系列、限度和残留物

总和和乘积求解幂级数方程
Power系列级数求和
进行幂级数扩展求解递归方程
幂级数的表示寻找极限
动力系列操作残留物
幂级数的合成与反演衬垫é近似值
幂级数到正规表达式的转换
总和和乘积
这就构成了总和:
如果下限等于1:
这使得我步长增加2，因此只有奇数‐包括编号值：
产品就像总和一样工作：
总和[（f）,{我,我最小值,我最大值}]
总数
总和[（f）,{我,我最小值,我最大值,di（数字）}]
和我逐步增加di（数字）
总和[（f）,{我,我最小值,我最大值},{j个,j个最小值,j个最大值}]
嵌套和
产品[（f）,{我,我最小值,我最大值}]
产品
总和和乘积。
这个总和是以符号方式计算的n个:
Wolfram系统还可以为这个无限和给出精确的结果：
与积分一样，简单的和可能导致复杂的结果：
无法使用标准数学函数精确计算此总和：
然而，您可以找到结果的数值近似值：
Wolfram语言也有表示多个和和乘积的符号。总和[（f）,{我,我最小值,我最大值},{j个,j个最小值,j个最大值}]表示超过我和j个，用标准数学符号表示为注意，在Wolfram语言表示法中，与标准数学表示法一样最外面的变量已给定第一.
这是倍数总和注意，最外面的总和超过我首先给出，正如数学符号中所示：
变量范围的指定方式总和和产品是一个相当普遍的例子迭代器表示法Wolfram语言使用的。当我们讨论使用表(“制作价值表”)，当我们描述做循环(“重复操作”).
{我最大值}
迭代我最大值次,不增加任何变量
{我,我最大值}
我来自1到我最大值步骤为1
{我,我最小值,我最大值}
我来自我最小值到我最大值以步为单位1
{我,我最小值,我最大值,di（数字）}
我来自我最小值到我最大值步骤为di（数字）
{我,我最小值,我最大值},{j个,j个最小值,j个最大值},…
我来自我最小值到我最大值,对于每个这样的值, j个来自j个最小值到j个最大值,等。
Wolfram语言迭代器表示法。
Power系列
到目前为止，我们讨论的数学运算是准确的给出精确的输入，其结果就是精确的公式。
然而，在许多情况下，您不需要精确的结果。例如，找到一个近似有效的公式，例如，当数量x很小。
这给出了幂级数近似值对于接近，根据订单条款:
Wolfram语言知道许多数学函数的幂级数展开：
如果你给它一个它不知道的函数，系列用导数写出幂级数：
幂级数是一种近似公式，它对代数表达式的作用与近似数对数值表达式的作用大致相同。Wolfram语言允许您对幂级数执行操作，在任何情况下都可以为生成的幂级数保持适当的顺序或“精度”。
这是一个简单的幂级数，精确到订单:
对幂级数进行运算时，结果仅按中的适当顺序计算x:
这将幂级数转化为一个普通表达式：
现在计算平方确切地:
应用展开给出了包含11项的结果：
系列[快递,{x,x0,n个}]
求的幂级数展开式快递关于这一点x=x0最多到n个 第个秩序
正常[系列]
截断幂级数以给出普通表达式
功率串联操作。
进行电源系列扩展
系列[快递,{x,x0,n个}]
求的幂级数展开式快递关于这一点x=x0最多订购(x-x0)n个
系列[快递,{x,x0,n个x},{年,年0,n个年}]
查找有关的级数展开式年,然后x
创建幂级数的函数。
以下是针对关于这一点订购 :
以下是关于这一点:
如果Wolfram语言不知道特定函数的级数展开式，它会用导数符号化地写出结果：
用数学术语来说，系列可以看作是构造函数泰勒级数的一种方法。
关于点的泰勒级数展开的标准公式函数的具有 第个导数是。无论何时应用此公式，其结果都与系列.（对于常用功能，系列然而，在内部使用了效率更高的算法。）
系列也可以生成一些包含分数幂和负幂的幂级数，这些幂级数不直接包含在标准泰勒级数公式中。
这是一个幂级数，包含x:
这是一个包含分数次幂的幂级数x:
系列也可以处理涉及对数项的序列：
当然，有些数学函数不存在标准幂级数。Wolfram语言承认许多这样的情况。
系列看到了在，并且不产生幂级数：
系列仍然可以为您提供以下项的幂级数关于这一点:
特别是当负幂发生时，函数的特定幂级数的确切项数有一些微妙之处系列将生成。
