特征系统

特征系统[米]

提供了一个列表{值,向量}平方矩阵的特征值和特征向量米.

特征系统[{米,一}]

给出了的广义特征值和特征向量米关于一.

特征系统[米,k个]

给出第一个的特征值和特征向量k个的特征值米.

特征系统[{米,一},k个]

给出第一个k个广义特征值和特征向量。

详细信息和选项

特征系统如果米包含近似实数或复数。
对于近似数值矩阵米，对特征向量进行归一化。 »
对于精确矩阵或符号矩阵米，特征向量未归一化。 »
给出的所有非零特征向量都是独立的。如果特征向量的数目等于非零特征值的数目，则相应的特征值和特征向量在它们各自的列表中的相应位置给出。特征值对应于特征向量矩阵中的行。
如果特征值比独立特征向量多，那么每个额外的特征值都与一个零向量配对。 »
如果是数字，则特征值按绝对值递减的顺序排序。
特征值和特征向量满足矩阵方程米。转座[向量]==转座[向量].对角矩阵[值]. »
广义有限特征值和特征向量满足米。转座[向量]==a。转座[向量].对角矩阵[值]. »
普通特征值总是有限的；广义特征值可以是无限的。无限广义特征值对应于对于其中. »
当矩阵米和一有一个维度‐共享空空间，然后它们的广义特征值的不确定并将与广义特征向量列表中的零向量配对。 »
{vals公司,血管内皮细胞}=特征系统[米]可用于设置vals公司和血管内皮细胞分别为特征值和特征向量。 »
对于数字特征值，特征系统[米,k个]提供了k个绝对值最大的特征值和相应的特征向量。
特征系统[米,-k个]提供了k个绝对值最小的特征值和相应的特征向量。
特征系统[米,规范]等同于应用Take（获取）[…,规范]到的每个元素特征系统[米].
特征系统[米,截至[k个]]给予k个特征值和相应的特征向量，或可用的任意数量。
备用阵列对象和结构化数组可以用于特征系统.
特征系统具有以下选项和设置：

立方（Cubics）	False（错误）	是否用部首解立方体
方法	自动	选择要使用的方法
石英岩	False（错误）	是否使用部首解四次方程
零点测试	自动	测试表达式何时为零

这个零位测试选项仅适用于精确矩阵和符号矩阵。
明确的方法近似数字矩阵的设置包括：

	“阿诺迪”	求几个特征值的Arnoldi迭代法
	“带状”	厄米矩阵的直接带状矩阵求解器
	“直接”	求所有特征值的直接方法
	“盛宴”	求区间特征值的FEAST迭代法(仅适用于厄米矩阵)

这个“阿诺迪”当应用于对称矩阵或厄米矩阵时，该方法也称为Lanczos方法。
这个“阿诺迪”和“美食”方法接受子选项方法->{"名称",选择₁->val值₁,…}，可以在中找到方法小节。

示例

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基本示例 (5)

用机器精度计算的特征值和特征向量：

任意决策矩阵的特征值和向量：

准确的特征值和特征向量：

符号特征值和特征向量：

设置vals公司和血管内皮细胞分别为特征值和特征向量：

范围 (19)

基本用途（6）

求机器决策矩阵的特征系统：

近似18位精度特征值和特征向量：

复矩阵的特征系：

精确本征系统：

高效计算大型数值矩阵的特征值和特征向量：

a的特征系统居中间隔矩阵：

寻找随机代表的本征系统mrep公司属于米:

验证在向量的重新排序和缩放之后，vals公司包含rvals公司和血管内皮细胞包含rvecs公司:

特征值子集 (5)

计算三个最大特征值及其对应的特征向量：

使用特征值作为标签，可视化三个向量：

对应于三个最小特征值的特征系统：

找到与四个最大的本征值相对应的本征系统，或者如果更少，则尽可能多：

提取特征系统子集时考虑重复特征值：

当特征值多于独立特征向量时，使用零向量：

广义特征值 (4)

计算机器决策广义特征值和特征向量：

广义精确本征系统：

以有限精度计算结果：

计算符号广义本征系统：

找到两个最小的广义特征值和相应的广义特征向量：

特殊矩阵 (4)

