本文应用字符串方法(1–三)疏水性崩塌现象。我们表明，该方法可以描述大型原子系统中的复杂动力学，而目前可用的其他罕见事件方法似乎难以解决这些问题。此外，我们使用字符串方法证明，原子动力学可以有效地投影到粗粒度场的动力学上。本文所考虑的字符串方法的具体应用发现，结果与ten Wolde和Chandler（tWC）提出的疏水坍塌机制一致(4).
疏水效应，即油和水在介观尺度上分离的趋势，长期以来被认为是分子组装的重要驱动力(5). 最近的理论发展有助于建立对疏水性热力学的定量理解(6,7)但疏水性崩塌的动力学仍然不太清楚，因为它耦合了很大范围的长度和时间尺度。相关过程包括单个水分子的原子尺度运动、集体溶剂密度波动以及疏水性溶质的纳米尺度运动。桥接这些动力学层次并解决大型系统中的复杂动力学问题是计算方法面临的基本挑战。
我们通过在集合变量中使用字符串方法来解决这个挑战(1–三). 我们考虑由12个球形水听器组成的链在约34000个水分子的显式溶剂中的坍塌。我们通过将水分子位置粗粒化到一组代表溶剂密度场的129000个集合变量上，然后在这些变量中使用字符串方法计算链疏水崩解的最小自由能路径（MFEP）来研究该系统。随后进行了传统的分子动力学（MD）模拟，以证实这种粗粒度描述充分描述了疏水性坍塌的机制。
tWC此前曾报道过用粗颗粒液态水模型模拟理想疏水链(4). 对于这个模型，他们发现坍塌动力学中的关键步骤是在链的疏水表面形成核的集体溶剂密度波动。然而，尚不清楚这种机制是否是他们粗粒度水模型的产物。解决这个问题需要原子模拟。
之前使用原子计算机模拟来描述疏水性坍塌机制的努力既没有证实也没有否定tWC提出的机制。例如，在最近的工作中，MD模拟表明，脱水伴随着水中疏水体的崩溃(8–11). 然而，速率限制步骤以及由此产生的疏水性崩塌机制尚未确定。具体而言，参考文献。10在不同的分离距离下启动了一对梅勒汀蛋白二聚体的MD轨迹。仅当初始二聚体构型位于自由能势垒的产物侧时，才观察到坍塌动力学，但并未研究该势垒的实际性质和穿过它的动力学。参考文献。11，疏水链的热力学和溶剂化是作为其回转半径的函数来研究的，但同样，崩塌动力学没有被描述。
我们的原子模拟明确证实了tWC提出的疏水坍塌机制(4). 特别地，我们证明了疏水链崩溃中的速率限制步骤与集体溶剂运动一致，并且执行速率限制步骤几乎只涉及在溶剂坐标中执行功。我们进一步表明，沿MFEP的溶剂化自由能可以分解为小尺度和大尺度的贡献。该分析表明，原子溶剂能量学可以通过使用基于网格的溶剂密度场来定量建模，并表明疏水坍塌的速率限制步骤与长度尺度相关的疏水去湿相一致。
原子模型、粗训练和弦方法
系统。
如前所述，我们考虑了tWC研究的水合疏水链的原子论版本(4)，一个显示长度尺度依赖的疏水效应的模型(6). 可以考虑更复杂的模型，但我们将此研究局限于此特定链。该链由12个球形水听器组成，每个水听器的直径为7.2Å，质量为71个原子质量单位。这些是理想的水听器，因为它们与水产生纯粹的排斥作用，将氧原子中心从距离水听器中心0.5 nm的体积中排出。体积和质量是典型的氨基酸残基(12,13). 无支链中的连续水听器通过谐波键相互作用，通过一个势能项使链半刚性，使其曲率变小。刚度的选择使链条的延伸配置在真空中占主导地位。只有溶剂（以及由此产生的疏水相互作用）才能稳定塌陷的球状体构型。链由33912个刚性水分子与SPC/E（简单点电荷/扩展模型）电势相互作用水合而成(14)在具有周期性边界条件的正交模拟箱中。使用平滑粒子网格Ewald方法包括静电相互作用(15)，所有仿真均在300 K下进行。仿真协议的详细信息见支持信息（SI）文本：“系统详细信息。”
