四元数和二面体群的Tannakian形式主义

Question

$Q_8$和$D_8$的字符表是相同的，这是复数上有限群表示理论中的一个基本事实。我认为，这意味着相应的表示类别是等价的（作为张量类别）。

另一方面，Tannakian形式主义告诉我们，我们可以从表示范畴$\mathbf重建有限群$G$｛代表｝_G$与自然（foregetfull）纤维函子$F_G:\mathbf｛代表｝_G\右箭头\mathbf{Vect}$。即，$G$与张量函子$F_G$的张量自同构是规范同构的。

这意味着纤维函子$F{D_8}$和$F{Q8}$是不同的。如何从$D_8$和$Q_8$的表示形式中明确地看到这一点？

Answer 1

设$V_D$和$V_Q$分别是$D_4$和$Q_8$的二维简单表示。让$1_D$和$1_Q$表示它们的琐碎表示。

假设$\mathbf{Rep}（D_4{兽医}_\mathbb{C}$。此等价将$1_D$发送到$1_Q$（因为它们是单位对象），并将$V_D$发送至$V_Q$。

特别地，存在从$V_D$到$V_Q$的$\mathbb｛C｝$线性同构$g$。考虑$$g\otimes g:V_D\otimesV_D\到V_Q\otimessV_Q$$它必须将$V_D\otimes V_D$中$1_D$的唯一副本发送到$V_Q\otimesV_Q$中$1_Q$的唯一拷贝。

很容易看出，没有这样的$g$。我能看到的证明这一点的最巧妙的方法是注意到，翻转映射$v\otimesw\mapsto w\otimes v$在$1_Q$上按-1，在$1_D$上按1。

Answer 2

类别${\rm Rep}（Q_8）$和${\rm-Rep}（D_8）美元与张量类别不等价。它们具有相同的Grothendieck环，但它们具有非等价的结合子。据我所知，对所有与${\rm Rep}（Q_8）$（至少有两个）具有相同Grothendieck环的张量范畴进行分类是一个公开的问题。