斐波那契数列的出现可能令人惊讶

Question

设$H（n）=1/1+1/2+\dotsb+1/n，$，对于$i\leqj，$a_1$是最小的$k$，这样

$$H（k）>2H（j）-H（i）$$

让$a_2$是最小的k，这样

$$H（k）>2H（a_1）-H（j）$$

对于$n\geq 3，$a_n$是最小的$k$，这样

$$H（k）>2H（a{n-1}）-H（a{n-2}）$$

证明（或反驳）如果$i=5$和$j=8$，则$（a_n）$是斐波那契数列$（5,8,13,21，\dotsc）$，并确定$（a_n）$线性递归的所有$（i，j）$。

Answer 1

这句话是真的。写$n$-th斐波那契的$F_n$（我的索引从$（F_0，F_1，F_2，F_3，\dots）=（0,1,1,2，\dotes）$开始）。我们被要求展示这一点$$\frac{1}{F{j+1}}>\sum{m=F{j}+1}^{F{j+1}}\frac}1}{m}-\sum{m=F{j-1}+1}^{F}j}}\frac{1{m}>0\\mbox{for}\j\geq6$$计算机计算很容易检查$6\leq j\leq 20$，所以我们只需要检查大$j$。

我们知道这一点$$H（n）=\log n+\gamma+\frac{1}{2n}+O（1/n^2）$$其中$O（\）$中的常量可以显式表示——类似于$1/12$。所以$$\sum_｛m=B+1｝^C\frac｛1｝｛m｝-\sum_｛m=A+1｝^B\frac｛1｝｛m｝=\log\frac｛AC｝｛B^2｝+\frac｛1｝｛2｝\left（\frac｛1｝{答}-\压裂{2}{B}+\压裂{1}{C}\right）+O（1/A^2）$$其中$O（\）$中的常量类似于$1/3$。

现在，$F{j-1}F{j+1}=F_j^2\pm1$。所以$$\log\frac{F{j-1}F{j+1}}{F_j^2}=\log\left（1\pm\frac}{F_2}\right）=O（1/F_j_2}）$$因此，根据错误$O（1/F_j^2）$和$O（\）$中相当小的常数的条件，我们需要显示$$\frac{1}{F{j+1}}>\frac}1}{2}\左（\frac{1}{F{j+1}}-\frac{2}{F_j}+\frac{1}{F}j-1}}\右）>0$$

设置$\tau=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，并回忆一下$F_j=\frac{\tau^j}{\sqrt}}+O（\tau^{-j}）$。然后，直到$O（\tau^{-3j}）=O（1/F_j^3）$的错误，这就变成了不等式$$\压裂{1}{\tau^2}>\压裂{1'{2}\左（1-\压裂{2}{\tao}+\压裂{1\tau^2}\右）>0$$后者显然是正确的；前者可以通过计算进行校核。

看起来，同样的分析应该足够远地应用于任何线性递归，其解的形式为$G_j=c1\theta_1^j+\sum_｛r=2｝^s c_r\theta_r^j$，其中$1<\ta_1<1+\sqrt｛2｝$和$|\ta_r|<1$用于$r>1$。（所以$\theta_1$应该是皮索特数.）不等式$|\theta_r|<1$使得$\log\frac{G{j+1}G{j-1}}{G_j^2}\approx\frac}\max_{r\geq2}|\theta _r|^j\theta_1^j}{\theta _1^{2j}$大大小于$1/G_j\approx 1/\theta _ 1^j$。不等式$\theta_1<1+\sqrt{2}$等于$1/\theta^2>（1/2）（1-2/\theta+1/theta^2）$。

Answer 2

我认为H（n）的渐近展开式就足够了。也就是说，有一个$$H（n）=\log n+\gamma+\frac{1}{2n}+。，$$误差项是可以控制的。

假设所有i、j、k的数量级都相同，可以将条件$H（k）>2H（j）-H（i）$重写为$H（k）-H$$\对数\分形{k}{j}+（\分形{1}｛2千｝-\压裂{1}{2j}）+\dots>\log\frac{j}{i}+（\frac{1}{2j}-\裂缝{1}{2i}）+\点$$如果只有第一项，且没有整数限制，则上述公式中的等式将对应于几何序列：$k/j=j/i$。

现在，粗略地说，你得到了斐波那契数列，因为它与几何数列非常接近（$F_n$处的误差大小为$\sim 1/F_n$）。好的，您需要进行一些精细的分析，以检查对于$i=F{n-1}$和$j=F_n$，不等式在$k=F{n+1}$处成立，而在$k=F{n+1}-1$处不成立，但左侧之间的差异“很大”（即$1/k$），并且您可以根据需要精确地控制错误项（参见这里的公式（13）--http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html). 剩下的应该是纯粹的（也不那么困难）技术：只需检查$k=F{n+1}$和$k=F{n+1}-1$的$\sim 1/k$项，检查它们的符号是否相反，并控制错误项。