FiniteGroup数据

FiniteGroup数据[名称,"财产"]

给出由指定的有限组的指定属性的值名称.

FiniteGroup数据["班"]

给出了指定类中有限组的列表。

细节

可以通过以下名称指定组“C3”,“四元数”、和{“对称组”,4}.
FiniteGroup数据[名称]提供指定组的名称的标准格式名称.
FiniteGroup数据[图案]给出与字符串模式匹配的所有组名的列表拍.
完成分组数据[]和FiniteGroup数据[全部]给出可用的命名有限群和无限族的小成员的列表。
FiniteGroup数据[{n个, 身份证件},…]给出有限阶群的数据n个带标识符身份证件.
FiniteGroup数据[n个]给出了非同构有限阶群的列表n个.
FiniteGroup数据[；；n个]给出了阶数最多为的非同构群的列表n个.
FiniteGroup数据[n个₁；；n个₂]给出了顺序非同构群的列表n个₁通过n个₂.
FiniteGroup数据[{"类型", 身份证件}, …]给出具有标识符的指定类型的有限组的数据身份证件标识符通常是一个整数或一个整数列表。
基本群体包括：

	{“备选组”,n个}	交替群
	{“结晶点组”,n个}	三维晶体学点群,
	{“循环组”,n个}	循环群
	{“CyclicGroupUnits”,n个}	“单位”组循环群的
	{“双环群”,n个}	双环群
	{“二面体群”,n个}	二面体群
	{“点组”,身份证件}	三维点编组
	{“对称组”,n个}	对称群

有限的简单组包括：

	{“ProjectiveSpecialLinearGroup”,{n个,q个}}	射影特殊线性群
	{“投影辛组”,{n个,q个}}	射影辛群
	{“雪佛兰集团B”,{n个,q个}}	特殊契瓦利群
	{“雪佛兰集团D”,{n个,q个}}	特殊契瓦利群
	{“ChevalleyGroupE”,{n个,q个}}	特殊契瓦利群,
	{“ChevalleyGroupF”,{4,q个}}	特殊契瓦利群
	{“ChevalleyGroupG”,{2,q个}}	特殊契瓦利群
	{“ReeGroupF”,q个}	Ree组
	{“重新分组G”,q个}	Ree组
		零星简单群,
	{“斯坦伯格集团A”,{n个,q个}}	斯坦伯格酉群
	{“斯坦伯格集团D”,{n个,q个}}	斯坦伯格正交群
		斯坦伯格正交群
	{“斯坦伯格集团E”,q个}	斯坦伯格正交群
		铃木集团

特殊组规范包括：

	{“AbelianGroup”,{米,n个,…}}	阿贝尔群
	{“DirectProduct”,{组₁,组₂,…}}	群的直积
	{“半直接产品”,{组₁,组₂}}	半直接产品,具有结果正常

FiniteGroup数据[“属性”]给出了可用于组的属性列表。
基本组属性包括：

	“居中”	群的中心(交换元子群)
	“中心元素”	中心子组的元素
	“类别编号”	类别编号
	“换向器子组”	换向器子群
	“换向器子组元素”	交换子子群的元素
	“共轭类”	夫妻关系类别
	“元素名称”	元素名称列表
	“元素”	群元素
	“指数”	群的指数
	“发电机”	发电机元件
	“反向发电机”	发电机元件的反比
	“反向”	逆元素
	“乘法表”	乘法表
	“NormalSubgroupElements”	正规子群的元素
	“正常子组”	正规子群
	“订单”	元素总数
	“子组元素”	子群元素
	“子组”	子群
	“SylowSubgroupCounts”	Sylow子群的大小
	“SylowSubgroupElements”	Sylow子群的元素
	“SylowSubgroups”	-Sylow子组

组的元素由从1到组顺序的整数指定，其中1对应于标识元素。
组结构属性包括：

	“自同构组”	自同构群
	“内部自同构组”	内自同构群
	“同构组”	同构群列表
	“OuterAutomorphismGroup”	外自同构群
	“商组”	商组列表
	“舒尔倍增管”	舒尔乘子

