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想法

概念endo上的代数-亵渎者($C类$-$C类$-双模)是这些概念的联合概括内函子的代数和内函子的余代数.

定义

对于一个类别$C类$和a$C类$-$C类$ 双模 $H:C^{op}\times C\设置$，一个代数对于$H（H）$由函子 $X冒号D到C$和一个超自然转化 $\截至H（X，X）$，其中$\ast\colon\mathbf{1}\设置$在指向.$X（X）$被称为载体代数中的。形态$（X，α）到（Y，β）$属于$H（H）$-代数由自然转化 $\φ\冒号X\右箭头Y$这样的话$H（X，\phi）\circ\alpha=H（\phi，Y）\cick\beta$.

如果$D类$是一个单对象范畴，一个代数$（X，\alpha）$由对象给定$X（X）$在里面$C类$和一个元素$\α\H（X，X）$.两个代数之间的同构$（X，\alpha）$和$（Y，β）$那么是一个态射$m:X\到Y$在里面$C类$这样的话$H（X，m）（α）=H（m，Y）（β）$，这两者都是$H（X，Y）$.

有一个明显的遗忘函子进入之内$C类$从代数范畴$H（H）$，将每个代数发送到其载体，并将每个代数态射发送到其底层态射$C类$; 在其他属性中，这个函子总是忠实的和保守的.

事实上，类别$阿尔及利亚（H）$以及它的健忘功能$U \冒号Alg（H）\到C$，具有通用属性Eilenberg-Moore对象也就是成为普遍的 $H（H）$-代数。具体来说，它是一个终端对象在对象是函子的范畴中$G\冒号D\到C$配备有超自然转化 $\ast\到H（G-，G？）$因为这种超自然的转变包括$d中的d\$，一个元素$\xi_d\以H（G d，G d）表示$，这样对于每个态射$v\冒号d\到e$在里面$D类$，我们有$H（id_d，v）（\xi_d）=H（v，id_e）（\xi_e）$这正是函子的数据$D到Alg（H）$躺着$C类$.

教授中的余代数

的一个版本Yoneda引理对一个亵渎者来说$H\colon C&#8696；C类$在超自然变换之间有一个双射$\截至H$和自然转化$\hom_C\至H$所以有一些疑问

其中，最后一个由可代表的亵渎者的通常属性持有（参见例如。探测设备). 这展示了每个$H（H）$-关于的代数$X（X）$在上述意义上，作为$H（H）$-联合布拉格在里面$教授$有承运人$C（1，X）$.

示例

• 代数和余代数对于内函子是双模代数的特例；具体来说，内函子的代数$F类$是双模的代数$Hom（F（-），？）$，而对于$F类$是双模的代数$Hom（-，F（？））$.

• A类自然转化函子之间$F类$和$G公司$从$C类$到$D类$是一个部分将健忘函子转换为$C类$从代数的范畴$C-C公司$双模$Hom_D（F（-），G（？））$也就是说，它提供了$C类$的代数结构$Hom_D（F（-），G（？））$以这样的方式$C类$具有域上代数和余域上代数之间的代数同构的性质。

• A类自然数对象（在弱的、非参数化的意义上）在一个类别中$C类$带有终端对象$1$是双模代数范畴中的初始对象$Hom_C（1，？）\times Hom-C（-，？）$.如果$C类$有二元余积，那么这当然与内函子的初始代数相同$1+(-)$.

相关概念

• 自同态的代数
• 单子上的代数,内函子上的代数,内函子上的余代数,拨号盘