鲁棒凸优化

鲁棒凸优化[（f）,ForAll（全部）[部分,pcon公司,真空开关],变量]

查找的值变量给出的最小值为（f）对于变量满足约束条件的真空开关参数的所有可能值部分满足参数约束的pcon公司.

鲁棒凸优化[…,"支柱"]

指定解决方案属性"支柱"应返回。

详细信息和选项

  • 稳健优化也称为最坏情况优化。
  • 鲁棒优化通常用于解决由参数约束的参数表示的不确定性下的优化问题。
  • 稳健优化给出了最保守的解决方案，即对于所有可能的参数值，都可以实现给定的最优值。
  • 稳健优化找到稳健极小值它解决了以下问题：
  • 减少
    哪里
  • 稳健最小化满足为所有人在参数集中。
  • 稳健最小值满足为所有人在参数集中。
  • 线性等式约束或可能包括在pcon公司或真空开关.
  • 鲁棒凸优化[（f）,欺骗,变量,部分]也可以使用。约束条件欺骗自动分离为纯参数约束以及可能取决于参数的可变约束。此表单与兼容参数凸优化.
  • 如果一个鲁棒优化问题可以转化为一种可以通过凸优化求解或近似的形式，那么它就被认为是可处理的。牵引性取决于可变约束类型的组合以及参数约束的类型.
  • 以下可变约束和参数约束的组合被认为是可处理的：
  • 可变约束参数约束
    模板框[{{a，.，x}，+，b}}，规范]
    TemplateBox〔｛｛｛｛a，（，theta，）｝，.，x｝，+，｛b，（，theta，）｝｝，范数〕<=c.x+d
    模板框[{{{a，（，{theta，_，l}
    a_0（θ）+a_1（theta）x_1++a_k（θ）x_k>=_（模板框[{n}，半定义ConeList]）0
  • 通常，变量约束转化为形式的二次曲线约束，其中是其中之一“非负锥体”,“标准圆锥”或“半定锥”以及对和关于参数应该是仿射的。
  • 当目标函数取决于参数或非线性，一个附加变量介绍了用题词变换和问题变换具有客观性带有附加约束.
  • 变量和参数规范变量和部分每个都应该是一个列表，其中的元素以下列形式之一给出变量或参数：
  • v（v）具有推断维度的变量或具有名称的标量参数
    v（v）∈雷亚尔实标量变量
    v（v）∈整数整数标量变量
    v（v）∈复合物复数标量变量
    v（v）∈ℛ限制在几何区域内的向量变量
    v（v）∈矢量[n个,dom公司]矢量变量输入, 或TemplateBox[｛｝，复杂项]^n
    v（v）∈矩阵[{米,n个},dom公司]矩阵变量, 或模板框[{}，复杂性]^（m x n）
  • 可能的解决方案属性"支柱"包括：
  • “PrimalMinimizer”最小化的变量值列表
    “原始最小化规则”变量的值变量={v（v）1,…}最小化
    “原始最小化向量”最小化的向量
    “基本最小值”最小值
    {"支柱1","支柱2",…} 几个解决方案属性
  • 可以提供以下选项：
  • 最大迭代次数自动要使用的最大迭代次数
    方法 自动使用的方法
    绩效目标$绩效目标尝试优化的性能方面
    公差 自动用于内部比较的容差
  • 选项方法方法可用于指定要使用的方法。可用的方法包括：
  • 自动自动选择方法
    “剪切集”使用切割集方法
    “多面体近似”近似“标准圆锥”具有一组线性约束的约束
    “SCS”SCS公司(分裂二次曲线解算器)图书馆
    “CSDP”CSDP公司(COIN半定规划)图书馆
    “DSDP”DSDP公司(半定规划)图书馆
  • 一些不易处理的鲁棒优化问题可以用割集方法近似求解。

示例

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基本示例  (2)

找到一个稳健的最小化方法受到约束:

鲁棒极小值满足所有约束具有:

找到一个稳健的最小化方法受变量约束:

鲁棒极小值位于所有约束集的交叉点（绿色）α∈[-.5,.5]:

范围  (29)

基本用途  (15)

找到一个稳健的最小化方法从属于为所有人这样的话:

找到一个强大的最小化器从属于为所有人在间隔中:

找到一个强大的最小化器从属于为所有人这样的话:

找到一个稳健的最小化方法从属于为所有人这样的话:

使用替代语法而不使用显式面向所有人:

此语法可直接用于参数凸优化尝试特定的值:

