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概念基础良好的余代数是由于保罗·泰勒（有格哈德·奥修斯作品的先例）。我们的账户主要基于(Taylor，第6.3节）)在他的论文上一般递归定理，尽管在某些情况下，我们使用的假设略有不同。
定义
让成为有限完全范畴，并让成为内函子在。我们假设是绷紧的即保存拉回属于单态（保存限制属于科斯潘其中一个cospan箭头是一元论的). 特别是，这意味着保存单糖。要记住的一个有用的例子是协变幂集函子.
定义
让成为-联合布拉格上的结构.A型子对象 在里面是-感应的如果在拉回中
地图因素通过（请注意是monic，因为保存monos）。
一个联合体是有充分根据的如果的唯一归纳子对象是自身。
例子：假设是内函子的初始代数，带有代数结构图根据兰贝克定理，是可逆的，所以带有余代数结构很容易检查归纳子对象是否给出子代数，但初始代数的子代数必须是初始代数本身。因此有充分的理由。
在本文中，我们的目标是证明一个人可以在建立良好的余代数的抽象上下文中执行归纳论点和递归构造。一个有趣的挑战是精确地确定地图递归构造的含义，问题是显示如何构建从地上往下看。态射递归构造中的阶段将是部分地图，通常定义为跨度
其中的箭头是一元论的.部分映射的合成受跨度合成的影响，对于跨度合成，我们只需要有限的余完备（我们不需要成为一名常规类别，就像我们在和). 请注意，自保留了monos的回退，它将部分映射带到部分映射，还保留了部分映射合成。
我们用虚线箭头表示部分映射
（通常没有明确提及域名属于)，有时用鱼叉符号表示。
与初始代数的联系
一种构建内函子的初始代数,，是通过先构造一些固定点属于也就是说，一个对象与同构一起（例如，它可能是末端余代数，其存在有时很容易确定。）然后，在内部考虑基础良好的子代数系统。假设这个系统存在，它的colimit将是初始代数。（更多理论将在此处开发。）
与初始代数的联系更进一步。首先，首字母-代数是一个皮亚诺-代数根据以下定义：
定义
A类-代数是半豌豆如果每隔-子代数包含 是同构，并且皮亚诺如果另外是一种同构。
如果是首字母，并且是子代数，则有唯一的代数映射、和通过首字母，从哪里然后作为是monic。因此，初始代数是半Peano，并且根据Lambek定理是Peano。
其次，函子诱导，对于任何对象属于，片之间的函子，所以如果是余代数，我们可以在上形成内函子:
当然还有终端对象是自动且唯一的-代数。接下来的两个命题紧接着是归纳子对象和有根据的余代数的定义：
提议
子对象的-联合布拉格是感应式的是一个-终端对象的子代数属于.
提议
A类-联合布拉格当航站楼-代数是半皮亚诺。
示例
资金充足的关系
基础充分的联盟概念的原型是基础充分的关系，这与协变幂集函子上的一个有充分依据的余代数基本相同。简而言之，二进制关系 在一个集合上对应于余代数，通过说当且仅当。请参阅基础良好的关系了解更多信息。
本文的大部分结构都以这个典型案例为背景进行了检查，得到了很好的说明。
归纳和递归
“一个证明事物依据归纳; 一定义事物依据递归“这句口号不仅仅是卖弄学问；它旨在强调这些过程之间的差异。
A类证明通过归纳法，可以说是财产或谓语 哪里随域变化，继续显示子对象由定义是关于上的关系的归纳子集。由此可见普遍适用于如果关系是有根据的。同样的习语更普遍地适用于基础良好的余代数。
另一方面，递归构造涉及附属国在施工的前几个阶段。典型的应用是定义映射通过对基础良好的关系进行递归，其中分三个阶段进行规定：
-
考虑收集前面所有元素的;
-
传递给值在构造的早期定义，给出一个子集属于;
-
应用给定操作到这个子集，以获得.
在最后一步中，操作只能在上部分定义事实上，地图其本身可能只是部分定义的；仅在以下情况下定义定义为“当我们要求时”。
归纳论点用于表明就其定义而言，是唯一确定的。唯一确定（当然，在它存在的范围内）
出租表示元素的向下闭合关于（和包含)，然后我们可以组成集合
地图从哪里存在满足递归方程确实可以通过诉诸归纳论点来证明。
但是，请注意，此集合是由中的构造定义的相依型理论对于其他类别，我们可能无法奢侈地解释依赖类型，因此将递归与归纳混为一谈是不对的。
然而，人们确实可以用相当大的通用性证明基础完备余代数的归纳原理和递归定理；这将在以下几节中介绍。
工具书类
- 保罗·泰勒,数学实用基础剑桥大学出版社（1999）。