VandermondeMatrix公司

VandermondeMatrix公司[{x个₁,x个₂,…,x个_n个}]

给出了一个n个×n个节点对应的Vandermonde矩阵x个_我.

VandermondeMatrix公司[{x个₁,x个₂,…,x个_n个},k]

给出一个n个×k范德蒙德矩阵。

VandermondeMatrix公司[vmat公司]

转换Vandermonde矩阵vmat公司到结构化数组。

详细信息和选项

Vandermonde矩阵表示为结构化数组时，可以实现高效存储和更高效的操作，包括底特律,反向和线性求解.
Vandermonde矩阵出现在与多项式插值相关的计算中，以及在单项基中计算矩。
节点x个_我不需要是数字，也不需要是不同的。
非流动Vandermonde矩阵(x个_我distinct）的条目由.

汇合Vandermonde矩阵(x个_我当允许两个或多个节点相互接近时，这是非流畅Vandermonde矩阵的极限形式。 »
在非流动情况下，解决方案{一₀,…}=线性求解[V（V）,{b条₁,…}]给出多项式的系数对点进行插值{x个_我,b条_我}这样的话.
在合流的情况下，解决方案{一₀,…}=线性求解[V（V）,{b条₁,…}]给出了Hermite插值多项式的系数，其中x个_我与提供的衍生工具信息相对应。
加速的操作VandermondeMatrix公司包括：
底特律时间

反向时间

线性解算时间
对于VandermondeMatrix公司南非，以下属性"支柱"可以访问为南非["支柱"]:

	“节点”	节点向量x个_我
	“多重性”	每个唯一节点的多重性
	“排列”	排列列表
	“合流”	矩阵是否合流
	“换位”	矩阵是否被转置
	“属性”	支持的属性列表
	“结构”	结构化数组的类型
	“结构化数据”	结构化数组存储的内部数据
	“结构化算法”	结构化数组的特殊方法函数列表
	“摘要”	摘要信息,表示为数据集

正常[VandermondeMatrix公司[x个]]将Vandermonde矩阵作为普通矩阵给出。
VandermondeMatrix公司[…,目标结构->结构]以指定的格式返回Vandermonde矩阵结构。可能的设置包括：
自动自动选择返回的表示

“密集” 将矩阵表示为稠密矩阵

“结构化” 将矩阵表示为结构化数组
VandermondeMatrix公司[…,目标结构自动]等于VandermondeMatrix公司[…,目标结构“结构化”].

示例

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基本示例 (2)

构造一个带有符号项的Vandermonde矩阵：

显示元素：

得到行列式：

用数字项构建Vandermonde矩阵：

获得矩阵的普通表示：

用矩阵求解线性系统（双重Vandermonde问题）：

该解给出了近似余弦的插值多项式的系数：

范围 (8)

矩形Vandermonde矩阵：

显示元素：

汇合的Vandermonde矩阵：

显示元素：

矩形汇合Vandermonde矩阵：

显示元素：

将非流畅的Vandermonde矩阵表示为结构化数组：

显示元素：

结构化表示通常使用更少的内存：

VandermondeMatrix公司对象包括提供有关阵列信息的属性：

这个“节点”属性给出生成Vandermonde矩阵的节点向量：

这个“排列”属性给出了与Vandermonde矩阵相关的置换向量：

这个“多重性”属性提供每个唯一节点的多重性：

这个“合流”财产给予真的如果Vandermonde矩阵是合流的，并且False（错误）否则：

这个“换位”财产给予真的如果Vandermonde矩阵被转置，并且False（错误）否则：

这个“摘要”属性提供有关数组的信息的简要摘要：

这个“结构化算法”属性提供具有使用表示结构的算法的函数列表：

结构化算法通常更快和/或更准确：

精确的行列式可以计算：

根据计算得出的值VandermondeMatrix公司更准确：

结构化算法可以避免疾病调节带来的问题：

求解线性系统使用VandermondeMatrix公司:

