关于算术级数中素数的Dirichlet定理的大多数证明实际上给出了一个类Mertens定理，然后是（较弱的）语句
切比雪夫式束缚：如果$（a，q）=1$，则
$$\sum_{\substack{n\leqX\\equiva\modq}}\Lambda（n）\gg_q\frac{X}{\varphi（q）}$$（这里引入因子$\varphi（q）$只是为了美观）
基本上有两种方法可以加强这一点：
- 对于固定$q$，在$X$-方面：这相当于用$\sim$替换上面的$\gg$，这正是算术级数中的素数定理。
- 在$q$-方面：要求明确的$\epsilon$（取决于$q$）满足$$\sum_｛\substack｛n\leq X\\equiv a\mod q｝｝\Lambda（n）\geq\epsilon\frac｛X｝｛\varphi（q）｝$$
如果允许进行复杂分析，Siegel-Walfisz将解决这两个问题，并给出$\epsilon=1-o（1）$，范围为$q\ll\left（\log X\right）^A$（对于任何$A>0$）。但我对初级的方法（在本文中，“基本”一词的通常含义）。根据Dirichlet的逐步证明（或者至少是它的现代变体之一），我成功地证明了$$\epsilon=e^{-C\varphi（q）\left（\log q\right）^9}$$是可以接受的。除了不重要的$\log$因素外，我还没有改进它。因此，我的问题是：
用初等方法可以达到的$\epsilon$上的最佳（已知）下限是什么？
从算术级数中素数的初等证明中得到的$q$的更宽允许范围是多少？
欢迎参考，到目前为止我还没有找到。
编辑：根据下面的评论和回答，我得出结论，我所要求的并不像我认为的那样经典。我总结了问题的状态：
编辑2：下面的“匿名者”评论基本上解决了我的问题。确实存在Linnik定理的初等证明（或者至少是避免了Linnik原证明中大多数复杂分析机制的证明）。最后一次使用复杂分析结果是显式使用$\Psi（X，q，a）=\frac{X-\frac}X^{\beta}}{\beta}}{\ varphi（q）}+\text{Error term}$（根据Andrew Granville，这似乎是固定的，但细节尚不清楚
谢谢你的帮助！