使用无矢量相等表达几个小于等于不等式约束：

使用v（v）<=要以紧凑形式输入向量不等式：

使用标量不等式的等效形式：

使用矢量最大值相等表达几个更大的相等不等式约束：

使用v>（v）=要以紧凑形式输入向量不等式：

使用标量不等式和矢量不等式的组合指定约束：

使用标量不等式的等效形式：

使用向量变量和向量不等式来指定问题：

最小化功能受约束为所有人这样的话:

使用已编制索引访问向量变量的组件，例如。模板框[{x，1}，索引默认值]:

使用常数参数方程指定目标和约束的系数：

最小化功能从属于为所有人这样的话:

使用矢量[n个,雷亚尔]如需指定矢量变量的尺寸：

使用指定非负约束非负域(模板框[{}，非否定域]):

使用向量不等式的等效形式：

使用指定非正约束非正面现实(模板框[{}，非积极结果]):

使用指定边界间隔:

使用评估确保中的第一个参数面向所有人将参数分组并分配给变量时进行计算：

线性变量约束  (5)

找到一个稳健的最小化方法从属于为所有人在间隔中[0,2]:

数学上的约束为所有人在里面[0,2]意味着因此，该问题相当于：

找到一个稳健的最小化方法受可变约束为所有人这样它们就被限制在区间内：

可视化极值的最小值和变量约束集.一套这对于所有可能的参数值都是可行的，以绿色显示，是参数可行区域的交集：

找到一个稳健的最小化方法受可变约束为所有人这样它们就被限制在区间内：

可视化最小值，参数极值的可变约束集可行区域（以绿色显示）：

找到一个稳健的最小化方法受可变约束为所有人这样的话:

可视化最小值，参数极值的可变约束集可行区域（以绿色显示）：

找到一个稳健的最小化方法受可变约束为所有人这样的话:

对于极端参数值，查找的范围其中矩阵为半正定：

可视化最小值和可行区域（以绿色显示），该可行区域由不同区域的交集形成:

NormCone变量约束  (7)

找到一个稳健的最小化方法过变量约束为所有人这样的话:

可视化极值的最小值和变量约束集.一套这对于所有可能的参数值都是可行的是所有可行区域的交点（以绿色显示）：

找到一个稳健的最小化方法过变量约束为所有人这样的话:

可视化最小值，参数极值的可变约束集可行区域（以绿色显示）：

找到一个稳健的最小化方法超变量约束为所有人这样的话:

可视化最小值，为极值的可变约束集可行区域（以绿色显示）：

找到一个稳健的最小化方法超变量约束为所有人这样的话:

可视化最小值，为极值的可变约束集可行区域（以绿色显示）：

找到一个稳健的最小化方法超变量约束为所有人这样的话:

找到一个稳健的最小化方法过变量约束为所有人这样的话:

可视化最小值，为极值的可变约束集可行区域（以绿色显示）：

找到一个稳健的最小化方法超变量约束为所有人这样的话:

可视化最小值，为极值的可变约束集可行区域（以绿色显示）：

半定义单变量约束  (2)

找到一个近似的鲁棒极小值受可变约束为所有人这样的话:

可视化最小值，参数极值的可变约束集可行区域（以绿色显示）：

找到一个近似的鲁棒极小值受可变约束为所有人这样的话:

可视化最小值，参数极值的可变约束集可行区域（以绿色显示）：

选项  (3)

方法  (2)

使用方法“剪切集”解决健壮的对应项无法处理的问题：

可视化参数的两个极值的最小值和变量约束集以及可行区域（以绿色显示）：

使用方法“多面体近似”线性化“标准圆锥”约束。这使得近似求解问题能够与其他难以解决的健壮对应项一起解决：

可视化参数的两个极值的最小值和变量约束集：

公差  (1)

一个较小的公差设置可提供更精确的结果：

此问题的准确值可以通过设置:

计算不同位置的误差公差设置：

可视化最小值误差相对于公差的变化：

应用  (14)

几何问题  (2)

找到中心和半径包含一组子圆的最小圆：

子圆由作为不确定度盘中心的点表示：

目标是最小化半径受约束:

圆盘的中心和半径为：

绘制结果：

求半径为的两个圆盘之间的最小距离并以和将不确定性建模为椭球体:

让和是与磁盘1和2关联的点。目标是将从属于:

具有中心和半径不确定性的两个圆盘之间的最小距离为：

可视化两个点的位置，以及不确定度盘的一些极端情况：

数据拟合问题  (3)

找到响应受区间不确定性影响的数据的稳健线性拟合：

目标是最小化受区间不确定性影响的输入和输出之间的误差:

查找坡度米和拦截b条实现稳固贴合年=米 x个+b条:

与数据的简单最小二乘拟合进行比较：

为100种可能实现的不确定性寻找合适的模型：

用稳健拟合（黑色）、简单拟合（绿色）和数据显示拟合模型的包络线：

将三次曲线拟合到输出包含区间不确定性的离散数据:

使用构建输入矩阵设计矩阵:

目标是最小化受区间不确定性影响的输入和输出之间的误差:

找出与每个基数相关的系数：

为不确定性的100种可能实现找到拟合模型：

用稳健拟合（黑色）和数据显示拟合模型的包络线：

将稳健拟合（黑色）和平均模型（红色）与无噪声的精确解进行比较：

鲁棒拟合将倾向于具有比平均模型更高的误差：

将三次曲线拟合到测量实例（输入）在不确定范围内的离散数据:

找出受区间不确定性影响的系数在输入矩阵上：

用输入噪声随机实例生成的包络线显示稳健拟合：

将稳健拟合（黑色）和平均模型（红色）与无噪声的精确解进行比较：

制造问题  (3)

找到两种药物的最佳组合考虑到从两种不同原料中提取活性剂的不确定性，一家公司要制造利润最大化的产品.单位药品收入为：

该公司只能储存1000公斤原材料：

生产这两种药物需要90到100个小时的人力。该公司只有2000小时的可用人力：

生产这两种药物需要40到50个小时的设备时间。该公司只有800小时的设备可用时间：

生产这两种药物的运营成本分别为700和800。每公斤原料成本分别为100和199.9：

该公司的总预算为100000美元：

该公司必须生产一些药品，因此必须购买一些原料：

从这两种原料中提取的活性剂量为g/kg和分别为g/kg原料。这两种药物分别需要0.5克/单位和0.6克/单位的活性剂：

目标是最大限度地增加收入，同时最大限度地降低采购和运营成本：

药物的最佳组合是：

考虑到不确定性，利润为：

构造问题的参数函数：

在原料中没有活性剂波动的情况下，首选第二种原料：

不存在不确定性的利润为：

考虑到不确定性，利润最多减少6%：

稳健的解决方案对应于从原料中提取的活性剂最少的最坏情况：

要了解使用稳健解决方案的优势，请使用原材料和活性剂不确定性作为参数生成参数函数：

如果使用标称结果购买原材料，即。则利润可能会减少21%，具体取决于可从原料中提取的活性剂的数量：

如果使用稳健的结果购买原材料，即。，则利润最多可能减少6%：

将利润绘制为可从第二种原料中提取的活性剂的函数：

在制造投入存在一定不确定性的情况下，找出能使公司利润最大化的产品组合。该公司生产三种产品。在理想条件下，单位收入、单位成本和最大产能如下：

每个产品使用四台机器制造。机器在每个产品上花费的时间是：

由于市场波动，每单位产品产生的收入可能减少5美元：

考虑到机器停机时间，每种产品的生产能力可能会减少5个单位：

每台机器每周最多可以运行2400分钟。如果机器不工作，则最多需要120分钟才能恢复工作状态：

四台机器中任何一台的维修成本都会使每台产品的成本增加5美元：

利润等于收入减去成本乘以单位数量对于产品:

收集所有变量约束：

收集所有参数约束：

收集所有参数规格：

目标是实现利润最大化。最佳产品组合如下：

构造一个参数函数来改变各种参数：

最好的情况是不减少收入或机器停机，具体如下：

最坏情况对应的结果是鲁棒凸优化:

找出能最大化销售三种产品的公司利润的产品组合受价格和供应波动的影响：

考虑价格波动的单位收入每单位为：

工厂只开放100天。理想情况下，制造每个单元需要2、4或5天，但由于意外延误，制造时间可能会增加一天：

每种产品都含有金和锡。可用的黄金和锡总量为和单位，分别为：

如果产品是在以下情况下制造的，公司将为每种产品承担安装成本：

由于相对较高的安装成本，最好不要生产某些产品。让是一个决策变量，以便if产品是制造的，否则.限制确保如果是0，也是，但不限制比其他约束做的更多：

目标是实现利润最大化：

收集所有变量约束：

收集参数约束：

收集参数规范：

最佳配比如下：

构造一个参数函数来改变各种参数：

结果与最坏情况相符，如下所示：

结构优化问题  (1)

找出悬挂链的形状弹簧连杆在每个连杆末端承受垂直载荷，其中弹簧的刚度和平衡长度都受到制造不确定性的影响。目标是找到链接位置:

重力产生的势能为，其中是每端的垂直荷载是重力：

由于拉伸引起的弹簧连杆张力产生的势能为，其中是弹簧环中的拉伸,是弹簧的不确定刚度是弹簧的理想刚度。使用，能量转化为:

另一个约束由于转换，必须添加：

链节的末端固定在适当的位置(0,0)和(2,-1):

每个环节都必须满足条件，其中每个弹簧的静止长度是否存在不确定性:

设计常数参数为：

最终目标函数是必须最小化的重力和弹簧势能的总和：

找到每个弹簧连杆的端点：

可视化生成的弹簧链的形状：

链环末端附近的链环拉伸最大。连杆12的伸长率最小：

投资组合优化  (2)

在可能存在市场波动的20只候选股票中，找出6只股票的最佳组合进行投资，以便在平均回报存在不确定性的情况下，最大化回报，同时最小化风险。预期返回值用于库存以及股票之间的协方差是：

由于市场波动，每只股票的平均回报值存在不确定性:

让是股票总投资的百分比。回报由:

风险由:

让是一个决策向量，如果，然后购买股票。必须选择六种股票：

投资比例必须大于0并且必须添加到1:

找到风险最小化、回报最大化的最佳股票组合：

股票的最安全最优组合是：

投入各自股票的投资比例为：

安全风险和回报是：

构造一个参数函数来改变各种参数：

与具有随机不确定性的最优股票相比，最安全的最优股票组合的风险和回报最小：

当平均回报和协方差都存在不确定性时，求出投资于六只股票的资本分布，以最大化回报，同时最小化风险。预期返回值用于库存以及股票之间的协方差是：

由于市场波动，每只股票的回报值都存在不确定性:

让是股票总投资的百分比。回报由:

协方差是从有限的数据集中提取出来的，也会受到不确定性的影响:

风险由下式给出、和是风险规避参数：

目标是最大化回报，同时最小化特定风险规避参数的风险:

投资比例必须大于0并且必须添加到1:

计算一系列风险规避参数的回报和相应风险：

增加风险规避参数导致股票多样化以降低风险：

设施位置问题  (1)

一家公司想开一家新工厂。这家工厂需要五个仓库的原材料。单位距离的运输成本，在新工厂和仓库之间：

让是工厂和仓库之间的距离目标是将:

五个仓库位于：

新工厂必须位于这样的位置:

找到新工厂和仓库之间的最佳距离：

新工厂位置靠近仓库，仓库的运输成本较高：

分类问题  (2)

查找线条将两组点分开和哪里是区间不确定性：

对于分离，集合1必须满足和集合2必须满足:

目标是最小化，其厚度为和:

分隔线为：

可视化分类器主题以及每个点的方框不确定性：

增加盒子的不确定性将导致分类器不可行：

对不确定性增加的集合进行可视化显示，这两个集合有一些不确定性框重叠的点：

找到分隔两组3D点的二次多项式和哪里是区间不确定性：

使用设计矩阵:

对于分离，集合1必须满足和集合2必须满足:

通过最小化找到分离多项式:

分离两组点的多项式为：

绘制分隔两个数据集的多项式：

可能的问题  (1)

某些问题将失败，因为面向所有人未评估：

使用评估确保中的第一个参数面向所有人得到评估：

Wolfram Research（2020），鲁棒凸优化，Wolfram语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/RobustConvexOptimization.html。

文本

Wolfram Research（2020），鲁棒凸优化，Wolfram语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/RobustConvertOptimization.html。

CMS公司

沃尔夫拉姆语言。2020年，《稳健凸优化》，Wolfram语言与系统文档中心。Wolfram研究。https://reference.wolfram.com/language/ref/RobustConvexOptimization.html。

亚太地区

沃尔夫拉姆语言。(2020). RobustConvert优化。Wolfram语言与系统文档中心。检索自https://reference.wolfram.com/language/ref/RobustConvexOptimization.html

BibTeX公司

@misc{reference.wolfram_2024_robustconflaxoptimization，author=“wolfram Research”，title=“{鲁棒凸优化}”，year=“2020”，howpublished=“\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/RobustConflexOptimization.html}”]}

BibLaTeX公司

@在线{reference.wolfram_2024_robustconflaxoptimization，organization={wolfram Research}，title={RobustConflaxOptimization}，year=2020}，url={https://reference.jolfram.com/language/ref/RobustConflexOptimization.html}，note=[访问时间：2024年9月21日]}