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$\开始组$

整数序列在线百科全书中的序列A0000607是将$n$划分为素数部分的分区数。例如，有$10$的$5$分区为素数部分：$10=2+2+2+2+2=2=2+2+3=2+3+3+3+3+5=3+7=5+5

$$A000607（n）\sim\exp\left（2\pi\sqrt{\frac{n}{3\logn}}\right）$$

从数值上看，即使你取两边的对数，这似乎也是错误的。我的猜测是

$$\lim_{n\to\infty}\log\left（A000607（n）\right）\bigg/\left$$

请参见下图：

比率对数图

如何证明或反驳这一推测？

有关更多参考，请参阅http://oeis.org/A000607.

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$\端组$
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1答案1

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42
$\开始组$

您的数据与Vaughan在Ramanujan J.15（2008），109–121中证明的更精确的估计值相一致。他的定理1和2（以及他的（1.9））揭示了$$\log（A000607（n））=2\pi\sqrt{\frac{n}{3\logn}}\左（1+\frac}\logn{\lognneneneep{\logn}+O\左（\frac{1}{\log n}\右）\右）$$对于$n=50000$，我们有$$\log（A000607（n））\约252.663$$$$2\pi\sqrt{\frac{n}{3\logn}}\约246.601$$$$2\pi\sqrt{\frac{n}{3\logn}}\左（1+\frac{\log\n}{\logn{right）\约300.877$$因此，如果你使用沃恩公式中的二次项，近似值（没有误差项）不会低于实际值，而是高于实际值。我们还看到，在这个特定的例子中，误差为$\约48.214$，这与上述误差项为$O（1）$倍的事实非常吻合$$2\pi\sqrt{\frac{n}{3\logn}}\cdot\frac{1}{\logn{约为22.792$$

简而言之，你的猜测可能是错误的，而沃恩是正确的。数值异常是由一个二次项引起的，该二次项对于您考虑的$n$而言相当大。

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$\端组$
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  • 1
    $\开始组$ 非常感谢，我承认我的猜想是错误的，小渐近项很重要。 $\端组$
    – 瓦茨拉夫·科特索维奇
    评论 2014年9月15日8:39
  • 1
    $\开始组$ 我没有仔细检查这份文件，所以我不能肯定，但是arxiv.org/pdf/1609.06497.pdf声称Vaughan的二阶项中有一个错误，它是$-\frac12\frac{\log\logn}{\logn{$，并且$\logn$项上的常数在这里被标识。至少，物理论文的答案更符合数学。 $\端组$
    – 露西亚
    评论 2017年5月24日3:03
  • $\开始组$ @露西亚：我认为物理学家是对的！在我看来，沃恩在第118页的第二次显示中犯了一个简单的计算错误。$\log\log x$的系数应该是$+1/2$，而不是$1$。因此，在本页随后的显示中，$\log\log x/\log x$的所有系数都应该乘以$-1/2$，这就纠正了定理1，使其与物理学家的结果相一致。你能确认一下吗？如果你同意，那么我会更新上面的回复，并向所有作者发送一条消息（同时提及你）。 $\端组$
    – 来自MO的GH
    评论 2017年5月24日16:32
  • $\开始组$ 嗨GH：我目前无法访问沃恩的论文，过几天我会看一看。我相信你是对的，这是一些简单的计算错误。 $\端组$
    – 露西亚
    评论 2017年5月25日1:52
  • $\开始组$ @露西亚：如果有帮助的话，我可以通过电子邮件发送这份文件。基本上，Vaughan看的是一个函数$X（X）$，使得$X（X）^2/\log X（X”）$是渐近的$（6/\pi^2）X$。然后，他推导出$\log X（X）$等于$\frac{1}{2}\log X-\log X+O（1）$，而不是$\frac{1}{2}\log X+\frac{1}}{2\log X+O（1。 $\端组$
    – 来自MO的GH
    评论 2017年5月25日2:19

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