理解发生了什么的一种方法是考虑按一定顺序计算的幂级数和按一定精度计算的实数之间的类比。幂级数是“近似公式”，其意义与有限级数基本相同‐精确实数是近似数。
该程序系列以下构造幂级数的过程在很大程度上类似于N个在构建一个真实的‐数值近似。这两个函数实际上都是通过将表达式的最小部分替换为有限的‐有序或有限‐精度、近似值，然后计算结果表达式。例如，如果有取消，此过程可能会给出一个最终结果，其顺序或精度低于您最初要求的顺序或精度。喜欢N个然而，系列有一定的能力重试其计算，以便按照您要求的顺序获得结果。在没有成功的情况下，你通常仍然可以通过要求比你需要的更高的订单来获得特定订单的结果。
系列补偿此计算中的取消，并成功地为您提供按顺序排列的结果:
在变量中进行幂级数展开时x，Wolfram语言假定所有不显式包含x事实上独立于x.系列偏导数（有效地使用天)建立泰勒级数。
两者都有一和n个假设独立于x:
一[x]现在是的显式函数x:
你可以使用系列生成不同变量序列的幂级数。系列工作方式类似整合,总和，依此类推，并首先相对于指定的最后一个变量展开。
系列针对每个变量依次执行序列展开。本例中的结果是x，其系数在年:
幂级数的表示
功率序列在Wolfram系统中表示为系列数据物体。
幂级数打印为术语总和，以O（运行）[x]提升至权力：
然而，在内部，该系列存储为系列数据对象：
通过使用系列数据对象而不是普通表达式来表示幂级数，Wolfram系统可以跟踪顺序和扩展点，并对幂级数进行适当的操作。您通常不需要了解系列数据物体。
您可以通过出现O（运行）[x]术语。这个术语模仿了标准的数学符号，表示省略的订单条款出于一致性的各种原因，Wolfram系统使用了符号O（运行）[x]^n个对于省略的订单条款，对应于数学符号，而不是稍微更熟悉的，尽管是等价的形式.
任何时候O（运行）[x]出现在术语总和中，Wolfram系统实际上会将整个总和转换为幂级数。
以下人员的在场O（运行）[x]使Wolfram系统将总和转换为幂级数：
系列对象可以包含分数幂：
以下是序列的内部表示：
级数可以包含对数项：
对数因子显式显示在系列数据系数列表：
动力系列操作
Wolfram语言允许您对幂级数执行许多操作。在所有情况下，Wolfram语言只会根据输入的准确性为尽可能多的术语提供结果。
这是一个精确到四阶的幂级数:
当你平方幂级数时，你得到另一个幂级数，也精确到四阶：
取对数得到结果2倍，但仅限于订购:
Wolfram语言跟踪幂级数的阶数的方式与跟踪近似实数的精度几乎相同。与数值计算一样，幂级数上的运算可以提高或降低结果的精度（或顺序）。
这是一个精确的功率系列:
这提供了一个仅对订单精确的幂级数:
Wolfram语言还允许您使用幂级数进行微积分运算。
下面是一个用于:
这是关于x:
在以下方面进行整合x返回原来的幂级数：
当您执行一个涉及正规表达式和幂级数的操作时，Wolfram语言会尽可能将正规表达式“吸收”到幂级数中。
这个1自动吸收到功率序列中：
这个x ^2（x ^2）也被吸收到幂级数中：
如果您添加罪[x]，Wolfram语言为生成适当的幂级数罪[x]，并将其与您拥有的幂级数相结合：
Wolfram语言还吸收了乘幂级数的表达式。符号一假设独立于x:
Wolfram语言知道如何将各种各样的函数应用于幂级数。然而，如果您将任意函数应用于幂级数，则Wolfram语言除了符号结果之外不可能给出任何结果。
Wolfram语言不知道如何应用函数（f）到幂级数，所以它只留下象征性的结果：
幂级数的合成与反演
在处理幂级数时，有时可以方便地将级数视为表示功能例如，您可以合成或反转。
合成系列[系列1,系列2,…]
合成幂级数
逆级数[系列,x]
反转幂级数
幂级数的合成与反演。
以下是用于订购:
这将替换变量在幂级数中通过幂级数:
结果是的幂级数:
如果函数有幂级数，则通常可以获得以下解的幂级数近似值在方程式中该幂级数有效地给出了逆函数这样的话求逆函数幂级数的运算有时称为复归幂级数。
这是系列:
倒置级数可得到:
这与直接序列一致:
用逆数列构成恒等函数：
幂级数到正规表达式的转换
正常[快递]
将幂级数转换为正规表达式
将幂级数转换为正规表达式。
Wolfram语言中的幂级数以一种特殊的内部形式表示，它跟踪诸如其展开顺序之类的属性。
