一种单人游戏,在一个可以打开和关闭的矩形格子灯上进行。动作包括在其中一个方格内翻转“开关”,从而切换该方格和所有四个垂直和水平相邻方格的打开/关闭状态。从随机选择的灯光模式开始,目的是关闭所有灯。确定是否可以从一组所有灯打开到所有灯关闭的问题被称为“所有灯问题”。如Sutner(1989)所示,对于方形晶格(Rangel-Mondragon),这总是可能的。
这可以转化为以下代数问题。
1.每个灯配置都可以看作一个矩阵中包含条目(即a(0,1)-矩阵,其中每个1代表一个燃烧的灯,0代表一个关闭的灯。例如,对于案例,
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(1)
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2.置于的开关的动作可以解释为矩阵加法,其中是矩阵中唯一等于1的项是放置在以及相邻位置;基本上有三种不同类型的矩阵,取决于是拐角入口,
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侧面入口,
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或中间入口,
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3.由于矩阵加法是可交换的,因此执行移动的顺序是无关的。
4.每一个成功的动作组合都可以用数学形式表示:
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(5)
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在这里,表示零矩阵,对应于所有灯都关闭的情况,以及每个系数表示切换的次数必须按下。因为我们正在解方程(mod 2),因此可以用等效形式书写
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此外,只需将0和1视为因此,上述等式为不定常线性方程组在田野上.
例如,与上述初始(左侧)光模式对应的系统可以写为
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(7)
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它有正好一个解决方案:(,,),这意味着按下开关,,、和(对应上图中的红点)。自上述方程组的矩阵具有最大秩(它是行列式非零的矩阵)-格总是可解的。
一般来说点阵是从无光获得的按下一些开关。在线性代数语言中,它们是-一些矩阵的和矩阵.例如-格子如上图所示。所有其他矩形大小为对于每一种可能的起始模式都是可解的。
有时可能有多种解决方案。例如,在在这种情况下,有四种可能的解决方案来实现上述全光模式。
有些模式没有解决方案。例如,在如上图所示,不可能全部关闭灯光。
如Sutner(1989)所示,对于任何尺寸正方形格子。上图显示了所有可能的解决方案对于至7。解决方案的数量(忽略旋转和反射), 2, ... 是1、1、1和16、4、1和256、1和64、1和1、16、,1, ... (组织环境信息系统A075462号),以及相应的要按下的最小按钮数为1、4、5、4、15、28、33、40、25、44、,55, 72, 105, 56, 117, ... (组织环境信息系统A075464号). 这个具有独特解决方案的电路板尺寸(通过因此,旋转或反射是1、2、3、6、7、8、10、12、13,15, 18, 20, ... (组织环境信息系统A076436号; 考恩和肯尼迪2000).
去除通过旋转或反射等效的解给出了上述不同的解,其中有1,1,1,5,1,1,1,1,43,1,10,1, 1, 5, 1, ... (组织环境信息系统A075463号). 电路板尺寸具有独特的解决方案(计数板通过旋转或因此,反射等效)为1、2、3、5、6、7、8、10、12、13、15、17,18, ... (组织环境信息系统A076437号).
此条目由贡献玛格丽塔巴里尔
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三个奇偶定理的简单证明Ars Combin公司。 42, 175-180, 1996.康隆,M.M。;法利达斯,医学硕士。;福德,M.J。;肯尼迪,J.W。;McIlwaine,S。;和Stern,J.“反转图的数量。"Graph Th.Notes纽约 37, 42-48, 1999.考恩,R.和Kennedy,J.“熄灯难题”数学。教育。物件。 9,28-32, 2000.http://library.wolfram.com/infocenter/Articles/1231/.考恩,R。;Hechler,S.H。;肯尼迪,J.W。;和Ryba,A.“倒置与邻里”图中的反转。"Graph Th.Notes纽约 37, 37-41, 1999.戈德瓦瑟,J.和Klostermeyer,W.“网格中‘熄灯’游戏的最大化版本和图表。"恭喜。数字。 126, 99-111, 1997.JavaScript脚本资料来源:。“熄灯。”http://javascript.internet.com/games/lights-out.html.米尔斯通网站。“熄灯。”http://www.millstone.demon.co.uk/games/lightsout/start.htm.Rangel-Mondragon,J.“元胞自动机目录”http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/505/.Raguet-Schofield,R.“灯光熄灭调色板演示”http://library.wolfram.com/infocenter/Demos/4817/.斯隆,新泽西州。答:。序列A075462号,A075463号,A075464号,A076436号,和A076437号在线百科全书整数序列的。"Sutner,K.“线性细胞自动机还有伊登花园。"数学。智能手机 11, 49-53, 1989.惠特曼大学数学系。“熄灯。”http://www.whitman.edu/offices_departments/mathematics/lights_out/.引用的关于Wolfram | Alpha
Lights Out拼图
引用如下:
玛格丽塔·巴里尔“Lights Out Puzzle”摘自数学世界--Wolfram Web资源,创建人埃里克韦斯特因.https://mathworld.wolfram.com/LightsOutPuzzle.html
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