Deligne/Millne“Tannakian范畴”的引理2.12在不可约表示上的应用

Question

因为这是我在这里的第一个问题，我不太确定我是否正确地陈述了它。我很感谢你的帮助。

目前我正在尝试理解上述文章，可以在下面找到http://www.jmilne.org/math/xnotes/tc.pdf现在我有点无法理解主定理2.11的证明，特别是我试图熟悉基本结构和引理2.12（第21页）。

为了更舒服，我尝试将这个引理应用于最相关的范畴Rep（G）本身，特别是一些表示$X:=（V，\rho）$，其中$V$是字段$k$上的有限维向量空间。

我的第一个问题是$\underline{\text{Hom}}（\omega（X），X）是否=V^\vee\otimesV$，如果是，我将如何验证这一点。严格使用文章中给出的定义，如果我没有错的话，$\underline{\text{Hom}}（\omega（X），X）=V^\vee\otimes X=\oplus{n=1}^{text{暗}_k（五） }（V，\rho）$，考虑到这应该再次是一种表示，我猜想不是$\underline{text{Hom}}（\omega（X），X）$，而是$\omega[\underline{text{Hom}}（\omeka（X）、X））=V^\vee\otimesV$。

另一个问题是，如果$X$甚至是不可约的，这个引理会发生什么。我被指对子对象$P'\subset\underline{\text{Hom}}（\omega（X），X）\stackrel{？}{=}V^\vee\otimes V\cong\text{自动}（_k）（五）$带有$g（v_i^\vee\otimes v_j）：=v_i^\vee\otimes g.v_j$包含$\text{id}_Vi}v_i^\vee\otimes v_i$中的\sim\sum_{i$不会自动成为$\underline{\text{Hom}}（\omega（X），X）$本身。（$（v_i）_{i\inI}$在这里是$v$的基础。）

我的第一个直觉是从组件的角度来看问题：如果$v_i^\vee\otimesv_j$包含在子表示中，那么由于$v$是不可约的，每隔一个$l$就可以找到$v_i ^\vee\otimesv{l}$。Matrixwise这意味着，如果子表示中包含一个只有一个分量的矩阵，我们可以从左到右推送这个分量，从而根据需要在这个列中创建每个条目。但这并没有让我更进一步，因为我们没有那些只有一个分量的矩阵，而只有单位矩阵。

有人知道我该如何解决这个问题吗？提前谢谢！

Answer 1

为了回答您的第一个问题，$\underline{\mathrm{Hom}}（\omega（X），X）$是$G$与底层向量空间$V^{\vee}\otimesV$的表示，但$G$只作用于第二个因子。因此，您是正确的，$\omega（\underline{\mathrm{Hom}}（\omega（X），X））=V^{\vee}\otimesV$（但通常是$\underline{\mathrm{Hom}}，（\omega，X）\neq X^{\ve}\otIMesX$）。

对于第二个问题：一般情况下，即使$X$是不可约的，$P'\subsetneq\underline{\mathrm{Hom}}（\omega（X），X）$也是如此。通过构造$\omega（P'）\subset V^{\vee}\otimes V=\mathrm{End}（V）$包含$\mathrm{Id}_V$和在使用$G$操作的后合成下关闭。如果$G$是有限群，这意味着$\omega（P'）$包含$\mathrm｛End｝（V）$中的群代数$k[G]$的映像，并且由于$P'$被定义为满足这些条件的$\anderline｛\mathrm｛Hom｝（\omega（X），X）$的最小子对象，$\omega（P'）$正是$\mathrm｛End｝（V）$中$k[G]$的映像（它带有自然的$G$动作）。一般来说，人们可以将$P'$视为“$\mathrm{End}（V）$中$k[G]$的图像”，即使如果$G$是仿射群方案，群代数$k[G]$实际上没有意义。