为了描述疏水坍塌，有必要选择合适的热力学系综进行模拟。溶剂密度的纳米级波动被怀疑在这些动力学中起着关键作用。NVT套装的使用（1-g/cm三水的密度）可能会抑制这些密度波动，并使计算机制产生偏差。我们用一种简单的技术避免了这个问题，这种技术基于这样一个事实，即在环境条件下，液态水接近于相共存。事实上，正是这种接近性导致了长尺度疏水性的可能性(6,16). 将固定数量的水分子置于300 K的体积中，该体积对应于<1 g/cm的平均密度三，我们在水蒸气密度下得到了系统的一部分，在体积水密度下得到大多数。由于我们不关心宏观长度尺度上的溶剂波动，因此在自身蒸汽压力下模拟散装水与大气压力之间的差异完全可以忽略不计。该策略已用于研究疏溶剂表面之间的脱湿转变(17,18). 为了确保液体-蒸汽界面保持平坦，并且与链的位置保持良好距离，我们从模拟框顶部边缘的薄层中排斥粒子，如中所述SI文本：“系统详细信息。”
溶剂粗调。
在整个研究过程中，我们使用原子力学MD模拟水和水合链。为了将弦方法应用于该系统的动力学，我们选择了描述水密度场的集合变量。特别是，开发了一种粗粒度算法，用于连接溶剂的原子变量表示和集合变量表示。遵循tWC(4)，将模拟箱划分为边长为我=2.1Å。我们用载体标记细胞k= (kx个,k年,kz（z）)，其中每个kζ取值范围如下：1≤kx个≤ 48, 1 ≤k年≤48，且1≤kz（z）≤ 56. 在这个网格上，分子密度ρ(第页)由水-氧原子的位置决定，在磁场中是粗颗粒的P（P）k，其中
这里，积分延伸到系统的体积上，并且1ζ表示ζth笛卡尔方向的单位向量。粗粒度函数Φkζ(x个)，进行规范化，确保∑kP（P）k=N个是水分子的总数。我们选择使用的特定功能是
其中φ(x个) = (2πσ2)−1/2exp（−x个2/2σ2)，σ=1Å，和小时j个(x个)是统一的，当x个位于j个第个间隔，否则为零。实际上，这个选择扩展了原子密度场ρ(第页)超过长度刻度σ并将其归入长度刻度网格我以保持正常化的方式。虽然我们发现这种粗粒度函数的选择很方便，但也可以选择其他函数。
A类和B类说明了粗粒度过程。在A类图中显示了粗粒化前后的溶剂。B类，此处考虑的实际系统显示了相同的映射。当细胞占据溶剂时，细胞被涂成白色，P（P）k，小于〈P \9002；整体平均值的一半大量的≡c=0.3分子。在整个模拟箱中可以看到局部密度的微小波动，这与瞬时溶剂配置的预期情况相同。
溶剂粗粒化。(A类)粗粒化程序示意图显示了将原子溶剂密度投影到离散网格上(B类)对于实际系统的瞬时溶剂配置，也显示了相同的程序。溶剂密度小于c/2个为白色；剩下的单元格在蓝色背景下保持透明。疏水链显示为红色(C类)原子溶剂密度被限制在最左边的参考分布。较大的约束力常数κ以数字形式报告，单位为2kB类T/c公司2，平均原子溶剂密度详细再现了参考分布（有关符号，请参阅正文）。
除了可视化溶剂密度外，粗粒度算法还可用于控制MD模拟中的溶剂密度。例如，如果需要特定单元格k表现出溶剂占用P（P）∗k，势能项κ(P（P）k−P（P）∗k)2/2可用于推导模拟中原子上的适当力，其中κ是力常数。该技术如所示C类。最左边的图像显示了密度分布，这对于模拟环境液态水来说是极不可能的。右边的图像显示了MD模拟的平均溶剂密度分布，随着κ的增加，该分布被限制为不太可能的参考分布。力常数大于2kB类T型/c2，其中模拟将受到至少为kB类T型为了将平均堆积密度放置在被限制为空的单元格中，请确保详细恢复参考分布。在这里，kB类T型表示玻尔兹曼常数乘以温度T型.
