Data-driven discovery of coordinates and governing equations

doi:10.1073/pnas.1906995116

.2019年11月5日；116(45):22445-22451.

doi:10.1073/pnas.1906995116。 Epub 2019年10月21日。

数据驱动的坐标和控制方程发现

凯萨琳冠军¹, 贝萨尼·卢施², J内森·库茨^三, 史蒂文·布伦顿^三 4

附属公司

¹华盛顿大学应用数学系，西雅图，WA 98195；kpchamp@uw.edu。
²领导计算设施，阿尔贡国家实验室，莱蒙特，IL 60439。
^三华盛顿大学应用数学系，西雅图，WA 98195。
⁴华盛顿大学机械工程系，西雅图，WA 98195。

PMID： 31636218
PMCID公司：项目经理6842598
内政部： 10.1073/第1906995116页

数据驱动的坐标和控制方程发现

凯萨琳冠军等。美国国家科学院程序. 2019.

.2019年11月5日；116(45):22445-22451.

doi:10.1073/pnas.1906995116。 Epub 2019年10月21日。

作者

凯萨琳冠军¹, 贝萨尼·卢施², J内森·库茨^三, 史蒂文·布伦顿^三 4

附属公司

¹华盛顿大学应用数学系，西雅图，WA 98195；kpchamp@uw.edu。
²领导计算设施，阿尔贡国家实验室，莱蒙特，IL 60439。
^三华盛顿大学应用数学系，西雅图，WA 98195。
⁴华盛顿大学机械工程系，西雅图，WA 98195。

PMID： 31636218
PMCID公司：项目经理6842598
内政部： 10.1073/第1906995116页

摘要

从科学数据中发现控制方程有可能改变缺乏特征明确的定量描述的数据丰富的领域。稀疏回归的进展目前能够从数据中轻松识别非线性动力系统的结构和参数。所得模型具有描述动态所需的最少术语，平衡了模型复杂性和描述能力，从而提高了可解释性和可推广性。这为Occam剃须刀的模型发现提供了一种算法方法。然而，这种方法从根本上依赖于一个有效的坐标系，其中动力学具有简单的表示。在这项工作中，我们设计了一个定制的深度自动编码器网络，以发现坐标变换到一个简化的空间中，其中的动力学可能是稀疏表示的。因此，我们同时学习控制方程和相关的坐标系。我们在几个具有低维行为的示例高维系统上演示了这种方法。由此产生的建模框架结合了深度神经网络用于灵活表示的优势和用于简约模型的非线性动力学（SINDy）稀疏识别的优势。此方法将坐标和模型的发现置于同等地位。

关键词：深度学习；动力系统；机器学习；模型发现。

PubMed免责声明

利益冲突声明

作者声明没有竞争性利益。

数字

**图1。**
SINDy自动编码器方法示意图，用于同时发现坐标和简约动力学。(一)自动编码器架构用于发现内在坐标 $z（z）$ 来自高维输入数据 $x个$ 网络由2个组件组成：编码器 $φ (x个)$ ，它将输入数据映射到内部坐标 $z（z）$ 和解码器 $ψ (z（z）)$ ，它重建 $x个$ 从内禀坐标。(B类)SINDy模型捕捉内在坐标的动态。动力学中的活动项由中的非零元素识别 $Ξ$ ，作为NN培训的一部分学习。时间导数 $z（z）$ 使用以下导数计算 $x个$ 以及编码器的梯度 $φ$ .插入显示了用于训练网络的逐点损失函数。损失函数鼓励网络最小化自动编码器重建误差和SINDy损失 $z（z）$ 和 $x个$ . ${L（左）}_{1}$ 正则化 $Ξ$ 还包括鼓励节俭的动力。

**图2。**
发现的模型示例。(*A–C*)方程，SINDy系数 $Ξ$ 和Lorenz的吸引子(一)，反应-扩散(B类)，和非线性摆(C类)系统。

**图3。**
高维Lorenz示例的模型结果。(一)混沌Lorenz系统的轨迹( $z（z） (t吨) \in {R（右）}^{三}$ )用于创建高维数据集( $x个 (t吨) \in {R（右）}^{128}$ ). (B类)空间模式由前6个勒让德多项式创建，时间模式是洛伦兹系统及其立方体中的变量。空间和时间模式相结合，通过以下方式创建高维数据集**[6]**. (C类和D类)方程，SINDy系数 $Ξ$ 以及SINDy自动编码器发现的原始Lorenz系统和动力系统的吸引子。吸引子是通过从一个初始条件开始对动力系统进行时间向前模拟来构造的。(E类)对中的系统应用适当的变量转换D类显示了与原始Lorenz系统具有相同稀疏模式的模型。除任意缩放外，参数值与原始系统接近，吸引子的结构与原始系统相似。

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