65.10代数空间与等价关系
假设给定$U$超过$S$的方案和$U$上$R$超过$S的等价关系。我们想证明这定义了一个代数空间。我们将产生一系列引理来证明商层$U/R$（参见群胚，定义39.20.1)具有定义中要求的所有属性65.6.1.
引理65.10.1.让$S$成为一个方案。让$U$成为$S$之上的方案。设$j=（s，t）：R\ to U\ times_SU$是$U$上$s$上的一个等价关系。让$U'到U$是一个étale态射。让$R'$成为$R$到$U'$的限制，参见Groupoids，定义39.3.3那么$j'：R'\ to U'\ times_SU'$也是一个等价关系。
证明。从群胚引理中对$s'，t'$的描述可以清楚地看出39.18.1$s'，t'：R'\ to U'$是e tale作为e tale态射基本变化的组成部分（参见morphisms，Lemma29.36.4和29.36.3).$\平方$
我们经常使用以下引理来寻找代数空间的开放子空间。这个引理的一个微小改进（带有更一般的假设）是Bootstrap，lemma80.7.1.
引理65.10.2.让$S$成为一个方案。让$U$是一个超过$S$的方案。设$j=（s，t）：R\到U\次_SU$是一个前关系。设$g:U'\到U$是一个态射。假设
$j$是等价关系，
$s，t:R\ to U$是surpjective，flat和局部的有限表示，
$g$是平面的，局部的有限表示。
设$R'=R|_{U'}$是$R$到$U'$的限制。然后$U'/R'\到U/R$是可表示的，并且是开放浸没。
证明。通过群胚，引理39.3.2同构$j'=（s'，t'）：R'\to U'\times_SU'$定义了一个等价关系。由于$g$是平面的，并且是有限表示的局部表示，我们看到$g$也是普遍开放的（Morphisms，Lemma2010年5月29日). 出于同样的原因，$、t$也普遍开放。设$W^1=g（U'）\子集U$，并设$W=t（s^{-1}（W^1））$。然后$W^1$和$W$以$U$打开。此外，由于$j$是一个等价关系，我们有$t（s^{-1}（W））=W$（参见群元，引理39.19.2例如）。
通过群胚，引理39.20.5滑轮$F'=U'/R'\到F=U/R$的映射是内射的。设$a:T\到F$是从一个方案到$U/R$的一个态射。我们必须证明$T\times_FF'$可由$T$的开放子模式表示。
形态$a$由以下数据给出：一个fppf覆盖$T$的${varphi_j:T_j\to T}_{j\in j}$和形态$a_j:T_j\to U$，使得映射
\[a_j\times a_{j'}:T_j\times_TT_{j'{右箭头U\times S U\]
因子通过$j:R\到U\times_SU$通过一些（唯一的）映射$R_{jj'}:T_j\times_TT_{j'}\到R$。系统$（a_j）$对应于图中的$a$
\[\xymatrix{T_j\ar[r]_{a_j}\ar[d]&U\ar[d]\\T\ar[r]^a&F}\]
通勤。
考虑开放子集$W_j=a_j^{-1}（W）\子集T_j$。由于$t（s^{-1}（W））=W$，我们可以看到
\[W_j\times_TT_{j'}=r_{j'{}^{-1}
按下降，引理35.13.6这意味着存在一个开放的$W_T\子集T$，这样$\varphi_j^{-1}（W_T）=W_j$表示j$中的所有$j。我们声称，$W_T到T$代表$T乘以F到T$。
首先，让我们证明$W_T到T到F$是$F'（W_T）$的一个元素。由于j}$中的${W_j\到W_T}_{j\是$W_T$的fppf覆盖，因此足以证明每个$W_j\到U\到F$是$F'（W_j）$的元素（因为$F'$是fppf拓扑的一个层）。考虑交换图
\[\xymatrix｛W'_j\ar[rr]\ar[dd]\ar[rd]&&U'\ar[d]^g\\&s^{-1}（W^1）\ar[r]_s\ar[d]^t&W^1\ar[d]\\W_j\ar[r]^{a_j|_{W_j｝}&W\ar[r]&F｝
其中$W'_j=W_j\times _ Ws^{-1}（W^1）\times _{W^1}U'$。由于$t$和$g$是surpjective的、平坦的、局部的有限表示，因此$W'_j\到W_j$也是如此。因此，元素$W_j\到U\到F$到$W'_j$的限制是所需的$F'$元素。
假设$f:T'\到T$是模式的一个态射，例如$a|_{T'}\在f'（T'）$中。我们必须通过打开的$W_T$显示$f$因子。因为${T'times_TT_j到T'}$是$T'$的fppf覆盖，所以通过$W_T$显示每个$T'times_TT_j到T$因子就足够了。因此，对于某些$j$，我们可以假设$f$因子为$\varphi_j\circ f_j:T'\to T_j\to T$。在这种情况下，F'（T'）$中的条件$a|_{T'}意味着存在覆盖${psi_i:T'_i\到T'}_{i\到i}$的fppf和一些态射$b_i:T'_i\到U'$，这样
