2022年最重要的成果

Question

毫无疑问，今年最受关注的新闻之一是张艺棠在兰道-西格尔零点的比赛结果（参见张一堂最新声称的Landau-Siegel零点结果的后果)

由于不可能关注所有领域的伟大成果，总的来说，2022年不同数学学科的重要进展是什么？

Answer 1

几天前，贾斯汀·吉尔默（Justin Gilmer）对联合闭猜想（也称为Frankel猜想）的突破就是其中之一。Frankel猜测指出，如果一个集合的有限族在联合条件下是封闭的，那么至少有一半的集合中会出现至少一个元素。这似乎是一个非常基本的组合学问题，你可以通过数学溢出问题的数量来了解它是多么容易引起人们的兴趣。这似乎是其中的一个问题，一旦你听说它，你就必须抵制住诱惑，放弃它，试着找到一个简单的证明。

但对于这个问题，很多显而易见的事情都失败了。如果一个元素出现在家族中至少一半的集合中，我们会说它是丰富的。如果你的一个集合是单体的，那么不难证明这一点$\{x\}$然后x美元$一定很丰富。如果你家最小的尺寸是两种元素，那么至少有一种元素是丰富的。但这种明显的概括是错误的。在你的家庭中，丰富的元素不可能以最小的尺寸出现。请参阅上的讨论Frankl联合闭猜想的疑难例子.

还有一些其他的事情，人们可能希望它能被打破。例如，出现在至少一半元素中的元素集不必是我们的族中的元素本身（请参见强化了Frankl的联合封闭猜想？).

几天之前最强的结果甚至无法构造一个显式常数$\增量>0$在那里我们可以证明较弱的联合闭合猜想美元\ delta$更换$\压裂{1}{2}$然而，[贾斯汀·吉尔默在联合闭集猜想的一个常数下界这样的集合必须有一个元素，该元素至少出现在集合中所有成员的1/100中。有关更多详细信息，请参阅Gil Kalai在令人惊讶的是：贾斯汀·吉尔默给出了统一闭集猜想的一个恒定下限.

Gilmer方法的自然极限是$\压裂{3-\sqrt{5}}{2}\约0.38$而不是$\压裂{1}{2}$有人猜测，起床可能会很艰难，一些人认为这对于一个新的Polymath项目来说可能不是一个坏主意（在某种程度上类似于关于主要差距的项目）。然而，三种不同的预印本几乎同时获得$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$绑定出现了，所有方法都略有不同（一种，唯一闭集猜想的一个改进下界，作者：@WillSawin；两个，近似并集闭猜想由数学和理论计算机科学的两位堆栈交换用户Zachary Chase和Shachar Lovett编写；和三个Frankl并闭集猜想的改进下界作者：@RyanAlweiss、Brice Huang和Mark Sellke）。其中一个实际上有潜力超越这个界限。

在某种程度上，联合闭猜想是一个很好的例子，说明了我们还不知道一些真正基本的东西。这一突破有助于缓解一些问题。Gilmer方法的某些方面可能也适用于其他一些问题，这似乎是合理的。

Answer 2

我想提及红移猜想的解决方案$E_{\infty}$-戒指。后者是对通常交换环的同伦加细；至少如果我们限制为连接性的，我们可以用加法和乘法将它们建模为拓扑空间，使其满足通常的环公理直至同伦（但这些同伦必须满足更高的公理，从而产生更高的同伦等）。对于通常的交换环，我们可以采用$E_{\infty}$-环R美元$--实际上，可以将输出视为$E_{\infty}$-环千美元（R）$通常的代数K-群$K_i（卢比）$就是同伦群。

对空间进行分类（或$E_{\infty}$-戒指）高度任何离散空间（如$\mathbb{Z}$)最多有个高度$0$，拓扑K-理论（或空间$BU\times\mathbb{Z}$代表它）有高度$1$; 更高的高度更难定义：从技术上讲$E_{\infty}$-环R美元$是最大值n美元$这样的话$L_{K（n）}右$非零（或者，如果我们查看R美元$实际上作为一个空间：最大值n美元$这样n美元$-的第个Bousfield Kuhn函子R美元$非零）。

