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$\开始组$

给定一个（杆和关节）框架/链接，我想知道有什么可能的方式来表明框架是局部刚性的。此外，关于检查给定框架是否局部刚性的计算复杂性，我们知道什么？

注意，我说的是局部刚度，而不是无穷小刚度。检查无穷小刚度很容易（只需计算刚度矩阵的秩）。此外，众所周知，无穷小刚度和局部刚度对于一般框架是等价的。现在我想知道以下显示局部刚性的方法是否有效。给定一个框架，我稍微扰动节点使其通用。现在我检查一下这个新框架的刚度（或相当于无穷小的刚度）。它是否保证了原框架的刚性？

我遇到了一个特定的标准(https://en.m.wikipedia.org/wiki/Chebychev%E2%80%93Gr%C3%BCbler%E2%80%93Kutzbach_criterion)它被工程师用来计算给定连杆的自由度。虽然我不完全理解，但似乎可以说平面上的框架是刚性的iff$m\geq 2n-3美元$，其中百万美元$是边的数量n美元$是顶点数。但它当然不适用于所有（甚至通用）框架。我想知道这个标准实际适用于哪些框架。如果我误解了标准，请纠正我。

相关帖子（等待回答），要求证明特定框架的局部刚性：https://math.stackexchange.com/questions/44774712/is-k-3-3-带电压的电路板

改进这个问题
$\端组$
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    $\开始组$ 哇，维基百科的用户竟然把切比雪夫放错了标题！ $\端组$
    – Y科尔
    评论 2023年9月26日12:19
  • $\开始组$ 你知道拉曼定理吗？“让一个图$G$正好有$2n-3$个图边，其中$n$是$G$中的图顶点数。然后$G$对于$G$的每一个子图有$n'$个图顶点和$e'$个图形边，在$\mathbb{R}^2$iff$e'\le2n'-3$中是“一般”刚性的。” $\端组$
    – 约瑟夫·奥鲁克
    评论 2023年9月26日12:49
  • $\开始组$ @Joseph O'Rourke是的，我知道（这就是为什么我说仅仅说一个图有2n-3条边不足以保证刚性）。但这仅适用于一般配置。我对展示非通用配置的刚性感兴趣。 $\端组$
    – Pritam Majumder公司
    评论 2023年9月26日12:57
  • 1
    $\开始组$ 那么，也许看看这篇论文：“Epsilon局部刚性和数值代数几何，”arxiv链路. $\端组$
    – 约瑟夫·奥罗克
    评论 2023年9月26日14:26
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    $\开始组$ @YCor令人惊讶的是，“Chebychev–Grübler–Kutzbach”似乎确实是机器人领域的标准拼写，因为此参考暗示；也，这张照片纳达尔的《切比雪夫》表明，他的名字在他活着的时候，至少偶尔会用法语拼写为“切比雪娃”。无论如何，维基百科似乎（完全）不应该受到指责。 $\端组$
    – 格罗·特森
    评论 2023年9月26日15:24

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