2个答案
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$\开始组$ 随机一元整数多项式和数字域中整数的随机环实际上不是一回事，因为多个多项式可以有一个根来生成相同的单基因整数环，所以尚不清楚多项式的启发式是否真的转化为数字域的启发式。 尽管我在Narkiwicz的关于代数数论的巨著中读到，单基因整数环的形式为$\mathbf Z[\alpha]$，只有有限多个$\alpha$可以通过整数相加。 但我不知道这种有限性有多有效。 $\端组$ – 康拉德 2014年8月8日15:59 -
$\开始组$ @KConrad我同意它们不是一回事，但我很困惑为什么单基因多项式应该比单基因域更常见。 给定一个单基因场，它的几乎所有元素都不是单基因发生器。 所以我天真地认为单基因多项式更为罕见。 （我并不是在声称逻辑上的矛盾，只是我的直觉感到困惑。）无论如何，凯德拉亚的结果回答了最初的问题，而伦斯特拉的猜想（虽然它没有提到签名）表明应该有更多这样的结果。 $\端组$ – 大卫·E·斯派尔 2014年8月8日16:03 -
$\开始组$ 文中定理4.1( arxiv-web3.library.cornell.edu/pdf/1006.1002v1.pdf )Bhargava和Shankar的结果表明，具有abs判别式的单基因立方场少于$X^{5/6+\epsilon}$。 值$<X$，而所有立方字段的数量为$\asymp X$。 因此，至少在立方体情况下，Lenstra的这个猜想意味着单基因字段比单基因多项式要难得多。 $\端组$ 2014年8月8日16:43 -
1 $\开始组$ 试图修正我的直觉：在[-x^{1/3}，x^{1/3}]$和$t\in[-x*{1/2}，x^{1/2}]$中使用$r，在\{-1，0，1\}$，$s中使用$x^3+rx^2+sx+t$。 这应该很接近于根据巴加瓦-尚卡尔符号中[-X^{1/3}，X^{1/3}]$中的$I和[-X*{1/2}，X^{1/2}]$的$J进行采样。 如果伦斯特拉仍然相信他的猜想，当盒子的大小随立方体的不同系数而变化时，他认为这些$O（X^{5/6}）$多项式的正比例给出单基因顺序。 Davenport告诉我们，在这个范围内大约有$\X$个立方订单。 （续） $\端组$ – 大卫·E·斯派尔 2014年8月8日17:32 -
1 $\开始组$ 所以我们有一个维恩图：立方阶，积分闭立方阶，单基因立方阶，整数闭单基因立方级。 每个立方阶最多可以通过12种方式单基因化，因此单基因化和单基因化之间的差异很小。 我认为我们目前的看法是，前两个的大小约为X$，其他两个的尺寸约为X^{5/6}$。 Lenstra的猜想是关于（积分闭单基因）/（单基因），没有理由应该类似于（积分闭双基因）/。 $\端组$ – 大卫·E·斯派尔 2014年8月8日17:35
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三 -
$\开始组$ 谢谢。。。 实际上，切比雪夫多项式表示$\zeta^k+\ zeta^{-k}\in\mathbb{Z}[\zeta+\ zeta ^{-1}]$。 我想知道，除了分圆域及其最大实子域之外，是否还有其他高度阿贝尔或完全实单基因的例子。 $\端组$ 2014年8月8日13:31 -
$\开始组$ 这表明我之前给出的答案是错误的（就Serre问题而言，声称完全真实的度字段$d$和对数判别式$o（d^2）$可能永远不会是单基因的）。 事实上，我现在已经说服了自己，与$p$-adic对应项不同，Bilu定理的证明使用了假设$h（\alpha）到0$的全部强度，而不仅仅是$\log{|\mathrm{disc}（p）|}=o（d^2）$。 所以我要删除前面的两个答案。 $\端组$ 2014年8月8日13:55 -
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$\开始组$ 这不是一个特殊的原因，除了单基因字段很少，阿贝尔字段或完全实字段是特殊的，所以除非有一个很好的原因，否则为什么它们应该有无限交集？ （赞尼尔在书中称这种情况为“不太可能的交叉问题”）。 分圆字段具有单基因的“非常好的理由”（是否还有其他具有这种性质的CM字段？）。 $p$-adic模拟可能是提出这样一个问题的动机。 例如，足够多的实二次域的组合可能是单基因的吗？ $\端组$ 2014年8月8日14:23