非常规双线性多项式平均值的点态历经定理

摘要

对于非常规（在Furstenberg的意义上）双线性多项式遍历平均，我们在范数和逐点几乎处处都建立了收敛性
\[
A_N（f，g）（x）：=\压裂{1}{N}\sum_{N=1}^{N}f（T^nx）g（T^{P（N）}x）
$$\]作为$N\to\infty$，其中$T\colon X\to X$是$\sigma$-有限度量空间$（X，\mu）$、$P（\mathrm{N}）在\mathbb Z[\mathrm{N}]$中的保测变换，$f在L^{P_1}（X）中是$d\geq2$次多项式，在L^{P_2}（X）$中是g\，对于某些$P_1、P_2>1$与$\frac{1}{P_1{}+\压裂{1}{P_2}\leq 1$。我们还为这些平均值（在缺标度下）在最佳范围$r>2$内建立了$r$-变分不等式。我们还可以通过处理一些指数范围$p_1、p_2$和$\frac{1}{p_1}+\frac}{p_2}>1$来“打破二元性”，代价是稍微增加$r$。

这对Frantzikinakis针对Furstenberg–Weiss平均值的开放问题调查中的问题11给出了肯定的答案（$P（\mathrm{n}）=\mathrm{n}^2$），这是Bergelson在1996年对遍历拉姆齐理论的调查中考虑的问题9的双线性变体。这也为弗斯滕贝格-贝格尔森-雷布曼猜想做出了贡献。我们的方法将调和分析技术与可加组合学中Peluse和Prendiville的最新逆定理相结合。在大尺度上，adelic整数$\mathbb A{\mathbbZ}$的调和分析也起到了一定作用。