10284, 1, 2, 25400776804,1, 1, 3, 4, 93, 3, 1, 2, 11, 1, 9, 1, 99, 1, 3, 1, 3, 9, 1, 603118914 ...]

尽管其CFE最初很奇怪，这个立方非理性看起来不像一个恰当的反例（根据2003-02-06电子邮件汉斯·哈弗曼,3599之后的1000000个项的几何平均值约为2.6850）。 这个问题仍然悬而未决。 我们还收到了以下澄清来自著名专家：

2003年2月11日阿尔夫·范德普滕 写的：[编辑摘要] 没有三次无理数（也没有任何其他代数数）可以证明连续分式展开正常的[即。，事实上服从钦钦定律].   另一方面，我会极其如果有的话感到惊讶三次（或三次以上）代数数的实验研究除了典型的行为[一个扩展出现从长远来看是正常的，尽管最初可能存在违规行为]。 没有已知的“明确反例”。   特别是，我们不相信这样一个反例可能是数字x Giuseppe引号，这是我们讨论过的问题之一完全的 并在我的论文中用布伦特和te里尔, 以及的实际零年三 -8年-10  （y=3.3186282177501856591096801533...) :   y=年[3; 3, 7, 4, 2, 30, 1, 8, 3, 1, 1, 1, 9, 2, 2, 1, 3, 22986, 2, 1, 32, 8, 2, 1, 8, 55,1、5、2、28、1、5、1、1501790、1、2、1、7、6、1、1、5、2、1、6、2、1、2、1、1、3、1、，3, 1, 2, 4, 3, 1, 35657, 1, 17, 2, 15, 1, 1, 2, 1, 1, 5, 3, 2, 1, 1, 7, 2, 1, 7, 1, 3, 25,49405, 1, 1, 3, 1, 1, 4, 1, 2, ...] 阿尔夫·范德普滕 (1942-2010) 麦格理大学，澳大利亚悉尼

罗伯特·M·科尔利斯以下为：”继续的分数和混沌“，美国数学月刊99（1992）中，第203-215页MR 94克：58135  
哈罗德·M·斯塔克以下为：”Brillhart发现的一些奇异连分数的解释”，在A.O.L.Atkin和B.J.Birch（编辑）中，数论中的计算机（科学研究委员会程序地图集研讨会#2，牛津），第21-35页。学术出版社，1971年MR 49#2570  
R.P.Brent、Alfred J.van der Poorten、Herman J.J.te Riele以下为：”A比较计算代数数连分式的算法研究"  算法数论（Talence，1996），第35-47页，计算机科学课堂讲稿，1122，施普林格，柏林，1996年(PostScript（后置脚本）) MR 98c:11144  
恩里科·波比里（Enrico Bombieri）、阿尔弗雷德·范德普滕（Alfred J.van der Poorten）以下为：”代数数的连分式"  (pdf格式)

(2001-11-19)
如何对连分数进行算术运算？

嗯，这并不容易。基本上，您可以对连续分数和将结果正式扩展为连续分数。。。 请记住，扩展中涉及的所有整数都必须是积极的整数（前导整数可能除外）所以很多案例拆分是意料之中的。 此外，我们还会看到类似这样的内容无限精度可能需要计算一些简单的东西的展开式，如下面给出的两个数字之和它们的连续分数展开（以按需提供偏商的算法形式），所以这是不可能的有效地...

因为钦钦定律适用于连分数扩展（CFE）几乎所有数字，值得注意的是如果输入符合钦钦定律，这些东西的输出将遵循钦钦法则（发生这种情况的最微不足道的方式是偏商输出是输入序列的直接副本）。

简单一元操作

最简单的操作包括相反的（-x）或相互的数字x的（1/x）。连分数，后者将比前者更简单（实际上，这将是微不足道的）如果我们不必面对负数。。。那么，让我们来处理相反的首先是x。要么是₁为1或不是：

