关于符号$N_{chi}（\alpha，T）$的问题，矩形中$L（s，\chi）$的零个数

Question

我对解析数论中似乎是标准符号的内容感到困惑，我希望能得到任何澄清。我对零密度估计值感兴趣，例如link.springer.com/article/10.1007/BF01403187。在这篇论文和我看到的许多其他来源中，$N_{\chi}（\alpha，T）$定义为$L（s，\chi）$在矩形中美元\alpha\leq\sigma\leq 1$,$|t|\leq t（美元）$哪里美元\西格玛$是…的真实部分%s美元$.

我感到困惑的是，这是用多重数计数的零的数量吗（就像$\rho美元$是零级$2$，那么就是$\rho美元$计数两次）？到目前为止，除了一个引用外，其他所有引用都没有提到多重性，所以我认为这是不带多重性的计数。但我并不清楚，我希望能从一位了解这些材料的专家那里得到澄清。

这也让我对符号感到疑惑$$\和{\rho}$$当和在L函数的非平凡零点上时，考虑到多重性（所以$\sum_｛\rho｝f（\rho）$实际上是$$\sum{\rho，distinct}（重数\of\\rho）\f（\rho）？$$)还是没有？对于这个问题，我特别想到的是$\sum_{n\leq X}\chi（n）\Lambda（n）$。我认为它是一个没有考虑多重性的总和，但这可能是不正确的。

我不清楚消息来源。提前感谢您的澄清。非常感谢。

Answer 1

零总是以重数计算，两者都在$N_\chi（\alpha，T）$以零以上的和表示。当你看一下这个数量是如何估算的时，这一点就清楚了。还要注意每个零的重数%s美元$属于$L（s，\chi）$很小，即$O（\log q（2+|s|））$通过延森公式.

例如，在加拉格尔的论文中，关键的一步是在第336页：“因为$\ll r\mathcal{L}$光盘中的零$|s-w|\leq r$etc.”此估计来自延森公式，它对具有多重性的零进行计数。所以在下一个显示中$N_\chi（\alpha，T）$从上方有界，则将零及其重数考虑在内。