稀疏矩阵的特征系：

结构矩阵的特征系：

a的单位数量数组对象在特征值中，使特征向量无量纲：

的特征向量标识矩阵构成向量空间的标准基础：

的特征向量希尔伯特矩阵:

如果矩阵首先被数值化，则特征向量（但不是特征值）会发生显著变化：

选项 (10)

立方（Cubics） (1)

答3×3范德蒙德矩阵：

一般来说，精确到3×3个矩阵，结果将根据根对象：

要获得部首的结果，请使用立方（Cubics）选项：

请注意，结果为根对象更适合后续的数值计算：

方法 (8)

“阿诺迪” (5)

Arnoldi方法可用于机器和任意精度矩阵。Arnoldi方法的实现基于“ARPACK”库。它对大型稀疏矩阵最有用。

可以为该方法指定以下子选项“阿诺迪”:

	“基本尺寸”	阿诺迪基的大小
	“标准”	使用什么标准
	“最大迭代次数”	最大迭代次数
	“移位”	阿诺迪变换
	“开始向量”	开始迭代的初始向量
	“公差”	用于终止迭代的容差

的可能设置“标准”包括：

	“幅度”	基于绝对值
	“RealPart”	基于重新
	“图像部分”	基于伊姆河
	“两端”	对称实矩阵谱两端的几个特征值

使用不同的“标准”设置。矩阵米具有特征值:

默认情况下，“标准”->“量级”选择最大幅度的本征对：

找到最大的实部本征对：

找到最大的图像部分特征对：

从对称矩阵谱的两端找到两个特征对：

使用“开始向量”为了避免随机性：

不同的起始向量可能会收敛到不同的特征对：

使用“移位”->μ通过矩阵变换变换特征值到。这保留了特征向量，但通过以下方式改变了特征值-μ.该方法对改变的特征值进行补偿。“移位”通常用于在没有诸如最大或最小幅度之类的标准可以选择本征对时找到本征对：

手动移动矩阵并调整结果特征值：

自动移动和调整特征值：

“带状” (1)

带状方法可用于实对称或复埃尔米特机器决策矩阵。该方法最适用于查找所有特征对。

计算带状矩阵的两个最大特征对：

检查解决方案：

“美食” (2)

FEAST方法可用于实对称或复埃尔米特机器决策矩阵。该方法最适用于在给定区间内求特征值。

可以为该方法指定以下子选项“美食”:

	“轮廓点”	选择轮廓点的数量
	“间隔”	求特征值的区间
	“最大迭代次数”	优化循环的最大数量
	“NumberOfRestarts”（重启次数）	最大重新启动次数
	“子空间大小”	子空间的初始大小
	“公差”	终止细化的容差
	“UseBandedSolver”	是否使用带状解算器

计算区间中的本征对:

使用“间隔”要指定间隔：

间隔结束点不包括在FEAST在中查找特征值的间隔中。

检查解决方案：

石英岩 (1)

答4×4矩阵：

一般来说，对于4×4矩阵，结果将根据根物体：

你可以使用立方（Cubics）和石英岩选项：

应用 (16)

特征系的几何 (3)

当受到矩阵作用时，具有正特征值的特征向量指向同一方向：

当受到矩阵作用时，具有负特征值的特征向量指向相反的方向：

考虑以下矩阵及其相关的二次型:

特征向量是双曲线的轴，由:

特征值的符号对应于双曲线方程右侧的符号：

这是一个三维的正定二次型：

绘制曲面:

获得二次型的对称矩阵，使用系数数组:

数值计算其特征值和特征向量：

显示椭球体的主轴：

对角化 (5)

将以下矩阵对角化为首先，计算的特征值和特征向量：

构造对角矩阵从特征值和矩阵其列是特征向量：

确认身份:

矩阵的任何函数现在都可以计算为例如，Matrix电源:

同样，矩阵Exp变得微不足道，只需要对:

让是线性变换，其标准矩阵由矩阵给出.找到依据对于 $模板框[{}，实际值]^4$ 具有表示的属性在此基础上为对角线：

求的特征值和特征向量:

让由特征向量组成是其列为元素的矩阵:

转换自-坐标到标准坐标。其反向转换方向相反：

因此由提供，为对角线：

注意，这只是对角线矩阵，其条目是特征值：

实值对称矩阵可以正交对角化为，使用对角线和实值以及正交。验证以下矩阵是否对称，然后对角化：

计算特征值和特征向量：

矩阵对角线上有特征值：

对于正交矩阵，在将特征向量放入列之前，有必要对其进行标准化：

验证:

矩阵称为正规矩阵，如果正规矩阵是可以通过酉变换对角化的最一般的矩阵类型。所有实对称矩阵是正常的，因为等式的两边都是简单的:

显示以下矩阵是正常的，然后对角化它：

确认使用标准矩阵Q:

找到特征值和特征向量：

与实对称矩阵不同，对角矩阵是复值矩阵：

将特征向量归一化并将其列为一个酉矩阵：

确认对角化:

非对角化矩阵的本征系统：

所有特征向量跨度的维数小于特征值的数量：

估计随机4×4 1和0的矩阵不可对角化：

微分方程与动力系统 (4)

求解ODE系统,,首先，构造系数矩阵对于右侧：

求特征值和特征向量：

构造一个对角矩阵，其项是:

构造其列为相应特征向量的矩阵：

一般解决方案是，对于三个任意起始值：

使用验证解决方案DSolveValue（解决值）:

假设一个质点在平面力场中运动，且其位置向量为满足和，其中和如下所示。为解决此初始问题:

首先，计算的特征值和相应的特征向量:

系统的一般解决方案是.使用线性求解确定系数：

构造特征向量的适当线性组合：

使用验证解决方案DSolveValue（解决值）:

产生动力系统的一般解什么时候是以下随机矩阵：

使用印章要放弃较小的数值错误：

一般解是形式项的任意线性组合:

确认满足动力学方程直至数值舍入：

洛伦兹方程：

求方程右侧的雅可比矩阵：

找到平衡点：

在第一个八分之一处求雅可比矩阵的特征值和特征向量：

从小扰动向后积分的函数pt（磅）在这个方向目录:

在右侧显示平衡点的稳定曲线：

找到左侧平衡点的稳定曲线：

显示稳定曲线以及Lorenz方程的解：

物理 (4)

在量子力学中，状态由复单位向量表示，物理量由厄米线性算符表示。特征值表示可能的观测值，分量相对于特征向量的平方模表示这些观测值的概率。对于自旋操作符和州给定，找出可能的观测值及其概率：

计算本征系统，可能的观测结果如下:

将特征向量归一化，以便计算正确的投影：

相对概率为对于和对于:

在量子力学中，能量算符被称为哈密顿量和一个有能量的状态根据Schr进化ö丁格方程给出了自旋为1的粒子在恒定磁场中的哈密顿量方向，找到当时的状态最初处于状态的粒子代表:

计算本征系统时，能级为和:

归一化特征向量：

当时的状态是根据Schr演化的每个本征态的总和ö丁格方程：

转动惯量是一个真实的对称矩阵，它描述了刚体在不同方向旋转时的阻力。该矩阵的特征值称为主惯性矩，相应的特征向量（必须正交）称为主轴。求以下四面体的主惯性矩和主轴：

首先计算惯性矩：

计算主要力矩和轴：

验证轴是否正交：

四面体的重心位于原点：

可视化四面体及其主轴：

广义本征系统可用于寻找耦合振荡的简正模式，以解耦这些项。考虑图中所示的系统：

根据胡克定律,.在通用解决方案中替换产生矩阵方程，使用刚度矩阵和质量矩阵如下：

如果,,和:

求解广义特征值问题：

本征频率是特征值的平方根：

将正常模式解构造为广义特征向量乘以相应的指数：

验证两者均满足系统的微分方程：

属性和关系 (17)

数值矩阵返回的特征向量是单位向量：

精确矩阵和符号矩阵返回的特征向量通常不是单位向量：

特征系统[米]实际上相当于{特征值[米],特征向量[米]}:

