FiniteField公司

FiniteField公司[第页,d日]

给出一个有限域元素。

FiniteField公司[第页,（f）]

给出有限域，其中是中的不可约多项式.

FiniteField公司[第页,…,代表]

使用字段元素表示代表，或者“多项式”或“指数”.

细节

  • 有限字段也称为Galois字段。
  • 有限域用于代数计算、纠错码、密码学、组合学、代数几何、数论和有限几何。
  • A字段是一个包含所有四种算术运算的代数系统+,-,*和÷.有限域可以有元素对于一些素数和正整数.
  • 这个要素是加性恒等式，其中为所有人和要素给出了乘法恒等式，其中为所有人.
  • FiniteField元素[,k个]或[k个]可用于获取要素和的格式为.
  • FiniteField元素同一字段中的对象通过算术运算自动组合。
  • 多项式运算，例如多项式GCD,因子,展开,多项式余数和结果可用于具有有限域系数的多项式。一起和取消可用于具有有限域系数的有理函数。
  • 线性代数运算，例如Det公司,反向,行减少（RowReduce）,NullSpace（空）,矩阵等级和线性求解可用于包含有限字段中的条目的矩阵。
  • 解决和减少可用于求解有限域上的方程组。
  • 有两种不同的表示代表支持FiniteField公司:“多项式”和“指数”.
  • 这个“多项式”表示法类似于复数的笛卡尔表示法，易于加减，但乘除稍微困难一些。
  • 代表：它使用不可约多项式学位d日用商标识字段：
  • .
  • 每个元素表示为多项式或者你可以把它看作一个向量在基础上.
  • 枚举：元素按相反的词典顺序枚举：
  • ,,…,,…,
  • 操作：让和; 那么你有：
  • 和
  • 和是约化模(多项式余数)到一定程度.具有.，和乘法逆使用扩展多项式GCD来计算。自是不可约的因此，从扩展多项式GCD可以得到对于一些多项式和.通过降低模数，你得到所以你有.
  • 这个“指数”表示法是复数的极性表示法的模拟，易于乘除，但加减稍微困难一些。
  • 代表：如“多项式”表示，它使用不可约多项式学位d日，但在这种情况下也需要是原始的。自是原始的表示中的每个元素除了:
  • 这种表示法也称为循环群表示法，因为是乘法下的循环群。
  • 枚举：使用电源顺序枚举元素：
  • ,,,…,,…,
  • 操作：让和，则您有：
  • u*v=alpha^（模板框[{{（，{i，+，j}，）}，{（、{q，-，1}，，）}}，Mod]）和
  • 带反转对于加法和减法，没有简单的规则可以给出这样的话，因此它存储在字段大小呈线性的查找表中。这使得操作速度更快，但需要存储数据。这也意味着“指数”表示法不适用于大字段。
  • 表示之间的实际差异是：
  • “多项式”不需要花费时间创建，不使用额外内存，适用于大字段，但操作稍慢。
  • “指数”创建需要一些时间，使用与字段大小成比例的额外内存，适用于小字段，但操作速度稍快。
  • 问询处[完成字段[…], 支柱]提供了属性支柱有限域的。可以指定以下属性：
  • “特色”特性第页有限域的
    “扩展程度”延伸度d日上的有限域
    “字段大小”元素的数量q个=第页d日领域的
    “字段不可约简”多项式函数（f）用于构建字段
    “元素表示”“多项式”或“指数”

示例

全部打开全部关闭

基本示例  (2)

表示质数字段:

做算术：

做多项式代数：

表示具有特征的有限域和延伸度:

使用多项式系数或索引指定字段元素：

做算术：

做多项式代数：

范围  (13)

表示和属性  (4)

表示具有特征的有限域和延伸度:

找到用于构造字段的不可约多项式：

默认情况下，使用字段元素的多项式表示：

查找字段的其他属性：

字段加法和乘法恒等式元素具有索引和:

使用自定义不可约多项式构造有限域：

验证多项式是不可约的：

表示字段：

不可约场等于场特征的指定多项式模：

构造一个使用元素指数表示的有限域：

用于表示字段的多项式是基元的：

字段加法和乘法恒等式元素具有索引和:

字段的所有非零元素都是带索引元素的幂:

表示质数字段：

用49个元素表示一个有限域：

算术  (3)

在有限域中执行算术运算：

有理幂仅适用于指数分母和:

对于某些字段元素，平方根可能不存在：

算术运算将整数视为字段的元素：

有理数必须是字段特征的有效模：

使用元素决定哪些有理数可以用字段元素识别：

为了进行比较，有理数用字段元素标识：

不同有限域的元素不能组合：

允许具有相同特征和字段不可约但元素表示不同的字段：

自同构和嵌入  (2)

计算有限域元素的所有共轭：

共轭是的最小多项式的根一:

Frobenius自同构映射到:

计算一个有限字段在另一个有限域中的嵌入：

通过嵌入映射有限域元素：

嵌入保留算术运算：

有限域上的多项式  (2)

