我想知道我如何才能用坦那基安形式主义表达以下现象，这基本上等同于阿廷的字符线性独立性。任何帮助都将不胜感激。
让$k\text{-sep}$是有限故事的范畴千美元$-域的代数千美元$.让千美元$是的可分离闭包千美元$，并让G美元$是绝对伽罗瓦群千美元$，这是一个profinite群。
从Grothendieck的Galois理论的基本定理来看，存在一个本质上是满射的、完全忠实的函子$\Pi:k\text{-sep}\rightarrow G\text{-set}$有限连续的范畴G美元$-套。在对象上，这个函子可以通过发送一个有限的故事来定义千美元$-代数美元$到集合[A，K]_K美元$属于千美元$-代数映射美元$到千美元$具有G美元$通过发送给出的操作美元\西格玛\ G$和$\iota:A\rightarrow K（右箭头K）$到美元\sigma\circ\iota$.
有一个协变函子$T_{G\text{-set}}:G\text}-set}\rightarrow K\text{-vect}$发送G美元$-套X美元$到$\oplus_{x\在x}K中$。它发送一张地图$f:X\右箭头Y$属于G美元$-设置为地图$\oplus_｛x\在x｝K中\rightarrow\oplus_｛y\在y｝K中$发送对应于x美元$对应于美元$.
有一个逆变函子$T_{k\text{-sep}}:k\text}\-rep}\rightarrow k\text{-vect}$发送有限的故事千美元$-代数美元$到$\text（美元）{霍姆}_{k\text{-mod}}（A，k）$(千美元$-矢量空间地图）。它发送了一张有限故事的地图千美元$-代数$f:A\右箭头B$到预合成图$\text（美元）{霍姆}_{k\text{-mod}}（B，k）\rightarrow\text{霍姆}_{k\text{-mod}}（A，k）$发送$\iota:B\右箭头K$到美元\iota\circ f$.
$T_{k\text{-sep}}$和$T_{G\text{-set}}$通过健忘函子的因子$K[G]\text{-mod}\rightarrow K\text{-mod}$，就像在Tannakian形式主义的重建定理中一样（但请记住，这不符合该定理的假设）。我们可能认为他们有目标千美元[G]$-然后修改。
就这样$T_{k\text{-sep}}:k\text}\sep}\rightarrow k[G]\text{-mod}$发送一个有限的故事千美元$-代数美元$到$\text（美元）｛宏｝_{k\text{-mod}}（A，k）$使用G美元$-动作，其中，用于$\西格玛：K\右箭头K$和$\iota:A\rightarrow K（右箭头K）$,$\sigma\cdot\iota=西格玛\circ\iota$.
这似乎类似于坦那基安的形式主义设置，但可能只是巧合。无论如何，这种形式可以用来表达阿廷对字符的线性独立性，尽管乍一看它们本质上并不明显。
定理：以下函子图转换为自然同构：
那就是，$T_{k\text{-sep}}：$与成分自然同构$T_{G\text{-set}}\circ\Pi$发送一个有限的故事千美元$-代数美元$到[A，K]_K}中的$\oplus_{\iota\$，这张地图是G美元$-等变。更准确地说，定义自然转换$\epsilon:\Pi\rightarrow T_{k\text{-sep}}\rightarrow T_{G\text{-set}}$，其中$\epsilon_A美元$发送正式金额$\sum_{\sigma:A\rightarrow K}c_{\sigma}\sigma$在里面$\oplus_{x\在x}K中$到千美元$-线性地图$A\右箭头K$在里面$\text（美元）｛宏｝_{k\text{-mod}}（A，k）$发送$a\单位：a$到$\sum_{\sigma:A\rightarrow K}c_{\sigma}\sigma（A）$.
证明：以有限的故事为例千美元$-代数美元$首先，我们展示一下$\epsilon_A美元$是内射的（这是与字符的线性独立性相对应的部分）。对于矛盾，假设$\epsilon_A美元$不是内射的，采用非零元素X}a{sigma}中的$\sum_{sigma$在内核中$\epsilon_A美元$，这样非零的数量$a_{\西格玛}$是最不可能的。采取X中的$\tau\$，然后采取$y\单位：A$这样的话$\tau（y）\neq\sigma（y）$对一些人来说X中的$\sigma\$具有$a_{\sigma}\neq 0$。那么$\sum_{i=1}a{\sigma}\sigma（y）\sigma$对于每个$x\单位：A$.和$\sum_{i=1}^na{\sigma}\tau（y）\sigma（x）=0$，所以$\sum_{i=1}^n（a_{sigma}\tau（y）-a{sigma}\sigma（y））$包含在的内核中美元\斐$。然而该元素是非零的，因为$\tau美元$和美元$被选中是为了$\tau（y）-\sigma（y）\neq 0$对一些人来说X中的$\sigma\$、和$a_{\sigma}\neq 0$。所以我们有一个非零元素，它是$\epsilon_A美元$非零和数严格较少，这是一个矛盾。
现在$\epsilon_A美元$是内射的，并且它具有相同的目标和上目标千美元$-维度，使用以下事实美元$是传说。所以$\epsilon_A美元$是一种同构。
所以，我在问这是否与坦纳基亚形式主义有关。然而，我在任何地方都没有看到阿贝尔协同目标类别。