置换组属性包括：

	“周期索引”	周期指数
	“周期”	循环
	“排列表示”	表示为置换列表
	“排列组表示”	作为Wolfram系统置换群的表示
	“及物性”	及物性水平

其他属性包括：

	“定义关系”	描述群代数的关系
	“CayleyGraph”	用于内置生成器选择的Cayley图
	“类”	组所属的类
	“CycleGraph”	循环图
	“信息”	关于组的信息
	“参数范围”	参数假设

组表示属性包括：

	“字符表”	组元素字符
	“共轭类名称”	共轭类的名称
	“共轭类大小”	共轭类的大小
	“矩阵表示”	表示为矩阵
	“表示尺寸”	表示的尺寸
	“陈述名称”	表示的名称
	“空间表示”	表示为三维笛卡尔坐标变换

晶体学点群的其他属性包括：

	“BravaisLattices”	兼容的Bravais格子
	“水晶形态”	晶体形态
	“水晶系统”	晶体系统
	“赫尔曼·马奎因”	赫尔曼——Mauguin符号
	“Orbifold”	orbifold符号
	“PointGroupType”	点编组类型
	“Schoenflies”	Schoenflies符号
	“舒布尼科夫”	舒布尼科夫记谱法

FiniteGroup数据[“类”]提供了所有受支持类的列表。
FiniteGroup数据[名称,“类”]给出指定组所在的所有类的列表。
FiniteGroup数据[名称,"班"]给予真的或False（错误）取决于组是否对应于名称位于指定的类中。
FiniteGroup数据["班"]给出了中的有限群列表FiniteGroup数据[]属于指定类别。
FiniteGroup数据["班",n个]给出了有限阶群的列表n个在指定的类中。
FiniteGroup数据["班",；；n个]给出了顺序小于或等于的有限群的列表n个在指定的类中。
FiniteGroup数据["班",n个；；]给出了阶数大于或等于的有限群的列表n个在指定的类中。
FiniteGroup数据["班",n个₁；；n个₂]给出了阶数大于的有限群的列表n个₁且小于n个₂在指定的类中。
组的类别包括：

	“阿贝尔”	阿贝尔（Abelian）
	“交替”	交替
	“循环”	循环的
	“二面体”	二面体的
	“完美”	很完美
	“简单”	简单的
	“可解决”	可解决的
	“零星”	零星的
	“对称”	对称的
	“及物”	传递的

负面群体包括：

	“非阿贝尔人”	不是Abelian
	“非交替”	不交替
	“非循环”	非循环
	“非二面体”	不是二面体
	“不完美”	不完美
	“不简单”	不简单
	“无法解决”	无法解决
	“非零星”	不是零星的
	“非对称”	不对称
	“不可传递”	不可传递的

组属于这些类“交替”,“循环”,“二面体”或“对称”如果它分别与相同阶的交替、循环、二面体或对称群同构。
组属于该类“及物”如果提供的相应置换表示是可传递的。的置换表示{“DirectProduct”,{组₁,组₂,…}}是建立在因素群各自作用域的不相交并集上的，因此它是不可传递的。
与命名相关的属性包括：

	“替换名称”	备用英文名称,作为字符串
	“AlternateStandardNames”	替代标准Wolfram语言名称
	“姓名”	字符串形式的英文名称
	“符号”	群表示法
	“简称”	字符串形式的短名称
	“标准名称”	标准Wolfram语言名称

FiniteGroup数据[名称,“信息”]提供指向指定组的附加信息的超链接。
使用FiniteGroup数据可能需要互联网连接。

示例

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基本示例 (2)

四元数组：

四元数组的乘法表：

范围 (34)

名称和类别 (6)

所有命名的有限群和无限族的小成员的列表，其中许多成员相互同构：

标准名称为字符串的有限组：

查找有限组的英文名称：

还可以找到备选名称列表：

一些组可以用简短的形式给出：

有限群的类：

中的组列表FiniteGroup数据[]属于给定类别：

测试类中组的成员身份：

将类的成员限制为给定的顺序。这些都是相互同构的组：

26个简单零星组的列表：

三维晶体学点群的缩写形式：

FiniteGroup数据[n个]返回顺序非同构组的列表n个，首先具有阿贝尔群，然后具有非阿贝尔群：

什么时候？FiniteGroup数据没有给定组的命名版本，它被指定为{秩序,指数}:

属性和注释 (4)