\[\xymatrix{T'_i\ar[r]_{b_i}\ar[d]_{f_j\circ\psi_i}&U'\ar[r]_g&U\ar[d]\\T_j\ar[r]^{a_j}&U\ar[r]&f}\]
是可交换的。这种交换性意味着r$存在态射$r’_i:T’_i\，使得$T\circ r’_i=a_j\circ f_j\circ \psi_i$，并且$s\cir’_i=g\circ b_i$。这意味着$\mathop{\mathrm{Im}}（f_j\circ\psi_i）\子集W_j$，我们赢了。$\平方$
下面的引理并不是完全平凡的，尽管它看起来应该是平凡的。
引理65.10.3.让$S$成为一个方案。让$U$成为$S$之上的方案。设$j=（s，t）：R\ to U\ times_SU$是$U$上$s$上的一个等价关系。如果商$U/R$是一个代数空间，那么$U\到U/R$就是étale和surpjective。因此$（U，R，U\ to U/R）$是代数空间$U/R$的表示。
证明。将$c:U\表示为U/R$有问题的形态。设$T$是一个方案，$a:T\到U/R$是一种态射。我们必须证明（方案的）$\pi:T\times_{a，U/R，c}U到T$的同构是虚构的。形态$a$对应于一个包含$\{varphi_i:T_i\到T\}$的fppf和一个从$R$到$a_i:T_i\到U$的形态$a_i \ times a_{i'}:T_i \ times_TT_{i'{到U\ times_SU$因子，这样$c\circa_i=a\circ\varphi_i$。因此
\[T_i\times_{\varphi_i，T}T\times_a，U/R，c}U=T_i\times_{c\circa_i，U/R，c}U=T_i \times_Ai，U}U\times_c，U_R，c{U=T_ i\times _ai，U，T}R
由于$t$是e tale和surpative，我们得出结论，$\pi$到$t_i$的基本变化是surpatile和e tale。因为在fpqc拓扑中，surpjective和étale的性质在基上是局部的（参见备注65.4.3)我们赢了。$\平方$
引理65.10.4.让$S$成为一个方案。让$U$成为$S$之上的方案。设$j=（s，t）：R\ to U\ times_SU$是$U$上$s$上的一个等价关系。假设$U$是仿射的。那么商$F=U/R$是一个代数空间，而$U\到F$是étale和surpjective。
证明。由于$j:R\toU\times_SU$是单态，我们可以看到$j$是分开的（参见Schemes，Lemma26.23.3). 由于$U$是仿射的，我们看到$U\times_SU$（它配备了到仿射方案$U\timesU$的单态性）是分离的。因此，我们看到$R$是分开的。特别是形态$s、t$和e tale是分开的。
由于组成$R\to U\times_SU\to U$是局部有限类型的，因此我们得出结论$j$是局部的有限类型（参见Morphisms，Lemma29.15.8). 由于$j$也是单态的，它有有限的纤维，我们可以通过Morphisms，引理看到$j$是局部准有限的29.20.7总之，我们可以看到$j$是分离的，并且是局部准有限元。
我们的第一步是证明商映射$c:U\到F$是可表示的。考虑一个方案$T$和一个映射$a:T\到F$。我们必须证明层$G=T\times_{a，F，c}U$是可表示的。如引理的证明所示65.10.2和65.10.3存在一个fppf，它覆盖了i}$中的$\{varphi_i:T_i\ to T\}_{i\和$a_i:T-i\ to U$，这样$a_i乘a_{i'}:T_i\times_TT_{i'{to U\ times_SU$因子到$R$，这样，$c\circa_i=a\circ\varphi_i$。正如引理的证明65.10.3我们看到了
\开始{eqnarray*}T_i\times_{\varphi_i，T}G&=&T_i\temes_{\ varphi_i，T}T\times_{a，U/R，c}U\\&=&T_i\times _{c\circa_i，U/R.，c}U\\&=&T_i\ times_{a_i*}