定义MFEP。
我们使用粗粒度过程获得描述疏水链位置和水密度场的集合变量。具体来说，让x个= (x个c,w个)是长度的位置矢量n个= 3 × 12 + 3 × 3×N个对于整个系统的原子表示，其中x个c是链中压敏检波器的位置矢量w个是水分子中原子的位置矢量。然后，z（z）(x个) = (x个c,P（P）)是系统集体变量表示的长度向量𝒩=3×12+48×48×56，其中P（P）定义于等式。1.
MFEP是集合变量空间中的曲线。它的代表是z（z）*（α） ，其中α=0对应于折叠链，α=1对应于扩展链。对于中间值α∈（0，1），MFEP遵守条件
哪里F类(z（z）) = −β−1ln〈∏𝒩我=1δ(z（z）我−z（z）我(x个))〉是集体变量中定义的自由能面，以及
这里，尖括号表示平衡期望值，β−1=kB类T型、和米k是坐标对应的原子质量x个k.矩阵M（M）ij公司(z（z）)这是由于将原子坐标的动力学投影到集体变量上而产生的（因此，一般来说，弯曲坐标空间）(三,19)确保各种集体变量在一致的时间尺度上发展。如中所示等式。10，矩阵缩放集合变量的相对扩散系数。
如果使用的集合变量足以描述反应的机制（这里是疏水性坍塌），那么可以证明MFEP是集合变量中监控的反应性MD轨迹的最大可能性路径(三). 对于当前的应用程序，我们检查了集合变量的充分性后部通过沿MFEP运行从假定的速率限制步骤开始的MD轨迹（即最大自由能配置），并验证这些轨迹导致链的坍塌或扩展配置的概率大致相等（参见水合链的疏水坍塌：“委员会职能和课程安排原则的证明”）。
集合变量中的字符串方法。
字符串方法通过根据动力学演化参数化曲线（即字符串）来产生MFEP(三,20)
其中λ（α，t吨)∂z（z）∗我(α,t吨)/¼α强制约束字符串保持由标准化弧长参数化。弦的端点通过自由能表面上的最陡下降而演化，
对于α=0和α=1。这些弦的人工动力学产生了MFEP，它满足等式。三.
实际上，字符串是通过使用N个d日集体变量表示中的系统配置。中的动态等式。5和6然后在三步循环中完成，其中(我)字符串的端点配置根据等式。6其余配置根据中的第一项进行演变等式。5, (ii（ii）)（可选）对字符串进行平滑处理，并且(三)字符串被重新参数化，以保持离散化中配置的等距。重复此循环，直到等式。三感到满意。步骤我需要对平均力元素进行评估F类(z（z）)/∂z（z）我和张量元素M（M）ij公司(z（z）)在每个配置中。这些项是通过使用所示的溶剂自由度类别的约束原子论MD模拟获得的C类中提供了字符串计算的详细信息SI文本：“集合变量中的字符串方法。”
水合链的疏水坍塌
MFEP。
显示了水合链的疏水性坍塌的MFEP。它是通过在链原子位置和基于网格的溶剂密度场的集合变量中使用字符串方法获得的。收敛的MFEP通过使用N个d日=系统的40个配置，我们将在下文中通过它们的索引编号引用这些配置，秒= 1, …,N个d日。通过积分平均力沿MFEP的投影，使用
的决议F类*（α） 英寸可以通过使用更大的N个d日但计算成本较高。
使用字符串方法获得的最小自由能路径。(上部)自由能曲线在构型22处呈现出单峰。(下部)自由能峰值附近的路径配置以白色文本显示配置编号。
连续构型之间自由能剖面的统计误差约为绘制圆的大小，构型27和31的剖面中的小特征是由于弦计算收敛过程中的噪声造成的。关于管柱计算中统计误差的进一步讨论，请参见SI文本：“集合变量中的字符串方法。” 下部显示了自由能量屏障区域沿MFEP的配置。如中所示，占体积溶剂数不到一半的晶格单元褪色为白色。
