n实验室内函子的代数
改自“内函子上的代数”。
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想法
安内函子上的代数就像一个单子上的代数,但没有概念结合性(考虑到这一点)内函子没有配备乘法运算,因此单子).
定义
定义
对于类别 和内函子 ,一个代数(或模块)第页,共页是一个对象 在里面和a同构 . (被称为载体代数的)
A类同态在两个代数之间和属于是一个态射在里面如下所示平方通勤:
组成代数的这种同态由潜在的中的形态。这将产生类别属于-代数,带有遗忘函子到.
如果是一个指向内函子带点,然后通过代数对于one通常表示点代数,即:.
属性
与单子上代数的关系
致范畴理论家,单子上的代数可能比代数更熟悉内函子。事实上,当和表现良好,则内函子上的代数等价于某个单子上的代数无代数单体由生成(皮罗格,Gambino-Hyland 04第6节).
这类似于行动 的幺半群 和a二进制函数 (一个动作设置):这样的函数与自由幺半群 在.
回到内函子的情况,一般的说法是:
提议
这个类别内函子代数的是相等的到类别代数的无代数单体在,如果存在。
实际上,这个命题只是对“无代数单体”一词的定义。如果有一个无代数的单子,表示为然后特别是健忘函子有一个左伴随、和monad开着吗由此生成附加相反,如果存在这样一个左伴随,那么它生成的单子是代数无关的; 有关直接的证明,请参见示例(皮罗格). 代数自由单子的显式构造归纳类型如下所示。
当是一个本地可呈现类别和是一个可及函子; 看见自由代数的超限构造.
对于点内函子上的点代数,完全类似的事实是成立的。
与归纳类型的关系
这个内函子的初始代数提供范畴语义学对于归纳类型.
代数自由单子的构造可以用这种初始代数的语言来描述。假设是一个具有副产品和是内函子。让-属于-代数,让做一个惯常健忘的模仿者。A类左伴随到然后取一个对象属于到初始代数内函子的,前提是该初始代数存在。对于,通过常用的逗号类别描述(参见示例伴随函子定理),是初始对象类别的。但是是三元组,相当于一对,相当于。因此,初始对象为是内函子的初始代数。
这个单子代数自由monad的结构可以直接从这个初始代数描述中提取。这在皮罗格。例如,描述乘法,让成为对象;然后具有代数结构因此,它也具有内函子上的代数结构,即.但自从是单子的初始代数,我们得到了一个唯一的代数映射。这是组件单子乘法。
工具书类
有关基本理论的教科书说明见第十章属于
与的关系自由单子在中进行了讨论
- 尼古拉·甘比诺,马丁·海兰德,良基树和相关多项式函子《证明和程序类型》,《计算机课堂笔记》第3085卷。科学。,第210–225页。Springer-Verlag,柏林,2004年(网状物)
最后一次修订时间为2022年11月2日14:27:35。请参阅历史获取所有贡献的列表。