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拉普拉斯系列

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这个球面谐波表格a完全正交系，所以任意实函数 f（θ，φ）可以按条件展开复球面谐波的

f（θ，phi）=sum_（l=0）^inftysum_（m=0）^lA_l^mY_l^m（θ，
(1)

或根据实际球谐函数

f（θ，φ）=sum_（l=0）^inftysum_（m=0.）^l[C_l^mY_l^m^C（θ、φ）+S_l^mY_l^m^S（θ和φ）]。
(2)

函数的表示f（θ，φ）因此，双系列是广义的傅里叶级数被称为拉普拉斯系列。

确定系数的过程_升^m在(1)类似于确定a中的系数傅里叶级数即乘法的两侧(1)由Y^__（l^'）^（m^'）（θ，φ）、集成和使用正交性关系（◇）以获得

int_0^（2pi）int_0^pif（θ，φ）Y^__（l^'）^（m^'）（θ=sum_（l=0）^inftysum_（m=0）|lint_0^（2pi）int_0^piA_l^mY_l^m（θ，φ）Y^__（l^'）^（m^'）（θ=sum_（l=0）^inftysum_（m=0）|lA_l^mdelta_（ll^'）增量_（mm^'）=A_l^m。
(3)

以下绘图序列显示了函数的连续近似值f（θ，φ）=3+cos^3（2θ）+（sinphi）/2,这在最后的情节中得到了说明。

球面谐波系列

拉普拉斯级数也可以用实球谐函数表示为

f（θ，φ）=sum_（l=0）^inftysum_（m=0.）^l[C_l^mcos（mphi）+S_l^msin（mphi]P_l^m（costheta）。
(4)

如前所述，使用正交关系

int_0^（2pi）int_0^piP_l^m（costheta）cos（mphi）P_（l^'）^（m^'）（costtheta）cos（m^'phi）sin（theta）dthetadphi=-（2pi（l+m）！）/（（2l+1）（l-m）！）增量_（mm^'）增量_（ll^'）int_0^（2pi）int_0^piP_l^m（costheta）sin（mphi）P_（l^'）^（m^'）（costtheta）sins（m^'phi）sinthetadtaphi=-（2pi（l+m）！）/（（2l+1）（l-m）！）增量（mm^'）增量（ll^'）。
(5)

所以_升^米和（_l^m）由提供

C_l^m（_l）=-（（2l+1）（l-m）！）/（2pi（l+m）！）int_0^（2pi）int_0^pif（θ，φ）P_l^mcosthetacos（mphi）sinthetadtadphi
(6)
（_l^m）=-（（2l+1）（l-m）！）/（2pi（l+m）！）int_0^（2pi）int_0^pif（θ，φ）P_l^mcosthetasin（mphi）sinthetadtadphi。
(7)

另请参见

完全正交系,Forier-Legendre系列,傅里叶系列,广义傅里叶级数,球面谐波

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引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。《拉普拉斯系列》摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/LaplaceSeries.html

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