关系

想法

A类关系是一个谓语也就是说，如果您有一个声明真值可能取决于一些变量，然后得到一个关系，该关系由构成语句的变量的实例化组成真的等价地，您可以将关系视为功能谁的目标是一组真值。

定义

一般情况

特殊情况

A类nullary关系是关于空集合族的关系。这与真值.

A类上的一元关系$A类$是单身家庭的关系$（A）$。这与子集属于$A类$.

A类上的二进制关系$A类$和$B类$是家庭的一种关系$（A、B）$，这是$A\乘以B$。这也称为关系来自$A类$到$B类$尤其是在$2$-类别相对如下所述，或有时称为异质关系.

A类上的二进制关系$A类$是上的关系$（A、A）$，这是来自$A类$对自身而言。这有时称为同质关系在$A类$，只是一个上的关系$A类$，或者只是一个内相关如果没有明确提及，则其集合隐含为属性。

安$n个$-ary关系在$A类$是一个家庭的关系$n个$的副本$A类$，这是$A ^n（A ^n）$.

对于二进制关系，通常使用以下符号$\模拟$并写入$a \模拟b$而不是$（a，b）$事实上，即使关系是通过字母给出的，例如$R（右）$，人们经常看到$a R b公司$而不是$R中的（a，b）$虽然现在看起来不太好。

内部和外部关系

在数学基础中分类属于命题和一种单独的套，例如的大多数演示文稿集合论在里面一阶逻辑具有平等，实际上有两个关系概念。上面给出的定义是内部关系，定义为子集的笛卡尔积的集合族关于集合上的关系，还有第二个定义：外部关系，它不是纯粹在集合论中定义的。由于每个集合内都有一种类型的元素外部关系只是一个命题在中上下文一个家庭的变量 $x指数$集合族内部$A（_i）$

在任何无序集合论，这些变量将表示为

正是在第二种外部关系的意义上平等在里面具有等式的一阶逻辑是一个等价关系，以及不平等是一个紧密的隔离关系在一阶理论中经典逻辑.

在依赖型理论，其中命题被视为子角体或套/类型它们本身只有一个关系的概念，即上面给出的内部概念。

态射

如果$A类$和$B类$每个集合都有一个关系吗功能 $f： A\至B$一同构装备如此齐全的设备？

实际上有两种方法可以做到这一点，如下所示。（我们将把这些写得好像每个集合都配备了一个二进制关系$\模拟$，但任何固定的arity都会起作用。）

• $（f）$ 保存关系如果$x \ sim y \；\向右箭头\；f（x）\模拟f（y）$始终；
• （f） 反射关系如果$x \ sim y \；\向左箭头\；f（x）\模拟f（y）$总是。

现在，如果$（f）$是一个双射，则仅当且仅当其逆函数反映它时，它才保留关系，因此很明显同构关系设备集应兼具这两种功能。那仅仅是一种形态呢？

一般来说，只需要保存更自然；如果你把一个具有关系的集合看作一个有限极限理论或者简单地有向图.

但在某些情况下，特别是当只处理非自反关系s、 相反，我们只要求态射反映关系。有时会施加更严格的条件，比如井然有序但即使在这些情况下，同构的定义也是一样的。

二进制关系

二进制关系的应用尤其广泛。

二进制关系的种类

特殊类型的关系$A类$到$B类$包括：

• 函数关系,
• 整个关系,
• 一对一关系?第页，
• 关于关系?第条。

上述二进制关系属性的组合产生：

• 功能,
• 部分函数,
• 注射剂,
• 猜测,
• 令人惊讶的事.

上的特殊二元关系$A类$（因此来自$A类$自身）还包括：

• 反射的和不灵活的关系；
• 对称的,反对称的，以及不对称关系；
• 传递关系和比较;
• 左侧和右侧欧几里德关系;
• 全部的和有联系的关系；
• 伸展的和有充分依据的关系。

上述二进制关系属性的组合产生：

• 等价关系,
• 部分等价关系,
• 隔离关系,
• 各种各样的订单（参见）。

结构保持关系

鉴于点集 $（A，A）$和$（B，B）$，二元关系$R（右）$从$A类$到$B类$如果$R（a，b）$.

