$\operatorname{Rep}（G）的纤维函子的自然自同态代数的解释$

Question

让G美元$是代数闭域上的连通代数群千美元$特征零（我主要对还原群的情况感兴趣）。

根据塔尼亚形式主义，G（k）美元$可以用纤维函子的张量自同构群来识别$F:\operatorname{Rep}（G）\to\mathrm{Vect}$即自然自同构$（\phi_X）_{X\in\operatorname{Rep}（G）}$这样的话$\phi_{X\otimes Y}=\phi_X\otimes\phi_Y$类似地，我们可以识别李代数$\mathfrak{g}$具有一组自然自同态$（\phi_X）_{X\in\operatorname{Rep}（G）}$属于$F美元$令人满意的$\phi_{X\otimes Y}=\phi_X\otemes 1+1\otimes\phi_Y$.

对完整代数有类似的解释吗$\operatorname{End}（F）$的自然自同态$F（美元）$，没有关于张量乘积的限制？

代数$\operatorname{End}（F）$似乎与泛包络代数密切相关$U\mathfrak{g}$的确，有一个明显的同态$U\mathfrak{g}\to\operatorname{End}（F）$我认为它总是内射的（虽然我没有证明，但我很想看看），并且根据雅各布森的密度定理有稠密的图像。然而，我不知道如何在上定义固有拓扑$U\mathfrak｛g｝$这将产生$\operatorname{End}（F）$作为某种形式的完成$U\mathfrak{g}$.

例子：如果$G=\mathbb{G} _米$，然后$U\mathfrak{g}=k[t]$,$\operatorname{End}（F）=k^\mathbb{Z}$和地图$U\mathfrak{g}\to\operatorname{End}（F）$发送多项式f（t）美元$到$（f（k））_{k\in\mathbb{Z}}$.

Answer 1

对于约化群，表示范畴是半单的，因此纤维函子的自同态代数只是矩阵代数的乘积，每个不可约表示对应一个矩阵代数。

请注意，表示的类别$\mathbb C美元$如果没有张量结构，则是一个简化群的无聊不变量&范畴的结构完全由不可约表示集的基数决定。

对于G美元$半单单连通，我认为可以检查纤维函子的自同态代数是$U\mathfrak克$在有限余维双边理想生成的拓扑下，由于这些理想的商给出了$\mathfrak克$，扩展到的有限维表示G美元$.

Answer 2

一般来说，我认为这应该是完整的对偶代数$\mathcal{O}（G）$，或等价于群代数的profinite完成千美元[G]$.如果G美元$是简单连接的，不一定是还原的，这与$U（\mathfrak g）$正如威尔的回答。