如果需要特征向量和特征值，通常只需调用特征系统:

任何方阵都满足其相似关系：

任意一对方阵满足有限特征值的广义相似关系：

的无限广义特征值对应于的特征向量它位于:

向量是的特征向量具有特征值:

它也位于:

矩阵米具有一组完整的特征向量iff可对角化矩阵Q[米]是真的:

以下矩阵缺少空间的特征向量，符号为:

对于可对角化矩阵，特征系统将函数应用简化为特征值应用：

使用对角化计算矩阵指数：

使用以下公式计算矩阵指数矩阵Exp:

请注意，这不仅仅是每个条目的指数：

对于可逆矩阵,和具有相同的特征向量和倒数特征值：

由于特征值是按绝对值排序的，因此给出的值相同，但顺序相反：

对于解析函数，的特征向量也是的特征向量具有特征值:

例如具有相同的特征向量和平方特征值：

类似地是:

实对称矩阵的特征值是实的，其特征向量是正交的：

该矩阵是对称的：

通过检查，特征值是真实的：

确认特征向量相互正交：

实反对称矩阵的特征值是虚的，其特征向量是正交的：

该矩阵为反对称矩阵：

通过检查，特征值是虚构的：

确认特征向量相互正交：

酉矩阵的特征值位于单位圆上，其特征向量是正交的：

计算特征值和特征向量：

确认特征值位于单位圆上：

确认特征向量相互正交：

任何正规矩阵的特征向量都是正交的：

特征值可以是任意的：

但特征向量是正交的：

奇异值分解[米]由以下特征系统构建和:

计算:

的列是特征向量：

计算:

的列是特征向量：

自行数少于列数是:

考虑矩阵具有一组完整的特征向量：

Jordan分解[米]返回矩阵由特征值和特征向量构建：

这个矩阵与特征值项成对角线，顺序可能与特征系统:

这个矩阵具有相应的特征向量作为其列：

舒尔分解[n个,实块对角窗体False（错误）]对于数值正规矩阵:

矩阵{问,t吨}由特征值和特征向量构建：

这个t吨矩阵是对角的，具有特征值条目，可能与特征系统:

要验证这一点问将特征向量作为列，将每个向量的第一项设置为1消除相位差问和v（v）:

如果矩阵共享维度‐空空格，它们的广义特征值的不确定特征向量列表将用零填充：

的两个广义特征值是不确定并生成零矢量：

矩阵具有一维空空间：

它位于:

因此是不确定并生成零矢量：

可能的问题 (5)

一般的符号情况很快变得非常复杂：

表达式大小的增长速度超过了指数：

并非所有矩阵都有一组完整的特征向量：

使用Jordan分解精确计算：

使用舒尔分解对于数值计算：

构建10000×10000稀疏矩阵：

特征向量矩阵是一个稠密矩阵，太大，无法表示：

计算少数最大或最小特征值通常是可能的：

当特征值紧密分组时，稀疏矩阵的迭代方法可能不会收敛：

在1000次迭代之后，迭代没有很好地收敛：

您可以在接近预期值的位置对算法进行偏移，以加快收敛速度：

不包括为FEAST方法指定的间隔指定的端点。

建立一个特征值分别为3和9的矩阵，找出区间内的特征值和特征向量:

将间隔扩大到以便FEAST找到特征值3和9及其对应的特征向量：

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特征系统

详细信息和选项

示例

基本示例 (5)

范围 (19)

基本用途（6）

特征值子集 (5)

广义特征值 (4)

特殊矩阵 (4)

选项 (10)

立方（Cubics） (1)

方法 (8)

“阿诺迪” (5)

“带状” (1)

“美食” (2)

石英岩 (1)

应用 (16)

特征系的几何 (3)

对角化 (5)

微分方程与动力系统 (4)

物理 (4)

属性和关系 (17)

可能的问题 (5)

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基本示例 (5)

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基本用途 （6）

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特殊矩阵 (4)

选项 (10)

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方法 (8)

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可能的问题 (5)

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