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想法

安内函子上的代数就像一个单子上的代数，但没有概念结合性（考虑到这一点）内函子没有配备乘法运算，因此单子).

定义

如果$F类$是一个指向内函子带点$\eta:Id\到F$，然后通过代数对于$F类$one通常表示点代数，即：$\alpha\circ\eta_X=id_X$.

属性

单子上代数的关系

致范畴理论家,单子上的代数可能比代数更熟悉内函子。事实上，当$C类$和$F类$表现良好，则内函子上的代数$F类$等价于某个单子上的代数无代数单体由生成$F类$(皮罗格,Gambino-Hyland 04第6节).

这类似于行动 $M\次B\到B$的幺半群 $M（M）$和a二进制函数 $A\乘以B\到B$（一个动作设置)：这样的函数与自由幺半群 $A类^*$在$B类$.

回到内函子的情况，一般的说法是：

实际上，这个命题只是对“无代数单体”一词的定义。如果$F类$有一个无代数的单子，表示为$F类^*$然后特别是健忘函子$F算法\to C$有一个左伴随、和$F类^*$monad开着吗$C类$由此生成附加相反，如果存在这样一个左伴随，那么它生成的单子是代数无关的$F类$; 有关直接的证明，请参见示例(皮罗格). 代数自由单子的显式构造归纳类型如下所示。

当$C类$是一个本地可呈现类别和$F类$是一个可及函子; 看见自由代数的超限构造.

对于点内函子上的点代数，完全类似的事实是成立的。

与归纳类型的关系

这个内函子的初始代数提供范畴语义学对于归纳类型.

代数自由单子的构造可以用这种初始代数的语言来描述。假设$C类$是一个具有副产品和$F： C\至C$是内函子。让$F类$-$alg公司$属于$F类$-代数，让$U： F\text格式{-}铝\至C$做一个惯常健忘的模仿者。A类左伴随到$U型$然后取一个对象$d日$属于$C类$到初始代数$\Phi（d）$内函子的$c \mapsto d+F（c）$，前提是该初始代数存在。对于，通过常用的逗号类别描述（参见示例伴随函子定理),$\Phi（d）$是初始对象类别的$（d\向下箭头U）$。但是$（d\向下箭头U）$是三元组$（c，α：F（c）到c，β：d到c）$，相当于一对$（c，γ：d+F（c）到c）$，相当于$c \mapsto d+F（c）$。因此，初始对象为$（d\向下箭头U）$是内函子的初始代数。

这个单子代数自由monad的结构$F^\ast=U\Phi$可以直接从这个初始代数描述中提取。这在皮罗格。例如，描述乘法$\mu:F^\ast到F^\asp$，让$d日$成为对象；然后$F^\ast天$具有代数结构$[i，\theta]：d+F（F^\ast d）到F^\last d$因此，它也具有内函子上的代数结构$c\mapsto F^\ast d+F（c）$，即$[1，\theta]：F^\ast d+F（F^\asp d）到F^\last d$.但自从$F ^ \ast F ^ \ ast d$是单子的初始代数$c\mapsto F^\ast d+F（c）$，我们得到了一个唯一的代数映射$F^\ast F^\asp d\到F^\last d$。这是组件$\多个（_d）$单子乘法。

相关概念

• 游离单子

• 内函子,指向内函子

• 单子上的代数,亵渎子上的代数,内函子上的余代数

• 代数紧范畴

工具书类

有关基本理论的教科书说明见第十章属于

• 史蒂夫·阿沃迪,范畴理论课堂讲稿（2011）(网状物)

与的关系自由单子在中进行了讨论

• 马西耶·皮罗格,自由单子及其代数

• 尼古拉·甘比诺,马丁·海兰德,良基树和相关多项式函子《证明和程序类型》，《计算机课堂笔记》第3085卷。科学。，第210–225页。Springer-Verlag，柏林，2004年(网状物)