使用法线矩阵求解线性系统：

残差较小VandermondeMatrix公司:

适当时，结构化算法会返回另一个结构化数组：

评估其共轭转置给出了一个结构化的结果：

具有原始矩阵的乘积不再是Vandermonde矩阵：

选项 (1)

目标结构 (1)

返回Vandermonde矩阵作为稠密矩阵：

以结构化数组的形式返回Vandermonde矩阵：

应用 (7)

生成一组n个+1函数的不同示例：

使用VandermondeMatrix公司寻找次数多项式n个在这些样本处插值函数：

定义多项式：

比较原始函数和插值多项式：

确定多项式的系数满足插值条件的和导数条件:

定义多项式：

验证是否满足插值和导数条件：

定义一组4个不同的点：

将三次Vandermonde多项式拟合到点集：

的倒数列VandermondeMatrix公司定义一组多项式学位n个称为拉格朗日多项式：

拉格朗日多项式满足恒等式 $L_i（x_j）=模板框[{{i，，j}}，KroneckerDeltaSeq]$ :

用拉格朗日多项式表示Vandermonde多项式：

绘制并比较：

定义带根的多项式:

构造一个VandermondeMatrix公司从根开始：

具有已知根的多项式的Frobenius伴随矩阵类似于包含根的对角矩阵，Vandermonde矩阵充当相似变换：

Frobenius伴随矩阵的最后一列包含多项式系数的负n个-1:

这些也与初等对称多项式相同，直至符号：

求解n个-阶有限差分公式：

组装有限差分公式：

这相当于差商:

定义用于计算闭合牛顿的节点和权重的函数–科特斯规则[数学世界]:

梯形法则为1牛顿级–Cotes公式：

Simpson规则是2牛顿阶–科特斯公式：

布勒定律是四阶牛顿–科特斯公式：

安n个-指数函数的项和：

在以下位置对指数函数进行采样分数：

使用Prony的方法[维基百科]要从数据中恢复指数的总和，请执行以下操作：

属性和关系 (6)

汇合的Vandermonde矩阵可以作为非流动矩阵的极限：

取每行的连续差分：

限制为是汇合的Vandermonde矩阵：

傅里叶矩阵可以表示为VandermondeMatrix公司:

多项式的判别式可以表示为底特律的VandermondeMatrix公司:

求解汇合的Vandermonde系统：

这些是插值多项式指定了导数：

证明Vandermonde矩阵逆矩阵的对角、Vandermonte和Hankel矩阵的因式分解：

将Cauchy矩阵表示为对角线矩阵、Vandermonde矩阵和Hankel矩阵的乘积：

整洁的示例 (2)

矩阵和向量：

定义一个函数，用于从给定矩阵和向量计算Krylov矩阵：

计算矩阵的特征值：

矩阵指数对向量的作用可以用Krylov矩阵和Vandermonde矩阵的逆表示：

验证是否可以从中获得相同的结果矩阵Exp:

验证是否可以从中获得相同的结果DSolveValue（解决值）:

线性卡普托微分方程也可以用Krylov矩阵和Vandermonde矩阵的逆矩阵以及Mittag来求解–Leffler函数MittagLefflerE公司:

验证是否可以从中获得相同的结果DSolveValue（解决值）:

隐式伦格的屠夫画面–库塔方法可通过求解由勒让德多项式根构造的原始范德蒙德系统获得：

定义用于计算隐式Runge的函数–库塔–高斯系数达到给定精度：

将这些系数用于NDSolveValue公司为了求解模拟火焰传播的刚性微分方程，由于沙姆平：

将结果与精确的解决方案进行比较：

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详细信息和选项

示例

基本示例 (2)

范围 (8)

选项 (1)

目标结构 (1)

应用 (7)

属性和关系 (6)

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	反向	时间
	线性解算	时间

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