• -【a】₀; 1，a₂，一个_三，一个₄, ...]  =  [（-a）₀-1); （a）₂+1） ，一个_三，一个₄，…]
• -【a】₀; 一₁，一个₂，一个_三，一个₄, ...]  =  [（-a）₀-1); 1，（a）₁-1） ，一个₂，一个_三，一个₄, ...]如果是₁¹1

计算相互的对于正数来说，CFE很容易：

• 1/[0；a₁，一个₂，一个_三，一个₄, ...]  =  【a】₁; 一₂，一个_三，一个₄, ...]
• 1/[年₀; 一₁，一个₂，一个_三，一个₄, ...]  =  [0；a₀; 一₁，一个₂，一个_三，一个₄，…]如果是₀>0.

对于负数，我们取相反的倒数[这是积极的]并得到与之相反的结果。 这意味着8个不同的案例，我们不会详细说明。。。例如：

• 1/[-1；1，a₂，1，a₄，一个₅，一个₆, ...]=[（-a₂-2); （a）₄+1） ，一个₅，一个₆，…]

二进制操作

比较两个连续分数一和b条总是很容易：如果所有相应的偏商都相等，则数字相等。否则，只需考虑第一秩n，其偏商为_n个和b_n个不同。说一声_n个>b条_n个以下为：

• 如果n为即使，然后一>b条。
• 如果n为古怪的，那么一<b条。

当有限的，有限的包含连分数，如果我们约定终止分数上的“下一个”偏商实际上是+¥。

然而，请注意，如果一和b条是相等的导致非终止过程：如果两个数字都给出了，通过按需给出偏商的通用算法，那么你就必须永远查询这两种算法（因为他们最终可能会得出不同的结果）。 类似的注释也适用于其他二进制操作，具有深远的理论影响。。。

特别是，这表明没有一般的算法计算像这样简单的东西两个连分数的和（或积）[从技术上讲算法是一个程序总是终止]。 这是因为有些情况下“下一步”偏商两个连续分数之和（或乘积）无法确定不知道全部的两个操作数的偏商。 这种情况尤其发生在和（或乘积）是有理的时候但两个操作数都不是（如果两个操作数都是作为计算机程序给出的，根据要求给出偏商，你可能必须永远查询这样的程序，无法确定结果的偏商超过某一点。）

这个理论障碍并不妨碍设计的实用性实际的程序，但这仅仅意味着它们不能万无一失和/或完全自动化（就像自动浮点运算不是万无一失的一样）。 例如，我们可能不得不与连分数等价物臭名昭著的舍入误差 有限精度位置算法，偶尔也会接受“非常大”的偏商可能代表无穷大（表示一个合理的结果）不确定。。。

哈克姆关于连分式算法和较长的纸张作者：Bill Gosper。

(2014-09-10)  拜尔空间 (勒内·贝尔)
所有无限序列的集合积极的整数，
被赋予Tychonoff拓扑。

The 首选约定将Baire空间定义为包括序列非负的整数。 这里使用的另一个约定仅在连分数的上下文中方便。

The 连续分数展开任何非理性的 [0,1]中的数字是拜尔太空. 我们已经知道这种关系是双射的。

更令人惊讶的是，我们的双射是一个同胚 （即，自身及其逆函数是连续函数）两个相关的集合，被赋予各自的最自然的拓扑结构。

The 间隔[0,1]是一个度量空间 相对于普通的欧几里德距离。 非理性点简单地形成一个子空间这一点。

另一方面，Baire空间是笛卡尔积正整数集副本的可数无穷大（序列中的每个索引都有一个这样的副本）。 笛卡尔积上的自然拓扑是Tychonoff拓扑 （与天真的所谓箱形拓扑 当有无穷多个笛卡尔分量时）。

