数域上的弱Mordell-Weil

Question

我有一个关于数值域$K$的Mordell-Weil定理的问题。我阅读了泰特和西尔弗曼在《椭圆曲线上的有理点》中对莫代尔-威尔定理的证明。他们给出了E（\mathbb｛Q｝）中$E[2]\的情况的证明其中$E:Y^2=X（X^2+AX+B）$，并且之前提到，借助代数数论的一点帮助，可以以相同的方式（因此不使用群上同调）证明数字域上的情况。

经过一点调查，我得出结论，除了证明映射$\alpha:E（K）\rightarrow K^*/K^{*2}$的图像是有限的（命题3.8（c））之外，所有推理都适用于数字字段。在证明中，他们声称，代表相应二次剩余类的每个无平方整数除以$B$。

我对数字字段的推理如下：

设$P=（x，y）\在E$中，然后$\alpha（P）=x\pmod{K^{*2}$。因为$K$是$O_K$（整数环）的分数字段我们有$x=\frac{a}{b}$表示$a，b\inO_K$。现在考虑$S_P:=\{\rho\in\text{Max}（O_K）\：\：v_{\rho}（\alpha（P））\neq0\pmod2\}$，其中$v$只是素理想因式分解的估值。我的主张是$S_P$中的每个素理想都必须是$B$生成的理想的除数。

我的问题是：这是正确的吗？如果是这样，我该如何证明这一点？

提前谢谢。

Answer 1

这或多或少是正确的方法。你的主张（或类似的东西）的证明将需要（1）理想类群（或至少类群的2部分）的有限性和（2）$O_K$中单位群的有限生成，即Dirichlet的单位定理，尽管真正需要的是$O_K^*/（O_K^*）^2$是有限的。无论如何，你会在第八章第1节中找到所有这些椭圆曲线的算法这一主张与命题VIII.1.5和VIII.1.6的内容更为相似，尽管这些命题的证明中有点隐藏了具体的陈述。没有涉及到群上同调，但在某种意义上，我们考虑的是1-cocycles的步骤，在这个步骤中，我们到达一个2-扭是有理的扩张域；参见还原引理VIII.1.1.1。