算术级数中的最小素数与Selberg筛

Question

我的问题涉及证明算术级数中最小素数的Linnik定理的技术步骤，如Iwaniec-Kowalski：解析数论第18章所述。

该证明使用了来自Selberg筛理论的特定权重$\theta_b$。序列支持无平方数，直到$y$与$q$（算术级数的模）互素，其主要特征是，参考书中的（18.19）-（18.23），$$|\theta_b|\leq 1，\qquad\theta_1=1$$$$0<\sum_{b_1，b2}\frac{\theta_{b1}\theta_{b2}}{[b_1、b2]}\leq\frac{q}{\varphi（q）\log-y}$$相应的Selberg上筛系数定义如下$$\sigma_m:=\sum_{[b_1，b2]=m}\theta_{b_1}\theta _{b_2}$$所以用符号$$\nu（n）：=\sum_{b\midn}\theta_b$$我们有任意整数$n\geq 1$$$\sum_{m\midn}\sigma_m=\nu（n）^2\geq\sum_[m\mid\mu（m）]$$

根据本书（18.70），“应用维度8的筛子（参见基本引理6.3）”，$$\sum_{n\leqx}\nu^2（n）\frac{\tau^3（n）}{n}\ll\left（\frac}\logx}{\logy}\right）^8$$这里$\tau（n）$是$n$的除数。谁能帮我理解为什么这是真的吗？引用的引理是关于Brun筛的（其中$\sigma_m$将是限制为某些整数的$\mu（m）$），但即使我接受它作为Selberg筛，我也看不到所述的界限。同样，我也不明白为什么书中的（18.75）是真的。

补充。基于Dimitris Koukoulopoulos的专家回应，我认为如果我们用较高的$\beta$-sieve$\beta m$替换Selberg筛$\sigma_m$，则Iwaniec-Kowalski的书中给出的Linnik定理的证明很好。更准确地说，我们重新定义了$\nu（n）$，以便$$\nu（n）^2=\sum_{m\mid-n}\beta_m$$这很有意义，因为右手边是非负的。

Answer 1

依瓦尼埃克-科瓦尔斯基（Iwaniec-Kowalski）给出的证明是错误的。正如我在下面解释的那样，它可以很容易地修复。

一般来说，人们可以想到$\nu（n）^2$作为整数的特征函数$P^-（n）：=分钟（P|n）$.所以$$\sum_{n\lex}\frac{nu（n）^2f（n）}{n}\approxix\sum_{n\le x，\P^-（n）\gey}\frac{f（n$$对于任何合理的乘法函数$f美元$它在素数上有界。然而，一个重要的限制是$f（p）<\kappa$平均而言，其中$\卡帕$是筛选维度。在这种情况下，尺寸为1，而$f（p）=8$那么这个问题的总和，比如美元$，不先验地满足所声称的界限。事实上，在这种情况下$S\gg（\log x/\log y）^8$以下为：

如果$P^+（n）=最大值（P|n）$，那么我们就有了$$S=sum_{n\lex}\frac{nu（n）^2\tau（n）|3}{n}\asymp\sum_{P^+（n）\lex}\frac{nu（n）^2\tau（n）P^3}{n}$$（这一步是启发式的，用于简化）。如果我们允许$\sigma_m=\sum_{[d_1，d_2]=m}\theta_{d_1}\thetheta_{d2}$然后我们就开张了$\nu（m）^2$，我们有$$S\approxix\sum_{P^+（m）\lex}\sigma_m\sum_{P_+（n）\lex，\m|n}\frac{\tau（n）^3}{n}=P（x）\sum_｛P^+（m）\le x｝\frac｛\sigma_m g（m）｝｛m｝，$$哪里克（百万）美元$是带的乘法函数$g（p）=8+O（1/p）$和$P（x）=\prod_{P\le x}（1+\tau（P）^3/P+\tau（P^2）^3/p2+\cdots）\asymp（\log x）^8$因此$$S/P（x）\approxix\sum_{P^+（d_1d_2）\lex}\frac{\theta_{d_1}\theta_{d2}克（[1，d2]）}{[d1，d2]}=\sum_{P^+（d_1d_2）\lex}\frac{\theta_{d_1}\theta_{d2}克（d1）g（d2）}{d1d2}\分形{（d1，d2）{g（（d1、d2））}。$$写作$f（m）=\prod_{p|m}（1-g（p）/p）$以便$m/g（m）=\sum_{n|m}f（n）n/g（n）$，我们推断$$S/P（x）\approxix\sum_{P^+（n）\lex}\frac{f（n）n}{g（n）}\left_{d} 克（d） }{d}\右）^2。$$什么时候？$y/2年$，我们有$$\和{P^+（d）\le x，\n|d}\frac{\theta_{d} 克（d） }{d}=\frac{\theta_ng（n）}{n}=\frac{\mu（n）g（n=\frac{\mu（n）g（n）}{g}\cdot\frac{\textbf{1}_{（n，q）=1}}{\phi（n）}$$（请注意$\theta_b美元$在Iwaniec-Kowalski，因为必须限制他们十亿美元$它们是互质的q美元$事实上，$\theta_b=（mu（b）b/G）\sum_{k\ley，（k，q）=1，\b|k}\mu^2（k）/\phi（k）$). 所以$$S\gtrsim\frac{P（x）}{G^2}\sum_{y/2\ltn\ley，\（n，q）=1}\frac}\mu^2（n）f（n）G（n）n}{φ（n）^2}\gg_q（\log x）^8（\ log y）^5，$$采用Selberg-Delange方法。这肯定比我们需要的要大。