获取可能属性的列表：

获取有关组的更多信息：

查找英文名称：

标准排版符号：

属性值 (3)

属性值可以是任何有效的Wolfram Language表达式：

不可用于组的属性的值为缺少[“不可用”]:

值太大而无法包含的属性具有值缺少[“太大了”]:

详细属性 (21)

名称和符号 (3)

通常，组是用标准名称来表示的：

这相当于这个简单的语法：

其他可接受的输入形式称为替代标准名称：

这是组的英文名称，总是一个字符串：

某些组具有备用名称：

还有一个短字符串形式的名称：

每个组都有一个简短的符号形式：

32个三维晶体学点群的默认符号为Schoenflies符号，但也可以使用其他符号：

这些仅适用于晶体学基团：

基本组属性 (4)

群的两个重要属性是其顺序和乘法表：

乘法表将组定义为抽象组（即同构）。例如，该组是Abelian当且仅当其乘法表对称时：

组中的元素通过其在乘法表中的位置进行抽象标识：

这些是它们的反比：

这样可以识别哪些元素构成不同的子组。例如，第四个元素与所有其他组元素相互转换：

关于群的交换性的更多信息由群中所有交换子的群给出。该群不是阿贝尔群，因为交换子（或派生子）子群不是平凡的：

然而，在进一步的交换中，我们得到了平凡组：

因此，原始群是可解的：

这些是通过将每个元素与其自身重复相乘而获得的循环：

它们有一个自然的图形表示。标识元素高亮显示：

集团代表 (4)

关于生成器和关系的演示：

群积表示为一个小圆圈，也用于表示其关联功率：

有了这两个生成器（分别为4阶和2阶），我们得到了这个Cayley图：

命名生成器时，可以将组中的所有元素表示为单词：

置换群表示为完整的置换列表集：

或作为可用于进一步计算的置换组：

它是一种传递表示，因为它只有一个轨道：

然而，任何稳定器都是微不足道的：

因此，这不是一种多重传递表示：

置换表示的循环结构给出了所谓的循环指数多项式：

这是循环群的矩阵表示：

群同构 (1)

获得与给定组同构的组：

它们都与抽象组具有相同的属性：

集团结构 (8)

群的共轭类，作为各自的元素列表给出：

类数定义为共轭类的数量：

那些自我结合的元素，因此与组中的所有其他元素交换，形成该组的中心：

Klein 4组只有一种合适的子组：

但这种类型实现了三次：

对于n个≥5交替组等于它们的换向器子群：

具有此类属性的组称为完美组：

所有简单的组都是完美的：

的正规子群“四面体”组：

它具有非平凡的正规子群，因此它并不简单：

Sylow子群是那些其阶为素数最大幂的子群：

可能的商群，通过求正常子群的商得到：

舒尔乘数组：

自同构群：

晶体学特性 (1)

这些是仅适用于晶体学基团的各种性质：

泛化和扩展 (2)

查找与模式匹配的组名列表：

某些特性可用于无限族组中的符号参数：

这是参数的有效值范围：

然而，大多数属性都需要这些参数的整数值。在这些情况下缺少[“不适用”]返回：

应用 (1)

交替群的无限族如下所示{“备选组”,n个}:

属性和关系 (3)

有限组计数[n个]给出了有限阶群的数目n个:

一贯地，当按订单地址时，FiniteGroup数据返回非同构组的列表：

获得与以下组同构的其他组：

完成时间AbelianGroupCount[n个]给出了阿贝尔群的阶数n个:

所有有限阶群1225是Abelian：

模整数环的单位群n个总是阿贝尔的，但不总是循环的：

如果有一个元素的顺序是组顺序，则组是循环的。的顺序{“CyclicGroupUnits”, n个}是EulerPhi公司[n个]，同时卡米凯尔·兰达[n个]给出其元素之间的最大顺序。

例如，以下组是循环的，因为有些元素的顺序是组顺序：

条件EulerPhi公司[n个]卡米凯尔·兰达[n个]仅适用于正整数n个表单的2,4,对^k个,2对^k个带素数对≠2和k个≥1.

可能的问题 (1)

来自的结果FiniteGroup数据可以包含同构群：

只有一组订单1:

使用顺序作为第一个参数可以保证非同构结果：

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示例

基本示例 (2)