自由能源概况在构型22处主要由单个屏障控制，在疏水链的弯曲处形成液-汽界面。急剧弯曲的链几何形状为位于弯曲弯曲处的分子提供了一个延伸的疏水表面，这种环境类似于疏水板之间截留的水所经历的环境，并且已知可以稳定大尺度的溶剂密度波动(16,21,22). 计算出的自由能剖面中的势垒明显与溶剂变量中的集体运动一致。
字符串方法描述了反应轨道局部通道中最可能的成员。然而，一个合理的问题是，其他通道（例如那些可能对应于沿疏水链在其他点形成弯曲的通道）的可访问性和重要性。然而，如果链中的其他弯曲确实对应于分离良好的过渡通道，那么考虑到字符串初始化的任意方式，我们似乎不太可能找到在链中显示完全对称弯曲的MFEP。此外，对沿链平移弯曲的能量成本的估计，如SI文本：“估算无功屏障之间的屏障，”这表明，通过在链中形成不对称弯曲而崩溃的轨迹与形成对称弯曲的轨迹不属于不同的反应通道。也就是说，图中所示的非对称过渡态配置参考号的。4只是过渡态系综的一个成员，其中最有可能的是.
溶剂自由能。
构建了一个简单的理论来理解自由能剖面的贡献并测试粗颗粒溶剂相互作用的有效性。注意到我们为弦计算选择的集体变量忽略了链的构型熵，即自由能分布F类（α） 可以分解为链的构型势能E类c（α） 以及使链水合的自由能，F类小时(α).
术语E类c（α） 很容易从链势能项进行评估，得出自由能剖面的组成部分，如A类.
一个简单的理论描述了不规则疏水溶质构型的溶剂化自由能。(A类)自由能概况F类*通过模拟，分解为链构型势能的贡献E类c和溶剂化的自由能F类小时. (B类)溶剂化自由能由等式。9（虚线）和模拟（实线）。
现在我们将集中注意力F类小时理想几何水听器的溶剂化自由能已被很好地理解。对于小长度水听器（<1 nm），该能量与溶质体积成线性关系，而对于大长度水听仪，其与溶质表面积成线性关系(16,23). 然而，对于更复杂的溶质构型，溶剂化自由能的理论预测并不一定是微不足道的。例如，根据其配置，此处考虑的链的某些部分可能会像大长度水听器一样被溶解，而其他部分可能会表现得像小长度水听仪。
在这里，我们提出了一种将一般疏水性溶质分离为小尺度或大尺度组分的技术。我们将溶剂耗尽体积定义为连续的晶格单元集，平均而言，占平均体积溶剂值的50%以下（这组包括溶质和溶剂相互作用之间的类硬球相互作用所排除的体积，以及溶质附近实质上没有被溶剂占据的任何额外体积）。我们还引入了一个探针体积，它是一组4×4×4立方的细胞，大约是水溶剂化结构从小尺度到大尺度变化的大小。
探针体积用于确定溶剂耗尽体积的给定部分是处于小尺度还是大尺度状态。这是通过在整个模拟框中移动探针体积并确定它是否可以适合于溶剂耗尽体积的不同部分来完成的。如果在给定位置，该探针体积的绝大多数（具体地说，64个细胞中的59个）适合于溶剂耗尽体积，则溶剂耗尽体积的该部分中的细胞包含在大长度分量中，V（V）科尔。对于探针体积的任何位置，不符合此标准的溶剂耗尽体积部分包含在小长度分量中，V（V）提取.卷V（V）科尔和V（V）提取，绘制于SI图8A类，主要包括分别来自链的收缩部分和延伸部分的贡献。总体积V（V）总计通过计算溶剂耗尽体积中的细胞总数获得，从而V（V）总计=V（V）提取+V（V）科尔.
