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克莱默法则

给出一组线性方程

{a1x+b1y+c1z=d1；a2x+b2y+c2z=d2；a3x+b3y+c3z=d3，
(1)

考虑一下行列式

D=|a_1 b_1 c_1；a2b2c2；a3b3c3|。
(2)

现在乘法D类通过x个，并使用的属性决定因素那个乘法通过常数是等价的到乘法单个列中每个条目的通过这个常数，所以

x|a_1b_1c_1；a2b2c2；a_3b_3c_3 |=| a_1xb_1c_1；a2xb2c2；a3x b3 c3。
(3)

的另一个属性决定因素使我们能够将常数乘以任意列，并获得相同的结果行列式,所以加上年乘以第2列和z（z）乘以第3列到第1列，

xD=|a_1x+b_1y+c_1zb_1c_1；a_2x+b_2y+c_2z b_2c_2；a_3x+b_3y+c_3z b_3 c_3|=|d_1 b_1 c_1；d2b2c2；d3 b3 c3 |。
(4)

如果d=0，然后（4）减少为xD=0，因此系统具有非退化解（即解（0，0，0）除外）D=0（在这种情况下，存在一系列解决方案）。如果d=0和D=0，该系统没有唯一的解决方案。如果不是这样d=0和D=0，然后通过以下公式给出解决方案

x=（|d_1 b_1 c_1；d_2 b_2 c_2；d_3 b_3 c_3|）/d，
(5)

和类似的

年=（|a_1 d_1 c_1；a_2 d_2 c_2；a_3 d_3 c_3|）/d
(6)
z（z）=（|a_1b_1d_1；a_2 b_2 d_2；a_3b_3d_3|）/d。
(7)

这个过程可以推广到一组n个等式so，给定一个系统n个线性方程组

[a_（11）a_（12）…a_（1n）；||…|；a_（n1）a_，
(8)

让

D=|a_（11）a_（12）。。。a_（1n）；||…|；a_（n1）a_（n 2）。。。a_（nn）|。
(9)

如果d=0，则存在非退化解决方案只有D=0.如果d=0和D=0，该系统没有唯一的解决方案。否则，计算

D_k=|a_（11）。。。a_（1（k-1））d_1 a_（1k+1））。。。a_（1n）；|…|||…|；a_（n1）。。。a_（n（k-1））d_n a_（n（k+1））。。。a _（nn）|。
(10)

然后x_k=D_k/D对于1<=k<=n.在三维中案例矢量Cramer法则的类比是

（轴B）x（CxD）=（A·BxD）C-（A·BxC）D。
(11)

另请参见

决定因素,线性代数,矩阵,系统方程式的,矢量

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工具书类

Cramer，G.“Intr.ál’analyse de lignes courbes algébriques”，日内瓦，657-6591750年。缪尔，T。这个历史发展顺序中的决定因素理论，第1卷。纽约：多佛，第11-14页，1960年。

参考Wolfram | Alpha

克莱默法则

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“克莱默法则”。摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/CramersRule.html

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