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LU分解

分解N×N矩阵A类转换为降低三角形矩阵 L（左）和一个上三角矩阵 U型,

LU=A。
(1)

LU分解在沃尔夫拉姆语言作为LU分解[米].

为显式编写3×3 矩阵，分解是

[l（11）0 0；l（21）l（22）0；l
(2)
[（11）u（11）l（11）u12）l（11u13）；l（21）u（11l）l（21=【a（11）a（12）a（13）】；a（21）a（22）a（23）；a（31）a（32）a（33）】。
(3)

这给出了三种类型的方程

i<j l（i1）u（1j）+l（i2）u（2j）++l（ii）u（ij）=a（ij
(4)
i=j l（i1）u（1j）+l（i2）u（2j）++l（ii）u（jj）=a（ij）
(5)
i> j l（i1）u（1j）+l（i2）u（2j）++l（ij）u（jj）=a（ij.）。
(6)

这给了编号^2方程式N ^2+N 未知数（分解不是唯一的），并且可以解决使用克罗特方法.为了解决矩阵方程式

Ax=（LU）x=L（Ux）=b，
(7)

先解决Ly=b对于年.这可以通过正向替换来实现

y_1=（b_1）/（l_（11））
(8)
y_i（y_i）=1/（l（ii））（b-i-sum（j=1）^（i-1）l（ij）yj）
(9)

对于i=2,...,N个.然后解决Ux=y对于x个.这可以通过反向替换来实现

x否=（y_N）/（u_（NN））
(10)
x _ i=1/（u_（ii））（y_i-sum_（j=i+1）^（N）u_（ij）x_j）
(11)

对于i=N-1,..., 1.

另请参见

高斯消去,下三角矩阵,矩阵分解,Cholesky分解,QR分解,三角形矩阵,上三角矩阵

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出版社，W.H。；弗兰纳里，B.P。；Teukolsky，S.A。；和韦特林。“LU分解及其应用”§2.3在里面数字的FORTRAN:科学计算的艺术，第二版。英国剑桥：剑桥大学出版社，第34-42页，1992年。

参考Wolfram | Alpha

LU分解

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“LU分解。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/LUDecomposition.html

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