总表面积，A类总计以及它的大尺寸组件，A类科尔，通过计算包含V（V）总计和V（V）科尔分别是。使用以下公式可以获得小长度组件的表面积A类提取=A类总计−A类科尔为了说明我们是通过将光滑表面投影到立方晶格上来计算其面积的，每个表面积项也要乘以2/3，这是一个对无限大球体精确的校正因子。表面积分量以SI图8A类.
我们使用溶质体积和表面积的分离组分来估计链沿最小自由能路径的溶剂化自由能。
系数λ和γ分别是小尺度和大尺度体系中溶剂化自由能线性标度的预兆，这是通过对球形疏水溶质的计算获得的(23). 取其值λ=8 mJ/（m2Å) γ=45 mJ/m2.
该计算结果如所示B类虚线表示我们使用的溶剂化自由能的理论估计等式。9，实线表示原子模拟的数据（来自A类). 协议非常好，如所示SI文本：“溶剂自由能的替代模型”这比只考虑溶质体积或溶质表面积的溶剂化自由能估计要好。这一结果表明，可以使用基于网格的溶剂密度场对原子溶剂能量学进行定量建模。此外，请注意SI图8坍塌链首先在构型22附近发展出大尺度的成分，这表明自由能谱中的峰值相应的集体溶剂密度运动与小尺度到大尺度溶剂化（即脱湿）的交叉相吻合。
委托函数与粗训练原理的证明。
在我们实现字符串方法中使用的各种假设，包括我们选择的集合变量和相应的忽略链构型熵，增加了自由能剖面中的势垒在不符合疏水性坍塌的动力学瓶颈。在试图将自由能计算与动力学量（如反应机理和反应速率）联系起来时，这是一个普遍关注的问题。为了确认计算出的自由能曲线是动态相关的，我们评估了沿MFEP的几个配置的committor函数。提交函数报告从特定集合变量配置初始化的MD轨迹首先进入链的扩展配置的相对概率，而不是折叠配置。对于与真正的动态瓶颈一致的初始集合变量配置，committor函数假定值正好为0.5。
我们首先评估了配置22的committor函数，它对应于计算的自由能曲线中的峰值committor函数是通过从与该集合变量配置一致的初始条件中执行直接的MD轨迹，然后计算端点为“扩展”而非“折叠”的轨迹的分数来获得的这些轨迹的初始条件是从20-ps MD轨迹获得的，该轨迹被约束为配置22的集合变量；每皮秒记录一次约束轨迹的原子坐标。根据每一组原子坐标，在300 K的麦克斯韦-玻尔兹曼分布中绘制的初始原子速度矢量，在时间上向前和向后运行150 ps的无约束轨迹。为了确定给定的无约束轨道是否以链条的延伸或折叠构形终止，我们使用了一个基于在d日=另一链原子的1.25Å，其中d日指链原子周围半径为3.6-Å的球体表面之间的分离。如果非结合触点的数量超过三个，则链被视为处于折叠配置中；否则，它被认为是扩展的。此顺序参数只需区分链的折叠配置和扩展配置；它不需要（实际上也不是）一个好的反应坐标。图示了典型的向前和向后无约束MD轨迹。B类提醒读者粗粒度字段的原子基础。
从配置22处计算的自由能量屏障启动的无约束MD轨迹的快照。(A类)通过使用在中引入的相同技术，在集合变量表示中可视化瞬时配置. (B类)中0-ps快照的方框区域A类，水的平面横截面厚度为7.2Å，如原子细节所示。
配置22的提交函数为0.3±0.1，表明计算的自由能势垒略微偏向坍塌链的稳定域。然而，这个偏离理想值0.5的偏差在统计上只具有轻微的显著性，我们强调，在动态瓶颈区域，committor函数是指数敏感的。为了说明这一点，我们在配置20中重复committor函数的评估，如中所示靠近势垒峰值，但稍微靠近链的折叠构型，以及构型24，它稍微接近扩展构型。我们发现，配置20的committer函数为0.00±0.05，配置24的committer函数为0.90±0.05。MFEP上只有非常小的变化才能显著改变committor函数的值。
考虑到动力瓶颈附近的承诺函数的极端敏感性，配置22产生了通往塌陷盆地和延伸盆地的大量轨迹，这一事实非常重要。此外，提交函数随配置号变化的方向与动态瓶颈附近的预期方向一致。我们的结论是，计算的自由能剖面中的势垒正确表征了真正的自由能势垒，从而确定了崩塌动力学的速率限制步骤。
基于直接MD模拟的委托函数计算表明，我们选择的集合变量对疏水性坍塌机制提供了合理的描述。这一结果为粗粒度溶剂动力学策略提供了原子论支持。因为它很简单(三)为了获得最可能的反应途径与用字符串方法获得的机理相同的集体变量中的随机动力学，并且由于在所用集体变量中获得的疏水坍塌机理与用原子动力学获得的机理一致，我们得到了一个原理证明，原子溶剂动力学可以有效地投影到粗粒度场上。本说明中集体变量的朗之万方程为(三)
其中η我(t吨)白噪声满足〈η我(t吨)ηj个(t′)〉 = δij公司δ(t吨−t′)和t吨是按摩擦系数缩放的人工时间.