使用有限域上的多项式进行计算：

扩展产品：

计算GCD：

取消分数：

计算商和余数：

因子a多项式：

计算结果：

用多元多项式计算：

在有限域的扩展上因子多项式：

多项式是不可约的:

因子嵌入后在更大的领域:

有限域上的线性代数  (1)

使用有限域上的矩阵进行计算：

乘法矩阵：

计算矩阵的幂：

计算行列式：

求逆：

求解线性方程：

计算矩阵的秩和零空间：

计算矩阵的LU分解：

矩阵行缩减：

求矩阵的特征多项式：

有限域上的方程  (1)

求解有限域上的方程：

单变量方程：

线性方程组：

多项式方程组：

查找解决方案实例：

消除量词：

应用  (8)

实现纠错代码。这个汉明码编码-位消息-位序列，最多可以纠正一个错误：

让是一个有限域元素使用指数元素表示，让是用于构造的不可约多项式，并让成为:

编码消息是，其中系数列表为是原始邮件：

让是系数列表为接收消息的多项式：

如果收到的消息不包含错误，则，因此:

如果收到的消息在位置上包含一个错误，然后，因此:

检查并更正收到的消息：

要解码消息，请计算:

当接收到的消息没有错误或有一个错误时，解码的消息是正确的：

构造正交拉丁方对于任何主要功率.拉丁方是一个数组，使每一行和每一列包含一组元素一次。如果将两个阵列并列形成的对都是不同的：

验证所有数组都是拉丁方：

验证所有阵列对是否正交：

有限集整数的和是Sidon集对于都是不同的。建造一套Sidon中的整数，对于一个超级大国:

确认是一组Sidon长度:

de Bruijn顺序对于带有的字母表字母是一个循环序列属于字母表中的字母，以便字母作为的子序列只出现一次.构造一个de Bruijn顺序序列对于带有的字母表字母，代表主要力量:

确认是一个de Bruijn顺序对于带有的字母表字母：

安矩阵是哈达玛矩阵，如果是或和H.模板框[{H}，转置]=n I_n.构造Hadamard有序矩阵对于任何主要功率具有模板框[{{q，=，3}，4}，Mod]:

实现高级加密标准（AES）算法中使用的Rijndael S-box步骤。第一部分称为Nyberg S-box，在:

第二部分涉及仿射变换:

正向S盒由两部分组成：

以十六进制表示法计算正向S-box表：

定义反向S-box变换：

用十六进制表示法计算逆S盒表：

验证反向S盒是否为正向S盒的反向：

实现差异–具有2049位素数的赫尔曼公钥密码系统：

查找字段的基本元素:

第一个用户选择私钥:

公钥包括,和:

第二个用户选择:

发送2048位消息，第二个用户发送和:

第一个用户可以恢复通过计算:

实现数字签名方案。修复素数并找到一个基本元素属于:

选择一个秘密整数并发布,和:

消息的签名是一对吗小于的正整数这样的话。计算签名需要知道秘密整数:

可以使用公开的信息验证签名：

计算随机生成消息的签名：

验证签名：

属性和关系  (7)

具有特征的有限域和延伸度有元素：

具有特征的有限域元素满足:

因此，映射是字段自同构，称为Frobenius自同构:

磁场发生器是字段不可约的根：

使用Frobenius自同构找到剩下的根:

有限域的所有元素元素是的根:

事实上，:

任意不可约次多项式结束有田地里的根元素：

使用不可约多项式Q具有模量第页验证不可约性:

使用因子具有扩展ℱ以验证（f）是线性因子的乘积ℱ:

使用FiniteField公司[第页,1]在素数域上计算:

与使用获得的结果进行比较国防部:

多项式计算:

与使用模量选项：

使用ToFinite字段将整数系数转换为有限域的素数子域中的元素：

从FiniteField将系数转换回整数：

将系数转换为有限域元素，使用t吨用于表示字段生成器：

将有限域系数转换为多项式t吨，其中t吨表示磁场发生器：

Wolfram Research（2023），FiniteField，Wolfram语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/FiniteField.html（2023年更新）。

文本

Wolfram Research（2023），FiniteField，Wolfram语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/FiniteField.html（2023年更新）。

CMS公司

沃尔夫拉姆语言。2023.“FiniteField”，Wolfram语言与系统文档中心。Wolfram研究。上次修改时间：2023年。https://reference.wolfram.com/language/ref/FiniteField.html。

亚太地区

沃尔夫拉姆语言。(2023). FiniteField公司。Wolfram语言与系统文档中心。检索自https://reference.wolfram.com/language/ref/FiniteField.html

BibTeX公司

@misc{reference.wolfram_2024_finitefield，author=“wolfram Research”，title=“{finitefield}”，year=“2023”，howpublished=“\url{https://reference.jolfram.com/language/ref/finitefield.html}”]}

BibLaTeX公司

@online{reference.wolfram_2024_finitefield，organization={wolfram Research}，title={finitefield}，year={2023}，url={https://reference.jolfram.com/language/ref/finitefield.html}，note=[访问时间：2024年6月20日]}