人们早就知道$K（\mathbb{Z}）$有高度$1$实际上它几乎与它的纯高部分一致$1$（即地图$K（\mathbb{Z}）_p\到L_{K（1）}K（\mathbb{Z}）$是高于程度的等价$0$如果我回忆正确；这与Voevodsky等人证明的Quillen-Lichtenbaum猜想密切相关。）。受此以及（很少）其他例子的启发，罗格尼斯的红移猜想（一个版本）指出：

对于任何$E_{\infty}$-环，高度千美元（R）$总是比R美元$.

这在今年的纪念性论文中得到了证实彩色Nullstellensatz由Burklund、Schlank和Yuan撰写。我想再多说几句：

• Burklund-Schlank-Yuan的工作实际上是关于Morava E-理论在色稳定同伦理论中所起作用的核心，并证明了关于它的出色结果。但结合Yuan早先关于Moravo E-理论的代数K-理论的工作，它作为副产品证明了上述版本中的红移猜想。
• 最近，在红移碰撞及其变体方面还有其他非常重要的工作。例如，哈恩和威尔逊之前已经显示了光谱$BP语言$满足redshift（这是第一个在所有高度都有效的已知示例）。此外，它们还显示了一个大致如下的声明$K（BP等级）$很接近它K美元（n+1）$-本地化。还请注意最近混凝土计算Angelini-Knoll、Ausoni、Culver、Höning和Rognes在这方面的研究，以及在最近的工作中发现的进行类似计算的新方法哈恩、拉克西特和威尔逊.
• 今年在同伦理论方面已经有了其他非常有趣的工作，其中我想提及Burklund的两篇论文：一篇给出了同伦理论的第一个次线性界美元$-球面稳定同伦群的指数；另一个结果表明，稳定同伦理论中的商具有比以往任何人都更好的乘法性质。

Answer 3

贾尔斯·加丹的论文群环单位猜想的反例是团体戒指的一大突破。贾尔斯创造了一个团队G美元$这是无扭转的，因此有单位$\mathbb美元{F} _2[克]$不是平凡形式的“一个来自$\mathbb美元{F} _2$乘以一个元素G美元$“。他明确地命名了其中几个非平凡的单位。

Answer 4

为了避免猜测哪些arxiv预印本可能通过同行评审，哪些不通过，我将集中讨论2022年同行评审和发表的定理。他们中的大多数以前出现在阿西夫。

我最喜欢的数学定理是那些既伟大又有易于理解的公式所以，你只需按照链接，阅读原始论文，你很可能就能理解和欣赏这些定理！享受吧！

因此，2022年发表的最容易理解的定理是：

• 证明Collatz映射的几乎所有轨道都达到了几乎有界的值https://doi.org/10.1017/fmp.2022.8

• 证明这一点E_8美元$Cohn、Kumar、Miller、Radchenko和Viazovska的Leech晶格在维度8和24上是普遍最优的https://doi.org/10.4007/年鉴。2022.196.3.3

• 格覆盖最小密度的新上界${\mathbb{R}}^n$由奥登特里希、雷格夫和韦斯建立的凸体扩张https://www.ams.org/journals/jams/2022-35-01/S0894-0347-2021-00984-0/viewer/

• Eberhard和Jezernik在具有随机生成元的高阶经典群情形下著名Babai猜想的证明https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-021-01065-x

• Avila和Lyubich构造Julia集具有正Lebesgue测度的类Feigenbaum二次映射https://annals.math.princeton.edu/2022/195-1/p01