为了弥补这一不足，人们必须选择$\u（n）$从另一方面来说，如8维或更高筛子的重量。GH也指出，最简单的选择是定义$\nu美元$通过关系$\nu（n）^2=（1*\lambda）（n）$，其中$（λ（d）：d\le d）$是一个$\贝塔$水平上限筛美元$和尺寸8，以便$$S=sum_{n\lex}\frac{（1*\lambda）（n）\tau（n）^3}{n}。$$关键是序列$（\lambda（d））_{d\le d}$在以下强烈意义上满足基本引理（Iwaniec-Kowalski中的引理6.3）：

(1)$\lambda（d）$在具有的无平方整数上受支持$P^+（d）\ley y美元$

（2） 无论何时$\{a（d）\}_{d\ge1}$是这样一个序列$$\bigg|\sum_{P^+（d）\lez}\frac{\mu（d）a（dm）}{d}\bigg|\le-Ag（m）\prod_{y_0\le-p\le-z}（1-g（p）/p）\quad\text{when}\P^-（m）>z，$$哪里美元\ge0$和$y_0\ge1$是一些参数和$g\ge0美元$与相乘$$\prod_{w\le p\le w'}（1-g（p）/p）^{-1}\le left（\frac{\log w'}{\log-w}\right）^8\left（1+\frac{K}{\log-w}\ right）\qquad（w'\ge-w\gey_0），$$我们有$$\sum_{d\leD}\frac{\lambda（d）a（d）}{d}=\sum_{P^+（d）\ley}\frac{\mu（d）a（d）{d}+O_K\左（Ae^{-u}\prod_{y_0\lep\ley}\左（1-\frac{g（p）}{p}\右）\右），$$哪里$u=\log D/\log y$.

备注：如果$a=克$，然后是条件美元$琐碎地持有$A=y_0=1$因此，上述陈述实际上是对通常的基本引理的推广。

我们有这个$$S＝\sum_｛d\le d｝\frac｛\lambda（d）a（d）｝｛d｝，$$哪里$$a（d）=sum{m\lex/d}\frac{tau（dm）^3}{m}。$$如果$P^-（m）>z$，然后\开始{align*}\和{P^+（d）\lez}\frac{\mu（d）a（dm）}{d}&=\sum_{P^+（d）\lez}\frac{\mu（d）}{d}\sum_{k\lex/（dm）}\frac{\tau（dkm）^3}{k}\\&=\sum_｛n\le x/m｝\frac｛\tau（nm）^3｝｛n｝\sum_｛dk=n，\，P^+（d）\le z｝\mu（d）。\结束{align*}通过M“obius倒置，我们得出以下结论\开始{align*}\和{P^+（d）\lez}\frac{\mu（d）\tau（d^3a（dm）}{d}&=sum_{n\lex/m，，P^-（n）>z}\frac{tau（nm）^3}{n}\\&\ll\tau（m）^3（\log x/\log z）^8\\&\asymp（\log x）^8\tau（m）^3\prod_{11\le p\le z}（1-\tau（p）^3/p），\结束{align*}所以第二条公理适用于美元$具有$A\asymp（\log x）^8$,$y_0=11$和$g=\tau^3美元$因此，我们得出结论：\开始{align*}S=\sum_{d\le d}\frac{\lambda（d）a（d）}{d}&=\sum_{P^+（d）\ley}\frac{\mu（d）a（d）}{d}+O\左（e^{-\log x/\log y}\左（\frac{\log x}{\logy}\右）^8\右）\换行&=sum_{n\lex，\P^-（n）>y}\frac{\tau（n）^3}{n}+O\左（e^{-\log x/\log y}\左（\frac{\log x}{\logy}\右）^8\右）\换行&\ll\左（\frac{\logx}{\logy}\右）^8。\结束{align*}

一句更笼统的话：塞尔伯格的筛子不如$\贝塔$-就“初步筛分”而言，筛分是因为它包含了它所应用的筛分问题，而不是$\贝塔$-筛分重量仅取决于通过$\贝塔$参数。

编辑：Friedlander-Iwaniec在《克里布歌剧》第49页中描述的单调性原则II是使用Selberg的筛重进行初步筛选的一种方法。另请参阅同一本书中的7.2号提案。