欧拉矩阵

欧拉矩阵[{α,β,γ}]

给出了通过旋转形成的Euler 3D旋转矩阵α绕着水流轴，然后按β绕着水流轴，然后按γ绕着水流轴。

欧拉矩阵[{α,β,γ},{一,b条,c（c）}]

给出了相应的Euler 3D旋转矩阵，首先旋转α绕着水流一轴，然后按β绕着水流b条轴，最后由γ绕着水流c（c）轴。

详细信息和选项

欧拉矩阵也称为欧拉旋转矩阵或欧拉旋转，以及角度α,β、和γ通常称为欧拉角。
欧拉矩阵通常用于将旋转指定为围绕坐标轴的基本旋转序列，其中每个后续旋转指的是当前或内在坐标系。
欧拉矩阵[{α,β,γ}]等于欧拉矩阵[{α,β,γ},{三,2,三}].
默认值z（z）-年-z（z）旋转欧拉矩阵[{α,β,γ},{三,2,三}]:

欧拉矩阵[{α,β,γ},{一,b条,c（c）}]等于，其中R（右）_α,一=旋转矩阵[α,UnitVector（单位矢量）[三,一]]等。 »
这个x个-年-z（z）旋转欧拉矩阵[{α,β,γ},{1,2,三}]:

旋转轴一,b条、和c（c）可以是任何整数1、2或3，但只有12个组合足够通用，可以指定任何3D旋转。
重复第一个和最后一个轴的旋转：

	{三,2,三}	z（z）-年-z（z）旋转(违约)
	{三,1,三}	z（z）-x个-z（z）旋转
	{2,三,2}	年-z（z）-年旋转
	{2,1,2}	年-x个-年旋转
	{1,三,1}	x个-z（z）-x个旋转
	{1,2,1}	x个-年-x个旋转

三个不同轴的旋转：

	{1,2,三}	x个-年-z（z）旋转
	{1,三,2}	x个-z（z）-年旋转
	{2,1,三}	年-x个-z（z）旋转
	{2,三,1}	年-z（z）-x个旋转
	{三,1,2}	z（z）-x个-年旋转
	{三,2,1}	z（z）-年-x个旋转

重复后续轴的旋转仍会生成旋转矩阵，但无法使用唯一反转欧拉角.
欧拉矩阵支持该选项目标结构，它指定返回矩阵的结构目标结构包括：

	自动	自动选择返回的表示
	“密集”	将矩阵表示为稠密矩阵
	“正交”	将矩阵表示为正交矩阵
	“一元化”	将矩阵表示为酉矩阵

欧拉矩阵[…,目标结构自动]等于欧拉矩阵[…,目标结构“密集”].

示例

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基本示例 (2)

标准欧拉矩阵：

旋转轴对齐的单位立方体：

范围 (6)

给出标准z（z）-年-z（z）欧拉旋转矩阵,、和:

旋转矢量{1,0,0}:

可视化旋转矢量（红色）：

给出一个x个-年-x个通过指定第二个参数的欧拉旋转矩阵：

旋转并可视化矢量{1,0,0}:

给出一个x个-年-z（z）欧拉旋转矩阵：

旋转并可视化矢量{1,0,0}:

使用旋转三维图形中的基本体几何变换:

使用旋转区域转换的区域:

使用旋转三维图像图像转换:

选项 (1)

目标结构 (1)

将Euler旋转矩阵返回为稠密矩阵：

将Euler旋转矩阵作为正交矩阵返回：

将欧拉旋转矩阵作为酉矩阵返回：

应用 (6)

插图 (1)

构建一个演示Euler旋转的函数，显示围绕其旋转的轴：

这是所有六个一-b条-一轴旋转。首先是标准z（z）-年-z（z）Euler旋转：

这个x个-年-x个Euler旋转：

这个x个-z（z）-x个Euler旋转：

这个年-x个-年Euler旋转：

这个年-z（z）-年Euler旋转：

这个z（z）-x个-z（z）Euler旋转：

然后是六个一-b条-c（c）轴旋转。首先是x个-年-z（z）Euler旋转：

这个x个-z（z）-年欧拉旋转：

这个年-x个-z（z）Euler旋转：

这个年-z（z）-x个Euler旋转：

这个z（z）-x个-年Euler旋转：

这个z（z）-年-x个Euler旋转：

万向节 (5)

万向节是一个由枢轴环组成的系统，它允许物体以任意方向定向。它们用于各种导航和成像应用程序：

框架内对象的方向可以使用欧拉矩阵从最外面的环到最里面的环的旋转角度。请注意一-b条-一使用轴系统：

带有的万向节一-b条-c（c）轴旋转用所有环的轴相互垂直的初始状态模拟万向节系统：

这使用z（z）-年-x个Euler旋转：

旋转系统可能会进入万向节锁，在这种情况下，某个角度值会降低系统的自由度。正常的非锁定案例会产生以下结果：

向量{1,1,0}可以旋转到曲面上的任意点：

在锁定的情况下，只有差异可能会影响旋转：

现在向量{1,1,0}只能旋转到曲线上的一个点：

当轴，当这里有一个例子x个-年-x个旋转：

非锁定的米1并锁定米2案例：

已解锁米1并锁定米2案例z（z）-年-z（z）旋转：

当轴都不同时，当。以下是一个示例x个-年-z（z）旋转：

锁定的米1并解锁米2案例：

已锁定米1并解锁米2案例年-x个-z（z）旋转：

属性和关系 (11)

欧拉矩阵对应于三个旋转：

根据旋转轴的一般顺序：

使用欧拉角返回产生相同旋转矩阵的角度：

角度不必相同：

然而，两组角度产生相同的旋转矩阵：

使用滚动俯仰偏航矩阵对于旋转，在每个步骤中写入全局坐标系：

欧拉矩阵在每个步骤中旋转当前坐标系：

如果两个后续旋转轴相同，即。或，系统有两个自由度，例如在执行x个-年-年旋转：

如果所有旋转轴都相同，即。，系统只有一个自由度，例如在执行x个-x个-x个旋转：

欧拉矩阵[{α,β,γ},{一,b条,c（c）}]与相同滚动俯仰偏航矩阵[{γ,β,α},{c（c）,b条,一}]:

欧拉矩阵仅适用于:

对于一般尺寸，使用旋转矩阵:

欧拉矩阵根据三个轴向旋转将任何旋转参数化：

对于绕通用轴的旋转，使用旋转矩阵:

欧拉矩阵是具有行列式1:

与欧拉矩阵是它的转置：

的倒数欧拉矩阵[{α,β,γ}]是欧拉矩阵[{-γ,-β,-α}]:

的倒数欧拉矩阵[{α,β,γ},{一,b条,c（c）}]是欧拉矩阵[{-γ,-β,-α},{c（c）,b条,一}]:

可能的问题 (1)

欧拉矩阵允许相等的连续轴，这将生成旋转矩阵：

然而，欧拉角要求连续轴不同：

这是因为在连续轴相等的情况下，无法表示某些旋转矩阵：

整洁的示例 (1)

使用几何变换要通过一系列角度可视化球体的旋转，请执行以下操作：

顶部

欧拉矩阵

详细信息和选项

示例

基本示例 (2)

范围 (6)