具有内函数的给定集$（A，f_A）$和$（B，f_B）$，二元关系$R（右）$从$A类$到$B类$据说，如果每个$a \在a中$和$b\在b中$，如果$R（a，b）$，然后$R（f（a），f（b））$.

鉴于岩浆 $（A，\mu_A）$和$（B，\mu_B）$，二元关系$R（右）$从$A类$到$B类$如果对于每个$a中的\$,$c \在A中$,$b\在b中$和$d\在B中$，如果$R（a，b）$和$R（c，d）$，然后$R（\mu_A（A，c），\mu_B（B，d））$.

等等。

属性

每个二进制内相关$R（右）$有一个等价关系 $\模拟R$由生成$R（右）$.

作为余代数的二元关系

签署人咖喱二元关系$R： \mathcal{P}（X\次X）\cong X\次X\右箭头\Omega$，一个得到一个联合布拉格 $\θ：X\rightarrow（X\right arrow\Omega）\cong X\rirtarrow\ mathcal{P}（X）$对于动力装置 内函子在设置.

这个$2$-二元关系偏序集

二进制关系形成$2$-类别（事实上$2$-偏序集)相对，这是寓言.

这个物体是套，的态射从$A类$到$B类$二元关系是$A类$和$B类$，并且有一个2-同构从$R（右）$到$S公司$（两者均来自$A类$到$B类$)如果$R（右）$暗示$S公司$（即，当$R中的（a，b）$，然后$（a，b）\在S中$).

有趣的定义是作文

前面列出的各种二进制关系的特殊属性都可以用内部术语来描述相对; 其中大多数在任何情况下都有意义寓言如果寓言举重投篮有底部元素和线性关系都需要这一点。比较要求hom-poset具有有限的工会和基础良好的关系需要某种高阶结构。

作为一个功能可以被视为一种功能性的、完整的关系，因此类别设置集合和函数的子类别属于相对（事实上充满以及本地满的子-$2$-类别）。

内相关的拟拓扑

集合上的内部关系是拟拓扑 $EndoRel公司$或$箱子$。它是一个反射子范畴属于奎夫这个割前地形箭袋及其形态是箭袋形态。内生关系是分离预升对于双重否定拓扑在$奎夫$这里的“分离”指的是在两个垂直面之间最多有一条弧线的颤动。这个反射器 $Quiv\至EndoRel$将平行圆弧折叠在一起。这种箭袋也可以称为单数的或简单的虽然有时“简单”也意味着“没有循环”。

作为自反子范畴的关系闭包$EndoRel公司$

具有正条件的所有内相关子类型(反射的,对称的,传递的、左右两侧欧几里得的)它们的组合有一个关联的关闭可以从任意关系中产生一个。这样的结束完成通过添加最少数量的弧来满足条件的关系。在$EndoRel公司$这些闭包是产生反射子类别的反射器。例如对称闭包 $sym:EndoRel\到EndoSym$将（可能）扩大包含任何弧的颤动$v_a\到v_b$也包含$v_b\到v_a$. The传递闭包和自反闭包 $transRef:EndoRel\到EndoTransRef$产生与同构的类别PreOrd公司尽管它的物体是预购物的潜在颤动，预购物是$PreOrd公司$.

除了反思之外对称的,反射的，以及对称和自反闭包也是可以直接定义的通过双重否定分离。这个对称和自反闭合(SimpGph公司)也是一个格罗森迪克拟拓扑另一方面$PreOrd公司$不是拟拓扑，因为它不是常规类别.

三元关系

除了二元关系外，数学中还有一些重要的三元关系，它们在很大程度上是家庭由第三组索引的二进制关系：

• 均匀性，其中索引集是随行人员.
• 预测量的，其中索引集是实数，或在某些情况下有理数.

概括

上述大多数内容在任何情况下都有意义类别有足够的产品; 引起内部关系例如同余在内部等价关系的情况下。

也许最棘手的是作文二元关系，所以不是每个类别有限乘积有一个寓言关系。事实上，在某种确切的意义上，一个范畴具有关系的寓言当且仅当它是有规律的然后，通过观察功能性的整体关系，可以从这个寓言中恢复出来。

相关概念

• 相对

• 图表

• 逻辑关系

• 量子关系

• 相关性