证明：双射是同胚若（iff）它改变了一些特殊的拓扑基一个空间的成为另一个的拓扑基础。 在目前的情况下，考虑以下类型的（开放）集合：

• 在Baire空间中规定了前n项。
• 第一个n的无理数集偏商规定。

显然，我们的双射将一种类型的集合转换为另一种类型。 所以，我们只需要检查每个家庭的形式其自身空间的拓扑基础，留给读者练习。 

Baire空间和无理数集都是完全断开。

巴伊雷空间与无理数同胚作者：Martin Sleziak（2014-04-28）。

(2001-11-19)
函数可以展开为连分数吗？

至少精神连分式的解析函数的近似[多项式的商]。。。
一个简单的起点是这样一个表达式：

（f）(小时)   =  一0+	小时
	一1+	小时
		一2+	小时
			一三+	小时
				一4+	小时
					一5+	小时
						一6+ ...

实数中不存在的一个复杂因素是不全部的功能可以这样扩展。即使在分析函数中，也可能需要提高变量小时在某些或全部事件中上述标识的右侧。只要在中的相同“阶段”泰勒展开函数的。（特别是，如果（f）是一个即使功能，小时总是显得有些高傲即使功率。）

很容易获得系数序列（a_n个):

• 一_n个=（f）_n个（0），其中（f）_n个是递归定义如下：
• （f）₀(小时) =（f）(小时)
• （f）_n+1(小时) =小时^k个/[（f）_n个(小时)-a个_n个]  ( 小时^k个出现在该阶段的结果中）
  k是任何值的值（f）_n+1（0）有限且非零。通常k=1。

利用这些系数（f）将匹配截断的有理表达式，直到（包括）秩序米最后一个系数a的米保留。实际上，要将上述系数计算到一米,我们可以替换一个解析函数（f）(小时)通过其部分泰勒展开（包括--条款或命令小时^米。

这样的理性的近似值（即由两个多项式的比值组成）称为帕德近似值尤其是在分母的度数等于度数的常见情况分子的长度（或不超过一个单位）。
 
奇怪的是，Padé逼近通常更接近于原始函数，而不是它们所基于的截断泰勒展开。 上述Padé逼近序列甚至可能收敛泰勒级数本身发散!

下面是一些与此对应的“漂亮”系数序列Padé扩展. 给出的通用公式可能不适用于第一个系数（在这种情况下，这些是下划线 ):

最后两个表格条目的人为形式旨在挤压“自然”奇偶函数的展开（比如第个=坦纳或热重（tg）=棕褐色的)进入我们的限制“规则”框架（其中平方或更高幂小时不要出现）。如果没有表格和/或排版，最好给出这种函数在形式上的“自然”展开类似于以下表达式阿尔卡特=阿卡坦以下为：

阿尔卡特(小时)========================================================	小时
	1 +	小时2
		-3 +	小时2
			-5/9 +	小时2
				-63/4 +	小时2
					-4/25 +	小时2
						-2475/64 + ...

对于奇数函数（f）就像这个，我们可以使用一致的索引带有“常规”扩展的编号Ö小时/（f）(Ö小时)，因此我们有：

一₀=1,  一₁= -3,  一₂= -5/9,  一_三=-64/4一₄= -4/25,  一₅= -2475/64,  ...
一_2个=-（4n+1）/（2n u_n个)² ,    一_2n+1=-（4n+3）u_n个² 

其中un个=

2n+1 22个

ì î

2个 n个

ü þ

=

（2n+1）！！ （2n）！！

回想一下，对于正整数k双因子符号k！！用于表示所有正整数的乘积属于相同的平价小于或等于它的k。因此，（2n+1）！！是（2n+1）/（2n）！！，而（2n）！！是2^n个不！。

工具书类

1. 米尔顿·阿布拉莫维茨（Milton Abramowitz）、艾琳·阿斯特根（Irene A.Stegun）
   ”数学函数手册“（原国家统计局第55号，1964年）
   再版（1965-1972）多佛出版物ISBN 0-486-61272-4
2. 彼得·贝克曼 (1924-1993)
   ”PI的历史“（©1971，魔像出版社）
   Barnes&Nobles出版社出版（1993年），ISBN 0-88029-418-3
3. 亚历克桑德·雅科夫利维奇钦钦（1894-1959）[也拼写为辛钦]
   ”连续分数“1964年俄文第三版翻译（1961年）
   1935年，钦钦首次出版专著（1949年第二版）。由多佛出版公司重新出版（1997），ISBN 0-486-69630-8
4. C、。斯坦利·奥格维  (1913-2000)
   ”明天的数学：业余爱好者未解决的问题”©1962-72
   牛津大学出版社（第二版，1972年），纽约。

(2019-07-20)  连续指数逼近
表示形式幂级数。

在这个领域基本上没有严格的结果。
卡尔·M·本德 (2011)

考虑一个正式的幂级数和一个等效的塔指数以下为：

一₀ + 一₁z+（z+）一₂z（z）² + 一_三z（z）^三 + 一₄z（z）⁴ +  ...
b条₀经验(b条₁z经验(b条₂z经验(b条_三z经验(b条₄z exp（…）））

当前者为后者在z的幂中的扩展在以下情况下会发生这种情况：

一₀  =  b条₀
一₁  =  b条₀ b条₁
一₂  =  b条₀ b条₁ b条₂ + b条₀ b条₁² _/2
一_三  =  b条₀ b条₁ b条₂ b条_三 + b条₀ b条₁ b条₂² _/2 + b条₀ b条₁² b条₂ + b条₀ b条₁^三 _/6
...   ...

例子：

一_n个  =  （n+1）^n-1个 _/不！         b条_n个  =   1

无限指数 由大卫·F·巴罗(1888-1970)1936年3月。
幂级数的连续指数求和. Carl M.Bender和Jade P.Vinson（1996年）。
数量连续指数的极限点由安东尼奥·巴尔加斯（数学堆栈交换，2012-04-16）。

（2008年4月19日）正数的恩格尔展开（1913）
独一无二的无衰减正整数序列。

正数x可以唯一地与非递减数相关联正整数序列(一_我)如下所示。

x=	1	(	1  +	1	(	1  +	1	(	1  +	1	(	...	))))
	一1			一2			一三			一4

这被称为恩格尔扩张（或恩格尔级数）为纪念弗里德里希·恩格尔（1861-1941），他于1913年首次对此进行了调查。

正数和正整数的非递减序列 是一个双射的一个，如果我们排除由无穷多个“1”组成的序列，可以通常与¥。

对于常数恩格尔系列x=（1/一)（1+x）。由此得出x=1/(一-1).

更一般地说，恩格尔系列最终常数 （即，以无限多个等于一 > 1 ) 可以替换为有限膨胀以结尾一-1. 如果这种有限展开式被接受，我们必须排除以下恩格尔展开式最终保持不变。 或者，我们可以简单地排除有限展开。 这两种方法都保持了唯一性。

这种特殊情况（根据口味，有限和/或最终恒定）清楚地对应有理数. 相反任何有理数就是这种类型。 （这可以通过研究下面给出的算法来证明。）

恩格尔展开式通常由花括号之间的序列表示：

第页  =   {1,1,1,8,8,17,19,300,1991,2492,7236,10586中，34588,63403,70637,1236467,5417668,5515697,5633167,7458122,9637848,9805775,41840855,58408380,213130873,424342175,2366457522，4109464489,21846713216,27803071890,31804388758,32651669133,40718029364,47492518161,68981480654,199887242694,423715742607,1946488958454... } A006784号
 
Ö2   =   {1,三，5,5,16,18,78,102,120,144,251,363,1402,31169,88630中，184655,259252,298770,4196070,38538874,616984563,1975413035,5345718057,27843871197,54516286513,334398528974,445879679626,495957494386,2450869042061,2629541150529中，4088114099885,13941883241047,19419852314686,37050390695365,699870848645368,1402880565195416,2085612785432685,2336321317262184... }  A028254号