由于$t$是分离的，尤其是分离的局部准有限元（由Morphisms，Lemmas29.35.10和29.36.16)我们看到，$G$对每个$T_i$的限制可以通过方案$X_i到T_i$（分离的局部准有限元）的态射来表示。按下降，引理35.39.1我们获得了相对于fppf覆盖${T_i\to T\}$的下降基准$（X_i，\varphi{i'}）$。由于每个$X_i\到T_i$都是分开的，并且是局部准有限元，我们可以通过More在Morphisms上看到，引理37.57.1这个下降基准是有效的。因此由下降引理35.39.1（2） 我们得出的结论是，$G$可以根据需要进行表示。
证明的第二步是证明$U到F$是满意感的。从上面可以清楚地看到这一点，因为在上面的第一步中，我们看到$G=T\times_{a，F，c}U$是一个超过$T$的方案，它的基改变为方案$X_i\到T_i$，这是一个推测性的和虚构的方案。因此，$G\to T$是一个悲观的故事（参见备注65.4.3). 或者可以重读引理的证明65.10.3在目前的情况下。
第三步也是最后一步是证明对角线映射$F\到F\乘以F$是可表示的。我们首先观察到图
\[\xymatrix{R\ar[R]\ar[d]_j&F\ar[d]^\增量\\U\times _ S U\ar[R]&F\times F}\]
是一个纤维制品广场。按引理65.3.4从$U\times_SU\到F\timesF$的态射是可以表示的（注意$h_U\times h_U=h_{U\timers_SU}$）。此外，通过引理65.5.7从$U\times_SU\times到F\timesF$的态射是满射和满射的（注意，满射和满射出现在备注列表中65.4.3和65.4.2). 它遵循引理65.3.3或者通过将$R\写入F$作为$R\写到U\写入F$and引理65.3.1和65.3.2$R\至F$也是可代表的。设$T$是一个方案，$a:T\到F\次F$是一种态射。我们必须证明$G=T\times_{a，F\timesF，Delta}F$是可表示的。根据上面所说的（方案的）同态
\[T'=（U\次_ S U）\次_{F\次F，a}T\右箭头T\]
是一个阴沉的故事。因此，$\{T'\to T\}$是$T$的故事覆盖。另请注意
\[T'\次_ T G=T'\次数_{U\次_ S U，j}R\]
从下面的立方体可以看出
\[\xymatrix{&R\ar[rr]\ar[dd]&&F\ar[add]\\T'\times _ T G\ar[rr]\ar[dd]\ar[ru]&&G\ar[dd]\ar[ru]&\\&U\times _S U\ar'[R][rr]&&F\times F\\T'\ar[R]\ar[Cru]&T\ar[ru]}\]
因此，我们看到$G$到$T'$的限制可以用一个方案$X$来表示，而且，态射$X\到T'$是态射$j$的基本变化。因此，$X到T'$是分离的，并且是局部准有限的（参见证明的第二段）。按下降，引理35.39.1我们获得了相对于fppf覆盖${T'\to T\}$的下降基准$（X，\varphi）$。由于$X\to T'$是分开的，我们在Morphisms，Lemma的More中看到了局部准有限37.57.1这个下降基准是有效的。因此由下降引理35.39.1（2） 我们得出结论，$G$是可表示的。$\平方$
定理65.10.5.让$S$成为一个方案。让$U$成为$S$之上的方案。设$j=（s，t）：R\ to U\ times_SU$是$U$上$s$上的一个等价关系。那么商$U/R$是一个代数空间，而$U\到U/R$则是真实的和满射的，换句话说，$（U，R，U\到U/R）$是$U/R$的表示。
证明。按引理65.10.3证明$U/R$是代数空间就足够了。让$U'到U$是一个满射的、故事化的态射。那么$\{U'\toU\}$就是一个fppf覆盖39.3.3.根据群胚，引理39.20.6我们看到$U/R\cong U'/R'$。按引理65.10.1$R'$是$U'$上的一个典型等价关系。因此，我们可以用$U'$替换$U$。
我们将前面的注释应用于$U'=\coprod U_i$，其中$U=\bigcup U_i$s是$U$的仿射开覆盖。因此，我们可以并且确实假设$U=\coprod U_i$，其中每个$U_i$s都是仿射方案。
考虑$R$到$U_i$的限制$R_i$。按引理65.10.1这是一个非常等价的关系。设置$F_i=U_i/R_i$和$F=U/R$。很明显，$\coprod F_i\to F$是surpjective。按引理65.10.2每个$F_i到F$都是可表示的，并且是开放式浸入。按引理65.10.4应用于$（U_i，R_i）$，我们可以看到$F_i$是一个代数空间。然后通过引理65.10.3我们看到$U_i\到F_i$是虚构的。从引理65.8.4由此得出$\corpod F_ i$是一个代数空间。最后，我们验证了引理的所有假设65.8.5因此，$F=U/R$是一个代数空间。$\平方$