然而，直接积分这些粗粒度动力学的计算可行性取决于计算平均力元素的成本F类(z（z）)/∂z（z）j个和张量元素M（M）ij公司(z（z）)和∏M（M）ij公司(z（z）)/∂z（z）j个，因为在每个粗粒度时间步长都需要这些术语。因此，令人鼓舞的是，可以通过使用等式。8和9张量元素也可能有类似的近似值。
费率限制步骤。
使用计算出的MFEP和承诺函数值，我们确定水合链疏水性崩解的速率限制步骤与溶剂集体运动一致。通过对溶剂化自由能的简单分析，我们发现这种集体溶剂运动与长度尺度相关的脱湿是一致的。然而，速率限制步骤是否涉及在溶剂或链自由度中执行功，仍有待证明。这是一个重要的区别。如果后一种情况是正确的，那么脱湿只是作为旁观者伴随着疏水性崩塌，但是如果前一种情况为正确的，则脱湿是疏水性崩解的速率限制步骤。
为了解决这个问题，我们再次将自由能剖面分解为溶剂和链集合变量的功贡献。中自由能量剖面的定义等式。7可以更明确地写为
其中+cF类(z（z）*（α′）是作用于构型下链原子位置的平均力矢量秒=N个d日沿MFEP的×α，以及P（P）kF类(z（z）*（α′）是溶剂集体变量上的相应平均力P（P）k。通过设置体积可以获得完整的自由能量剖面V（V）等于整个模拟框。然而，为了理解溶剂在疏水坍塌中的作用，使用各种较小的溶剂体积计算自由能分布是有益的。
底部曲线是从以下位置获得的等式。11通过出租V（V）成为空集，从而消除第二项。中间曲线通过以下方式获得V（V）是位于模拟框中间的8×8×8格点的集合，如相应图像所示，顶部曲线通过以下方法获得V（V）是20×20×20晶格单元的中间组。考虑更大的晶格单元组不会进一步改变自由能剖面，如所示SI文本：“随着溶剂盒尺寸的增加，自由能曲线的收敛。”距离崩塌链较远的空间区域的溶剂变量沿路径保持不变，并且不影响自由能分布。
来自从链坐标和溶剂坐标中分离出贡献。在底部曲线中，只有等式。11对应于链坐标中执行的功，包含在自由能剖面中。溶剂的贡献还包括在中间曲线和顶部曲线中。每条曲线包含的溶剂体积用接线盒表示。较大溶剂体积的加入并不会显著改变轮廓。
底部曲线只显示了疏水性坍缩期间对链原子位置所做的功。值得注意的是，它几乎没有任何自由能量屏障，这表明在跨越动力学瓶颈时，基本上没有在链自由度内进行功。相反，我们看到只有在溶剂集体变量中包含所做的工作时，障碍才会出现。进行疏水坍塌涉及穿过仅存在于溶剂坐标中的自由能垒。结果表明，脱湿转变不仅伴随着疏水坍塌的速率限制步骤，而且是速率限制步骤。
