Dirichlet算术级数的强大阶项中是否存在无穷素数？

Question

我对素数及其构成素数的一些不同特征感兴趣“定性”不同，例如由某种类型的Dirichlet算术级数生成的每个素数是否属于从该级数的强大阶项获得的素数类。特别是，我想知道是否可以超越狄利克雷定理，并确定在这些级数中，这种素数的供应是无限的。

我特别感兴趣的情况是d=1和a=2k与k正整数的情况，但我想公式化如下猜想对于一般情况

对于任意两个互质正整数a和d，存在形式为$an^2m^3+d$的无限素数，其中n和m个整数>=0

如果是真的，这将加强Dirichlet关于算术级数的定理，只选择顺序为强大数的级数的项（如果素数p除以它，$p^2$也会除以它）。

我想知道这个猜想的可能性（直觉上看起来很高），以及是否有任何我还不知道的证据。我欢迎对证据的韧性进行评估，以及对其发展的任何暗示。

这不太可能。小于$x$的强大整数的数量渐近于$\frac{\zeta（3/2）}{\ze塔（3）}x^{\frac{1}{2}}，$的数量级与平方的计数函数相同。既然$qn^2+a$形式的素数是否无穷多的问题是开放的，而且众所周知是困难的，我怀疑在强大的数字方面是否取得了任何进展。最简单的数列，即$n^2+1$形式的素数是否无穷多的问题，被称为Landau猜想，已经有100年的历史了。 — 埃里克·纳斯隆德, 评论 2012年6月11日14:01
另一方面，Friedlander和Iwaniec证明了形式$x^2+y^4$的素数无穷多，Heath-Brown证明了形式为$x^3+2y^3$的素数无穷多，同样是稀疏的。所以问题可能就在可行的边缘。 — 菲利佩·沃洛赫, 评论 2012年6月11日14:23
@菲利佩：这是两张硬纸，这两张纸中较小的一张纸的密度大约是N^{2/3}$，间隔高达$N$。证明一组密度$N^{1/2}$上素数的无穷大将是一个巨大的突破。也许这取决于你所说的“在可行的边界上”。在某种意义上，每个问题都在可行的边缘上，因为你永远无法排除新想法的可能性。 — 埃里克·纳斯伦德, 评论 2012年6月11日20:58

埃里克·王 · Accepted Answer · 2012年6月12日07:20:46Z

三

很抱歉，这不是一个很好的答案，但你可能对此感兴趣纸张德科宁克、卡泰和苏巴拉奥。你的猜想几乎足够强大，意味着对于任何无平方的$a$，都有无穷多个素数$p$，其中$p-d$的无平方部分正好是$a$（区别在于你不需要$（a，mn）=1$）。

本文第4节建立了一种逆向公式：对于任何强大的$K$，都有无穷多个素数$p$，其中$p-1$的强大部分正好是$K$（具有预期的渐近性）。当然，这是一个更密集的集合，可以在其中寻找素数，所以这当然是一个容易得多的问题。如果我们将其调整为$d$而不是$1$，则可能不会出现重大的并发症。

回答2012年6月11日23:36

埃里克·王

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$\开始组$ 埃里克，我非常感谢你的回答和总结论文第四部分的努力。它的逆公式为我指出了一个解决我猜想背后隐藏问题的方法。我在Dirichlet算术级数中寻找具有某种性质的无限素数。他们不必来自强大的订单条款。平方自由序项对于带有强大部分K的移位素数来说很好。从我阅读的论文中，到529页，证明了逆公式。你确认我的解释吗？非常感谢你。我应该在未来的论文中向你致谢。 $\端组$
– 费尔南多·皮门特尔
评论 2012年6月15日16:17
$\开始组$ @费尔南多：真的很高兴听到！我确实同意你的解释，我希望你能好好利用这个结果。你的论文准备好后，我很想看看。 $\端组$
– 埃里克·王
评论 2012年6月16日5:42

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