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Chmutov曲面

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安代数曲面用仿射方程

P_d（x_1，x_2）+T_d（x_3）=0，
(1)

哪里T_d（x）是一个切比雪夫多项式第一类和P_d（x_1，x_2）是由定义的多项式

P_d（x_1，x_2）=|x_1 10。。。0 0 0; 2x_2 x_1 1。。。0 0 0; 3×2×1………|；0 1 x_2。。。1 0 0; 0 0 1 ... x_1 10；|。。。x 2 x 1 1；0 0 0 ... 1 x_2 x_1|+|x_2 1 0。。。0 0 0; 2x_1x_2 1。。。0 0 0; 3×1×2………|；0 1 x_1。。。1 0 0; 0 0 1 ... x_2 10；|。。。x _1 x _2 1；0 0 0 ... 1 x_1 x_2|，
(2)

其中矩阵具有维数d×d。这些表示中的曲面高露洁棕榄^3只有普通的双点作为奇点。前几个曲面如下所示

x+y+z=0
(3)
x^2+y^2+2z^2=1+2x+2y
(4)
6+x^3+y^3+4z^3=3（2xy+z）。
(5)

这个d日第个这样的曲面具有的顺序

N（d）={1/（12）（5d^3-13d^2+12d）如果d=0（mod 6）；1/
(6)

奇异点（Chmutov 1992），给出序列0、1、3、14、28、57、93、154、216、321、425、576、732、949、1155。。。（组织环境信息系统A057870号)对于d=1,2, .... 对于许多订单d日，Chmutov曲面比任何曲面都具有更多的普通双点其他已知的等式。

4、6和10阶Chmutov曲面
Cmutov曲面

基于Chmutov方程，Banchoff（1991）定义了一组更简单的曲面

T_n（x）+T_n（y）+T_n（z）=0，
(7)

哪里n个是即使和T_n（x）又是一个切比雪夫第一类多项式例如，上面所示的曲面具有阶数2、4和6由方程式给出

2（x^2+y^2+z^2）=3
(8)
3+8（x^4+y^4+z^4）=8（x^2+y^2+z^2）
(9)
2[x^2（3-4x^2）^2+y^2（3/4y^2）*2+z^2（3-4z^2）|2]=3。
(10)

另请参见

Goursat曲面,普通双点（Double Point）,超椭圆,Tanglecube公司

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工具书类

班乔夫，T.F。《用于绘制代数曲面和有序几何的计算机图形工具》几何分析与计算机制图：1988年5月23日至25日举行的研讨会论文集（编辑P.Concus、R.Finn和D.A.Hoffman）。纽约：Springer-Verlag，第31-37页，1991年。Chmutov，S.V.公司。“投影示例具有许多奇点的曲面。"J.代数几何。 1, 191-196,1992Hirzebruch，F.“代数曲面的奇异性及其特征数字。“输入这个Lefschetz百年大会，第一部分：代数会议记录几何、代数拓扑和微分方程，12月在墨西哥城举行10-14, 1984（编辑S.Sundararaman）。普罗维登斯，RI:Amer。数学。Soc.公司。，第141-155页，1986年。新泽西州斯隆。答：。顺序A057870美元在“整数序列在线百科全书”中特洛特，M。石墨1：数学图形的世界。想象成真：迈克尔的形象特洛特。伊利诺伊州香槟：Wolfram Media，第3和82页，1999年。特洛特，M。这个图形数学指南。纽约：Springer-Verlag，2004年。http://www.mathematicaguidebooks.org/.

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Chmutov曲面。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/ChmutovSurface.html

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