模态逻辑

想法

术语模态逻辑指标准的丰富形式逻辑，其中标准逻辑连词(和,或,不,含义和，也许,为所有人,存在等）伴随着特定的额外操作-称为模态运算符传统上用“$\盒子$”, “$\菱形物$”, “$\大循环$“–这样$第页$任何命题这样的表达$\方框p$是一个（另一个）命题，其解释是：

• “$第页$保留（仅）以某种方式”,

其中“特定方式”是由whatever（隐式）指定的公理满足给定的模态算子.

换句话说，模态运算符在模态逻辑中，表示真实的模式-并概括为模态类型理论它们更一般地表示a存在的方式，从何处引用模式如中所示康德的作品。

例如（另请参阅指针在下面):

• 在里面整体模态逻辑(Wright 1951年，第三节)有人认为模态操作符意在表示

  “$第页$是必要地真的“，或者那个”$第页$是可能地真“

  这是模态逻辑的最初含义，可以追溯到亚里士多德（其关于此事的陈述由Lemmon&Scott（1977），第1-12页).

• 在里面认知模态逻辑(Wright 1951年，第四节)有人认为模态操作符意味着表示某事物“已知为真”等认识论).

• 在里面时序逻辑有人认为模态操作符意在表示

  “$第页$将最终成为true”等。；

• 在里面多道逻辑其中一个涉及以下语句：

  “$第页$是相信是真的”等。

然而，请注意，对于进一步的公理完全成为将军模态算子-这本身就是任何(有限公司-)单子关于基础命题的宇宙(类型的)，请参阅在下面-编码/反映任何此类预期的“存在模式（真）”。因此：

“问三位模态逻辑学家模态逻辑是什么，你可能会得到至少三个不同的答案”. [Blackburn，deRijke&Venema（2001），简介]

历史上，模态逻辑的默认示例称为S4模态逻辑最初的动机是作为认知逻辑（具有“必然正确“），但实际上只是公理化(命题逻辑配备）任何钴单体 $\盒子$上命题的宇宙，无进一步说明。有一些变体称为T模态逻辑和K模态逻辑其中掉了一些公理即使在这个有限公司单子，但同意模态算子是至少一个(有限公司-)单子上命题的宇宙(类型的).

在这个意义上，模态逻辑是计算三部曲收件人：

• 范畴理论带有(有限公司-)单子(范畴代数),

• 计算机科学与（co-）计算机科学中的单子(计算效果).

在…之间语义学/模型模态逻辑的几何模型基于克里普克框架哪些是套（第页，共页可能的世界)在其上命题在逻辑上可以受抚养人并配备关系规定这些世界量化在解释模态运算符（例如，要检查哪个世界以得出一个命题成立的结论可能地).

专门针对认知逻辑这克里普克语义学因此也称为可能世界语义.（至少对于S5模态逻辑这与从属类型的范畴模型，如中所述必要性和可能性——通过依赖类型的可能世界.)

模态逻辑的一些解释本质上认为该理论是对模态逻辑的逻辑研究克里普克框架–在装备有关系，因此是“关系结构”（例如Blackburn，De Rijke&Venema（2001）第xi页他们开始说，如果不研究关系结构，他们不知道模态逻辑是什么）。

还有模态逻辑的代数模型关于带有（co）的代数-闭合操作符例如，时间逻辑可以有偏序集作为模型.

定义

模态语言

模态逻辑建立在模态语言，这是通常的命题语言加上那些额外的形式。（请注意，模态也可以添加到谓词逻辑中，请参见一阶模态逻辑.）必须在公理系统中为所讨论的逻辑规定模式的工作方式，例如，对于时间逻辑，我们可能需要一个公理说“如果$F斐$是真的，那么$斐$“是真的”，它将显示为“如果将来是真的$\φ$将来会是真的，那么……”，看时序逻辑（这会是我们想要的吗可证明逻辑’; 我们是否应该期望，如果某件事是可证明的，那么某件事本身就是可证明的。这将建模过程集中于我们希望“上下文”如何表现。）通过这种方式，我们正在查看的上下文的关系性质可以编码到逻辑中。

模态语言添加一个或多个模态运算符，通常表示为$\正方形$或$\菱形物$变成平常的样子命题逻辑（目前，我们将保持事情相当简单，因此假设这些是一元运算符，我们将不会考虑具有多个输入的运算符，至少目前是这样。一般情况将在稍后考虑，但无论如何，在下面列出的一些模态逻辑书中会详细讨论。）

我们将用$n个$模态运算符，$\菱形i$,$i=1，\ldots，n$，可以应用于语言的命题以形成新的命题。如果$n=1$，我们将以下定义的语言称为基本模态语言.

模态逻辑

基本公理系统之一导致正规模态逻辑.

通用模态公理

• (K（K）)$\方框（A至B）至方框A至方框B$
• （百万）$\方框A\至A$
• (4)$\方框A\至方框A\$
• (5)$\菱形A\至\盒\菱形A$
• （B）$A\至\盒\菱形物A$

示例

下面是模态逻辑风格的简要列表。下面将讨论更多详细信息。

• 认知逻辑：众所周知$X（X）$这是常识；

• 时序逻辑：从今往后，最终，迄今为止，以前，现在，明天，昨天，因为，直到，不可避免地，最终，无休止地，它将一直，它正在…

• 动态逻辑？：程序/计算/操作完成后，程序在整个计算过程中启用；

• 多道逻辑：据信

• 道义逻辑：强制/禁止/允许/非法

• 几何逻辑：当地的情况是

• metalogic：有效/可满足/可证明/一致(戈德布拉特).

  元语言版本在现代模态逻辑史哥德尔在那里发挥了重要作用。

• 时间逻辑;

• 箭头逻辑;

• 可证明逻辑

  • 勒布公理(不完全性定理)

语义学

我们讨论语义学模态逻辑，its模型.

在克里普克框架/关系结构中

像往常一样语义学模态语言的框架这就是与关系结构的联系。（这些通常被称为“克里普克框架”，因为克里普克是第一个在此上下文中使用关系语义的人之一。

历史的讨论可以在(BlackburnDeRijkeVenema，第42页).

（因为有另一种感觉框架作为区域设置，我们需要考虑此处的术语，必要时将使用框架（模态逻辑）作为条目名称。）更详细的讨论框架模态逻辑语义的模型和整个问题都可以在该条目中找到。

因此，模态逻辑也是关系结构事实上，Blackburn等人（见参考文献）的第一个口号是：模态语言是用于讨论关系结构的简单但富有表现力的语言。满足公理的时态逻辑$(4)$具有以下模型偏序集例如，虽然许多认识逻辑模型上有等价关系的集合。在每种情况下，其思想是关系结构给出了某个系统的所有可能状态，而模态逻辑描述了该系统。这解释了模态逻辑在计算机科学和人工智能应用中的巨大兴趣。

代数语义学

模态逻辑的常见代数语义是用带运算符的布尔代数表示的，并在条目中进行了描述模态逻辑的代数模型.

Coalgebraic语义

模态逻辑的几何/关系/克里普克语义是联合语义这种语义也为计算机科学中自然出现的各种类型的模态逻辑提供了极好的动机和直觉。

范畴语义

每类别附带它的内部逻辑.此内部逻辑中的模态运算符至少有时可以通过（共同）反射器识别为指定的（co）反射子类别。请参阅模态类型理论了解更多信息。

例如当地地形和内聚拓扑。有关详细信息，请参阅此处。

定理

• 戈德布拉特-托马森定理

相关概念

• 模态超理论

• 模态算子

• 伴随情态

• 伴随逻辑

• 模态类型理论

• 模态逻辑的代数模型

• 模态逻辑的几何模型

• 模态逻辑的余代数模型

• 内函子的余代数

• 关于“可能世界语义“模态逻辑让人联想到多元宇宙”.

工具书类

最早的文本之一展示了直觉主义者上下文是

• 奥斯卡·贝克尔,Zur Logik der Modalitäten公司贾尔布赫·福勒哲学与哲学福松（Jahrbuch für Philosophie und phänominologische Forschung）11(1930) 497-548 [数字化,奥芬：101138,pdf格式]

翻译为：

• Stefania Centrone、Pierluigi Minari、，奥斯卡·贝克尔，《论模态的逻辑》（1930）：翻译、评论和分析，Synthese库444施普林格（2022）[doi:10.1007/978-3-030-87548-0]

模态逻辑的现代形式化（以及S1、…、…，S4系列,第5章)起源于

• 克拉伦斯·I·刘易斯,库珀·朗福德第153页和附录II：符号逻辑（1932），多佛（2000）[附录IIpdf格式]

（谁说“模态函数”模态运算符).

早期讨论明确认知模态逻辑和变体：

• 乔治·冯·赖特,模态逻辑论文《北荷兰出版社》（1951）

• K.Jaakko J.Hintikka先生,知识与信仰：两个概念的逻辑介绍康奈尔大学出版社（1962）[方舟：/13960/t9k437s65]

  （介绍了K模态逻辑)

历史概述和简介：

• 罗伯特·戈德布拉特,数学模态逻辑的演进，《应用逻辑杂志》15–6 (2003) 309-392 [doi:10.1016/S1570-8683（03）00008-9]

• 罗伯特·戈德布拉特,数学模态逻辑的演进，英寸逻辑史手册第7卷，爱思唯尔（2005）[doi:10.1016/S1874-5857（06）80027-0,草案]

• 斯坦福大学哲学百科全书：模态逻辑的现代起源.

• 斯坦福哲学百科全书：模态逻辑.

教科书帐户：

• E.约翰·莱蒙具有达纳·斯科特,模态逻辑导论——《柠檬笔记》，B.Blackwell（1977）[方舟：/13960/t3gz25k3h]

• 雷蒙德·布拉德利,诺曼·斯瓦茨,可能的世界——逻辑及其哲学导论哈克特出版社（1979）[网页,pdf格式]

• 帕特里克·布莱克本,马尔滕岛,Yde Venema公司,模态逻辑，《剑桥理论计算机科学丛书》53，剑桥大学出版社（2001）[doi:10.1017/CBO9781107050884]

• 帕特里克·布莱克本,本瑟姆,弗兰克·沃尔特（编辑），模态逻辑手册，逻辑和实践推理研究三(2007) [书籍网页,发布者页面]

• 本瑟姆,开放思维的模态逻辑(2010) [国际标准图书编号：9781575865980,pdf格式,网页]

其他文本：

• 达纳·斯科特,模态逻辑建议，英寸卡雷尔·兰伯特（编辑）逻辑中的哲学问题——一些最新发展，Reidel 1970年

  以下是我认为所有模态逻辑中最大的错误之一：专注于一个只有一模态运算符。（第161页）

• 迈克尔·麦凯,贡萨洛·雷耶斯,范畴设置中直觉逻辑和模态逻辑的完备性结果《纯粹与应用逻辑年鉴》72（1995）25-101

  （于判决和重新判决中的现象超教条主义的模态逻辑）

模态逻辑的公式打字 判决和类型形成规则在中

• 弗兰克·普芬宁罗文·戴维斯，模态逻辑的判断性重构，Comp.中的数学结构。科学。114 (2001) 511-540 [pdf格式]

另请参阅：

• 马库斯·克拉希特,模态逻辑中的工具和技术、逻辑与数学基础研究142Elsevier阿姆斯特丹（1999）[pdf格式,doi:10.2307/2687780]

结合模态逻辑和一般模态逻辑的讨论联合布拉格和内函子的末端余代数在中

• Corina Cirstea公司,亚历山大·库兹、德克·帕丁森、卢茨·施罗德和Yde Venema公司,模态逻辑是联合逻辑(pdf格式)

形式的形式化(高级模态)英寸同伦型理论出现在的定义1.11周围

• 埃格伯特·里杰克,低音喷溅,同伦类型理论中的集合(arXiv公司：1305.3835)

模态逻辑在语言学可以在中找到

• 劳伦斯·莫斯（Lawrence S.Moss）、汉斯·约格·蒂德（Hans-Jörg Tiede）、，模态逻辑在语言学中的应用，第299-341页，《布莱克本》，范·本特姆，沃尔特（编辑），模态逻辑手册2007年，爱思唯尔阿姆斯特丹。(草案)