有一个非常简单的算法可以得到正的Engel展开式数字x。它可以用以下递归表示（对于有理数，当x_n个消失）。

x个₁=x       一_n个 = 天花板（1/x）_n个)       x个_n+1 = 一_n个x个_n个 -1

在此天花板（y） 是最小的整数 大于或等于y。

维基百科  |  数学世界

(2008-04-23)  1以下正数的皮尔斯展开式（1929）
唯一的（严格来说）增加的正整数序列。

x=	1	(	1 -	1	(	1 -	1	(	1 -	1	(	...	))))
	一1			一2			一三			一4

这被称为穿孔膨胀（或皮尔斯系列）因为破土动工三页文章1929年12月出版的由T.A.皮尔斯。

1917年，T.A.Pierce博士被任命为内布拉斯加州大学的讲师1920年晋升为助理教授，1926年晋升为副教授1929年，皮尔斯成为内布拉斯加州大学的数学全职教授最终在那里获得了退休身份。他死于1945年8月18日。

几个显著的穿孔扩展（=正整数集）

0	Æ（空的设置)
1	1.
½	{2}或{1,2}（唯一带二扩展）
1 -e（电子）-1	*（所有正整数）A000027号
1-经验（-1/k）	公里、2公里、3公里、4公里、5公里、6公里、7公里、8公里、9公里、10公里、11公里、12公里。。。nk。。。
1-k sin（1/k）	6千2，20千2，42千2，72千2,110千2，156千2, ... 2n（2n+1）k2...
1-cos（1/k）	2千2，12千2，30公里2，56千2,90公里2，132千2, ... 2n（2n-1）k2...
1/（f）=(Ö5-1)/2	1, 2, 4, 17, 19, 5777, 5779, 192900153617,...  A118242号
Ö2/2	1, 3, 8, 33, 35, 39201, 39203, 60245508192801,...  A091831号
Ö3/2	1, 7, 16, 193, 195, 7300801, 7300803,...
Ö3/3	1, 2, 6, 13, 15, 2701, 2703, 19726764301, 19726764303, ...
0.362306222...	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 , ...  A000040型

最后一项显示所有素数集编码成一个数字！

有一个非常简单的算法，可以得到数字x介于0和1之间它可以用下面的循环表示（对于有理数，当x_n个消失）。

x个₁=x       一_n个 = 地板（1/x）_n个)       x个_n+1 =  1- 一_n个x个_n个

在此地板（y） 是最大的整数 小于或等于y例如，我们可以得到1/第页 (A006283号)即：

1	=	1	(	1 -	1	(	1 -	1	(	1 -	1	(	...	))))
第页		三			22			118			383

与普通连分数一样，它似乎皮尔斯扩张了3次或以上代数数（介于0和1之间）在任何统计方面都不是“特殊”的。。。 这是½立方根的皮尔斯展开：

1, 4, 5, 7, 8, 18, 384, 7958, 14304, 16623, 18610, 20685, 72923, 883177, 1516692, 2493788,2504069, 22881179, 110219466, 2241255405, 34982468090, 64356019489, 110512265214,1142808349967, 3550630472116, 5238523454726, 7129035664265, 8830497667455, 73077905092939,214546637412471、4888848508730773、10201865448706686、15132832933748616、337399181162365100、，35804846593818133, 346958191630052089, 669921148437431078, 3959601655250244537,13642351619526186556,  ...  A140076号

顺便提一下，皮尔斯展开提供了的连续体0到1之间的实数和动力装置正整数的（即所有正整数集）。 这是一种直接表明这两种方法相同的方法基数; 连续体的力量 :

C=2

±0

此外，皮尔斯展开提供了一个直接的一对一对应关系的理性的0到1之间的数字和一套，共套有限的，有限的正整数集（从而确定后一组是可数的）。

保罗·埃尔德斯&杰弗里·沙利特  |  数学世界

（2018年12月1日）复杂领域中的连分式
的算法阿斯穆斯·施密特 基于高斯整数。

复杂连分式和高斯整数 希尔曼帕斯（matematika-ku，2011-05-15）。
施密特连分式 由罗伯特·海因斯 (CU巨砾).