• 高斯多气泡猜想的证明（即找到最小高斯加权周长的分解方法${\mathbb R}^n$进入之内q美元$所有规定正高斯测度的单元格$2\leq q\leq n+1$)米尔曼和尼曼https://annals.math.princeton.edu/2022/195-1/p02

• Kleinjung和Wesolowski开发的固定特征有限域中离散对数问题的拟多项式（期望）时间算法https://www.ams.org/journals/jams/2022-35-02/S0894-0347-2021-00985-2/

• Buterus、Götze、Hille和Margulis对Oppenheim猜想有效版本的证明https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-021-01086-6

• Nguyen和Wood计算随机积分矩形矩阵定义满射映射的概率https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-021-01082-w

• Balister、Bollobás、Morris、Sahasrabudhe和Tiba在Erdős覆盖问题中确定未覆盖集的密度https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-021-01087-5

• Krause、Mirek和Tao关于非传统双线性多项式平均值的点态历经定理https://annals.math.princeton.edu/2022/195-3/p04

• Ryabogin的身体结构，而不是一个球，可以在水里的任何位置漂浮https://annals.math.princeton.edu/2022/195-3/p05

• Bhargava、Shankar和Wang证明了具有整数系数的一元多项式的正比例（事实上超过30%）具有无平方判别式https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-022-01098-w

• 关于所有大的可满足性猜想的证明千美元$作者：丁、斯利和孙https://annals.math.princeton.edu/2022/196-1/p01

• Sawin和Shusterman对Chowla和孪生素数猜想多项式相似性的证明https://annals.math.princeton.edu/2022/196-2/p01

• 为方程式证明$x^2+y^2+z^2−xyz=k$仓促原则几乎适用于所有人千美元$但失败了无数次千美元$由Ghosh和Sarnak创作https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-022-01114-z

• 证明双色van der Waerden数$w（3，k）$在中超多项式增长千美元$作者：Greenhttps://doi.org/10.1017/fmp.2022.12

• 证明人们可以听到赫扎里和泽尔迪奇提出的小偏心率椭圆的形状https://annals.math.princeton.edu/2022/196-3/p04

• Duminil-Copin和Manolescu对平面随机簇模型标度关系的严格证明https://doi.org/10.1017/fmp.2022.16

最后，你可能想看看我的书，书中描述了2001年到2020年出版的所有这些定理。

B.Grechuk，《21世纪数学景观》，施普林格，查姆，2021年，https://doi.org/10.1007/978-3-030-80627-9

Answer 5

今年的另一个主要结果是Rachel Greenfeld和Terry Tao对周期平铺猜想的反驳。这个猜想实质上是说，如果一个人有一个不定期瓷砖的瓷砖$\mathbb{R}^n$然后它也会定期平铺$\mathbb{R}^n$这个推测在$n=2美元$当限制为$\mathbb{Z}^2$但对开放$\mathbb{R}^n$适用于所有尺寸。这个问题不仅涉及到几何问题，也涉及到逻辑问题，因为许多基本的平铺问题以其一般形式证明是不可判定的（实际上相当于暂停问题）。格林菲尔德和陶在大量维度上构建了一个瓦片（他们没有明确地计算出来，但估计它似乎涉及指数塔），其中有一个瓦块不定期地瓦片该空间，但不定期瓦片它。虽然它们的构造可能会降到一个更低的维度，特别是考虑到它们否定了问题的格型版本，甚至表明格型版本在$\mathbb{Z}^2\倍G$关于一类有限阿贝尔群G美元$.

预印本是在这里还有一个广达的一篇很好的文章解释了其中的一些内容.

Answer 6

在曲面微分的最大熵测度出现在年鉴Buzzi、Crovisier和Sarig证明了（摘自摘要）“$C^\英寸$-具有正拓扑熵的曲面微分同态一般有有限多个最大熵的遍历测度，而在拓扑传递的情况下只有一个”。

这是平滑动力学的一个巨大结果，总体上看，这是一个主要结果，尽管我偏向于动力学系统。