Reconstruction of normal forms by learning informed observation geometries from data

doi:10.1073/pnas.1620045114

.2017年9月19日；114（38）：E7865-E7874。

doi:10.1073/pnas.1620045114。 Epub 2017年8月22日。

通过从数据中学习知情的观测几何来重建正常形式

或者Yair¹, 罗恩·塔尔蒙², 罗纳德·科夫曼^三, 约阿尼斯·凯夫雷基迪斯^4 5

附属公司

¹以色列海法工业学院维特比电气工程学院，邮编32000。
²以色列伊斯雷尔理工学院维特比电气工程学院，海法32000；ronen@ee.technion.ac.il coifman@math.yale.edu yannis@princeton.edu。
^三耶鲁大学数学系，康涅狄格州纽黑文，邮编06511；ronen@ee.technion.ac.il coifman@math.yale.edu yannis@princeton.edu。
⁴普林斯顿大学化学与生物工程系，新泽西州普林斯顿08544；ronen@ee.technion.ac.il coifman@math.yale.edu yannis@princeton.edu。
⁵应用和计算数学课程，普林斯顿大学，新泽西州普林斯顿08544。

PMID： 28831006
预防性维修识别码： PMC5617245
内政部： 10.1073/第162045114页

通过从数据中学习知情的观测几何来重建正常形式

或者Yair等人。美国国家科学院程序. 2017.

.2017年9月19日；114（38）：E7865-E7874。

doi:10.1073/pnas.1620045114。 Epub 2017年8月22日。

作者

或者Yair¹, 罗恩·塔尔蒙², 罗纳德·科伊夫曼^三, Ioannis G Kevrekidis公司^4 5

附属公司

¹以色列海法工业学院维特比电气工程学院，邮编32000。
²以色列伊斯雷尔理工学院维特比电气工程学院，海法32000；ronen@ee.technion.ac.il coifman@math.yale.edu yannis@princeton.edu。
^三耶鲁大学数学系，纽黑文，CT 06511；ronen@ee.technion.ac.il coifman@math.yale.edu yannis@princeton.edu。
⁴普林斯顿大学化学与生物工程系，新泽西州普林斯顿08544；ronen@ee.technion.ac.il coifman@math.yale.edu yannis@princeton.edu。
⁵应用和计算数学课程，普林斯顿大学，新泽西州普林斯顿08544。

PMID： 28831006
预防性维修识别码： PMC5617245
内政部： 10.1073/pnas.1620045114

摘要

发现与经验观测相一致的物理定律是（应用）科学和工程的核心。这些定律通常采用取决于参数的非线性微分方程的形式；动力系统理论通过适当的范式提供了给定模型可访问的动力状态类型的“内在”原型特征。使用数据信息几何学习的实现，我们直接重建了相关的“范式”：从经验观察到潜在动力学的原型实现的定量映射。有趣的是，这些实现的状态变量和参数是从经验观测中推断出来的；在没有先验知识或理解的情况下，他们内在地将动力学参数化，而没有明确提及基本物理量。

关键词：数据分析；动力系统；实证模型；几何；图论。

PubMed免责声明

利益冲突声明

作者声明没有利益冲突。

数字

**图1。**
从相图表示推断霍普夫分岔（在文本中）。A类和B类由单一稳态组成，而C和D类由稳态和稳定极限环组成，取决于一些关键参数值。

**图2。**
(上部)Bogdanov–Takens分岔图，具有插图说明了每个动力学状态下的典型相图。(*左下方*)Bogdanov–Takens分歧图。(*右下角*)与参数集相对应的Bogdanov–Takens系统模拟轨迹的相图示例 $(β_{1}, β_{2}) = (- 0.1, - 0.2)$ ，用红色X标记*左下方*点的颜色和宽度与时间相对应。

**图3。**
(A类和B类)从Bogdanov–Takens系统收集的观测数据的参数轴的数据驱动嵌入（根据真实的分叉图着色）。根据(A类)状态变量观测和(B类)通过非线性可逆函数进行观测。(C和D类)状态变量轴的数据驱动嵌入(C)初始条件 ${x个}_{1}$ 和(D类)初始条件 ${x个}_{2}$ .

**图4。**
(左侧)两个耦合钟摆的示意图。(居中)第一次实验中获得的代表时间轴（蓝色）的主特征向量的傅里叶变换。虚线是真实的（隐藏的）频率。绿色虚线对应于固定的振荡频率 $ω_{1}$ ，红色虚线对应于变化的横移振荡频率 $ω_{第页}$ . (赖特)在第二次实验中获得的代表时间轴的主特征向量的傅里叶谱图。两个振荡频率 $ω_{1}$ 和 $ω_{2} (t吨)$ 覆盖在光谱图上。红色虚线对应于固定的振荡频率 $ω_{1}$ ，黄色虚线对应时变振荡频率 $ω_{2} (t吨)$ .

**图6。**
代表时间轴的主特征向量的傅里叶谱图。这些结果基于具有相同时变弹簧常数的电影帧的随机投影。这两个频率 $ω_{1}$ 和 $ω_{2} (t吨)$ 覆盖在光谱图上。红色虚线对应于固定的振荡频率 $ω_{1}$ ，黄色虚线对应时变振荡频率 $ω_{2} (t吨)$ .

**图7。**
(左侧)数值解的傅立叶谱图 $五^{(2)}$ 在等式中。19. (赖特)代表时间轴的主特征向量的傅里叶谱图。这两个频率 $ω_{1}$ 和 $ω_{2} (t吨)$ 覆盖在光谱图上。红色虚线对应于固定的振荡频率 $ω_{1}$ ，黄色虚线对应时变振荡频率 $ω_{2} (t吨)$ .

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中的注释

通过流形学习从对颜色感知的理解到动态系统。
Kimmel R。 Kimmel R。美国国家科学院院刊2017年9月19日；114(38):9998-9999. doi:10.1073/pnas.1713161114。Epub 2017年9月12日。美国国家科学院院刊2017。 PMID：28900006 免费PMC文章。没有可用的摘要。

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1. Schmidt M，Lipson H。从实验数据中提取自由形式的自然法则。科学。2009;324:81–85.-公共医学
1. Crutchfield JP，McNamara BS。数据系列的运动方程。复杂系统。1987;1:417–452.
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[3] Schmidt M，Lipson H。从实验数据中提取自由形式的自然法则。科学。2009;324:81–85.-公共医学

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[8] Doretto G、Chiuso A、Wu YN、Soatto S.动态纹理。国际计算机视觉杂志。2003;51:91–109.

[9] Brunton SL、Proctor JL、Kutz JN。通过非线性动力系统的稀疏辨识从数据中发现控制方程。美国国家科学院院刊，2016年；113:3932–3937.-项目管理咨询公司-公共医学

[10] Brunton SL、Proctor JL、Kutz JN。通过非线性动力系统的稀疏辨识从数据中发现控制方程。美国国家科学院院刊，2016年；113:3932–3937.-项目管理咨询公司-公共医学

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