互补子空间

让成为赋范空间,和是的代数补子空间（即。，和),是商映射，是自然的同构、和是的投影在沿着那么以下陈述是等效的：

1是同胚。

2和被封闭在和是同胚。

三。和关闭，并且是一个有界投影。

子空间和被称为拓扑补足或简单补足同等声明成立（Constantinescu 2001、Meise和Vogt 1997）。

对每个有限维子空间进行补运算，对有限余维子空间的每个代数补运算进行拓扑补运算。在一个巴纳赫空间 ,两个闭子空间是代数补的当且仅当它们是补的。

存在未实现的闭子空间。例如，让是磁盘代数，即所有解析函数的空间在在关闭时是连续的.然后是的子空间包括功能的限制到未在中补充（霍夫曼1988）。

与补子空间相关的问题是Banach空间理论的核心，已有50多年的历史（Johnson和Lindenstrauss，2001）。