出于某些目的，您可能希望将幂级数转换为普通表达式。从数学的角度来看，这相当于截断幂级数，并假设所有更高‐订单条款为零。
这产生了一个具有四个术语的幂级数：
平方幂级数可以得到另一个幂级数，具有适当数量的项：
正常截断幂级数，给出一个正规表达式：
现在可以应用标准代数运算：
系列系数[系列,n个]
给出n个 第个幂级数中的序项
提取幂级数中的项系数。
这给出了在原动力系列中：
这给出了术语的系数在函数的泰勒展开式中大约为零：
求解幂级数方程
逻辑扩展[系列1==系列2]
给出等幂级数中相应系数得到的方程
解决[系列1==系列2,{一1,一2,…}]
幂级数系数的求解
求解涉及幂级数的方程。
下面是一个功率系列：
这给出了一个涉及幂级数的方程：
逻辑扩展为的每一次幂生成一系列方程式x:
这就解决了系数的方程一个[我]。您也可以将涉及幂级数的方程直接输入到解决:
一些涉及幂级数的方程也可以使用逆级数中讨论的函数“幂级数的合成与反演”.
级数求和
总和[快递,{n个,n个最小值,n个最大值}]
求…的和快递作为n个来自n个最小值到n个最大值
评估总和。
Wolfram系统将其视为:
这个总和是用贝塞尔函数表示的：
以下是可以根据常见特殊函数进行的另一个求和：
广义超几何函数在总和上并不罕见：
和和和积分之间有许多相似之处。正如不定积分是可能的一样，不定和也可以用符号变量作为上限。
这实际上是一个不确定的总和：
这个和是根据不完全伽玛函数得出的：
这一总和涉及到多囊卵巢的功能：
计算连续值的结果差异返回原始摘要：
Wolfram系统基本上可以计算表格中的所有总和。就像不定积分一样，包含简单函数的表达式的不定和往往会给出包含更复杂函数的答案。然而，定和，像定积分一样，通常是用更简单的函数表示的。
这个不定和给出了一个相当复杂的结果：
定式要简单得多：
下面是一个稍微复杂一些的定和：
求解递归方程
如果您代表n个 第个序列中的项为一[n个]，您可以使用递推方程指定它与序列中其他术语的关系。
R解决方案采用递推方程并对其进行求解，以获得一[n个].
这解决了一个简单的递归方程：
这就得到了解决方案，并为前10个问题创建了一个明确的表一[n个]:
R解决方案[当量（eqn）,一[n个],n个]
求解递推方程
求解递归方程。
这解决了几何级数的递推方程：
这得出了相同的结果：
这给出了递推方程的代数解：
这解决了斐波纳契递推方程：
R解决方案可以认为是D解决方案在求解微分方程时产生的许多相同函数也出现在求递归方程的符号解时。
这将生成一个gamma函数，它将阶乘推广到：
这一秒‐阶递推方程由贝塞尔函数得出：
R解决方案不需要为诸如一[1].喜欢D解决方案，它会自动引入未确定的常量C类[我]给出一般解决方案。
这给出了一个带有一个待定常数的一般解：
R解决方案可以解不只是线性依赖于一[n个]然而，对于非线性方程，有时必须给出几个不同的解。就像微分方程一样，很难找到递归方程的符号解，而标准数学函数只涵盖有限的一组情况。
下面是非线性递归方程的一般解：
这提供了两种不同的解决方案：
R解决方案不仅能解决普通问题差分方程其中的参数整数不同，但也不同‐差分方程其中的参数由乘法因子关联。
这解决了‐阶乘方程的差分模拟：
这里有一秒钟‐秩序‐差分方程：
R溶剂[{当量（eqn）1,当量（eqn）2,…},{一1[n个],一2[n个],…},n个]
求解一个耦合的递推方程组
求解递推方程组。
这解决了由两个耦合递归方程组成的系统：
R解决方案[情商,一[n个1,n个2,…],{n个1,n个2,…}]
求解部分递推方程
求解部分递推方程。
正如可以建立包含多个变量函数的偏微分方程一样，也可以建立包含多维序列的偏递归方程。正如在微分方程中一样，偏递推方程的一般解也可能涉及待定函数。
这给出了一个简单的部分递归方程的一般解：
寻找极限
在进行多种计算时，当变量采用特定值时，需要计算表达式。在许多情况下，只需使用/.操作员。
你可以得到仅通过显式替换使用0，然后计算结果：
然而，在某些情况下，你必须更加小心。
例如，考虑寻找表达式的值什么时候。如果您只是更换通过在这个表达式中，您得到了不确定的结果。要找到的正确值什么时候，您需要限制.
