算术级数中连续素数之间的差异

Question

让$\pi（x）=\sum_{p\leqx}$表示素数计数函数。贝克、哈曼和平茨的著名成果关于素数缺口状态$x\geqy\geqx^{0.525}$我们有这个

$$\pi（x+y）-\pi（x）\gg\frac｛y｝｛\log x｝$$

让$\pi（x；q，a）$表示素数$p\leq x美元$这样的话$p\equiv a\pmod{q}$是否有类似版本的该定理$\pi（x；q，a）$?

问题：最小的增长函数是什么$f（x，q）$这样，对于任何$x\geqy\geqf（x，q）$我们有这个$$\pi（x+y；q，a）-\pi$$

推论13.8蒙哥马利和沃恩的乘数理论声明在广义黎曼假设下$$\psi（x；q，a）=\sum_{\begin{array}{c}n\leq x（数量）\\n等于a（q）\结束{数组}}\Lambda（n）=\frac{x}{\phi（q）}+O\left（x^{1/2}\log^{2} x个\右侧）$$

根据这个推论，可以得出在GRH下，期望的下限适用于$$f（x，q）=\phi（q）x^\frac{1}{2}\log^{2}（x）$$

我知道1933年海尔布隆的结果（MR1545353），我相信（我的德语不太好）证明了这一点$q，年$，存在$\增量>0$这样，对于$x\geqy\geqx^{1-\delta}$ $$\pi（x+y；q，a）-\pi$$

关于这个话题有什么最新的结果吗？

Answer 1

无条件地，人们可以$f（x，q）=x^{0.525}$，前提是q美元$在Siegel-Walfisz范围内$q\leq（\log x）^A$.存在一个（适当小的）常数$\增量>0$这样就可以$f（x，q）=x^{0.525}$除了$q\leqx^{\delta}$.

这是根据Bombieri-Vinogradov型结果得出的，该结果为素数指示函数精心构建的下限（由于Kumchev公司，但有$0.525$替换为$0.53$)结合第二力矩$L，\chi）^2$乘以Dirichlet多项式（由于哈曼、瓦特和王). 关于如何结合这两个结果的详细信息，请参阅阿尔维斯和罗（见其中的定理2.3）。然后一个人拿$Q=（\log x）^A$.