限制[快递,x->x0]
找到的极限快递什么时候x方法x0
寻找极限。
这给出了极限的正确值作为:
这种情况下不存在有限限制：
限制可以找到这个极限，即使你不能得到一个普通的幂级数在:
这里也是如此：
的价值签名[x]在是0:
它限制然而1。默认情况下，该限制取自上方：
并非所有函数在特定点都有明确的限制。例如，函数经常在附近无限振荡，因此没有明确的限制。然而，至少只要保持为实数，函数的值接近总是介于两者之间和.限制使用表示有界变化的值间隔物体。一般来说，间隔[{x最小值,x最大值}]表示区间中某个位置的不确定值到.
限制返回一个间隔对象，表示的可能值范围接近其本质奇点:
Wolfram语言可以用间隔物体：
Wolfram语言象征性地用间隔对象：
某些函数在特定点上可能有不同的限制，这取决于您接近这些点的方向。您可以使用方向的选项限制以指定所需的方向。
限制[快递,x->x0,方向->1]
求极限为x方法x0从下面
限制[快递,x->x0,方向->-1]
求极限为x方法x0从上面看
方向限制。
功能具有不同的极限值，取决于您是从上方还是下方接近：
从下面接近给出的极限值为:
从上面接近得出的极限值为:
限制对以下功能不做任何假设（f）[x]对此它没有明确的认识。因此，限制在大多数涉及符号功能的情况下仍然没有进行评估。
限制没有明确的知识（f），因此未评估此限制：
残留物
限制[快递,x->x0]告诉你快递是什么时候x倾向于x0。当此值为无穷大时，通常需要知道残留属于快递什么时候x等于x0.残差由系数给出在幂级数展开中快递关于这一点x0.
残留[快递,{x,x0}]
的残留物快递什么时候x等于x0
计算残留物。
这里的残差等于1：
这里的残留物为零：
可以在无穷远处计算残差：
衬垫é近似值
垫子é近似是一个有理函数，可以看作是泰勒多项式的推广。有理函数是多项式的比值。因为这些函数只使用基本算术运算，所以很容易进行数值计算。分母中的多项式可以近似具有有理奇点的函数。
PadeA近似值[（f）,{x,x0,{n个,米}}]
把垫子给我é近似值居中于x0订单的(n个,米)
PadeA近似值[（f）,{x,x0,n个}]
给对角线垫é近似值居中于x0订单的n个
衬垫é近似值。
更准确地说，是一个Padé阶次近似转换为解析函数在固定的点或极是有理函数哪里是次数多项式,是次数多项式，和的形式幂级数关于这一点以术语开头.如果等于，近似值称为对角线Padé阶次近似.
这是Padé阶近似到在:
这给了另一个Padé相同阶数的近似值：
这个级数的初始项消失了。这是Pad的特性é近似值：
这绘制了近似值和真函数之间的差异。请注意，近似值在膨胀中心附近非常好，但当您离开时，误差会迅速增加：
用Wolfram语言PadeA近似值是广义的，以允许关于分支点的展开。
这就形成了对角线衬垫é阶近似到一个广义有理函数:
这就形成了对角线衬垫é阶近似有理函数在分支点处的对数:
函数的级数展开与对角Pad一致é近似到阶: