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数域算术级数中的素数

我的一般问题是，如何证明数域算术级数中素数的等分布结果？我感兴趣的是陪集互素中整数环素元素到固定理想（在正则嵌入的某些合理子集中）的等分布。

特别是，对于整数，有一个愉快的恒等式$$\sum_｛n\leq x，n\equiv a\pmod｛q｝｝\Lambda（n）=\frac｛1｝｛\phi（q）｝\sum_｛\chi｝\bar｛\chi｝（a）\sum_｛n\leq x｝\Lambda（n）\chi（n）。$$然后可以使用解析数论中的经典工具，例如$L$-函数的无零区域，来估计右边的和。

对于数字字段，上述方法似乎存在重大障碍。有没有提到这一点？（越友好越好！）。

编辑：请允许我更准确地回答（针对KConrad）。修正$K$为数字字段，$O_K$为整数环。设$I\leqO_K$是理想，$R$是正则嵌入中的某个有界区域，我们将其表示为$I$。设O_K$中的$a\为$（（a），I）=1$。我对R\\alpha-I（a）\I}}1_P（\alpha）中的$$\sum_{\substack{\alpha\感兴趣，其中，如果$（\alfa）$是素数理想，则$$为1，否则为0。

答案

<trans data-src="The classical way to do this is to reformulate "primes in arithmetic progressions" as telling you about how the image of Frobenius is equidistributed. ">做这件事的经典方法是重新构造“算术级数中的素数”，告诉你Frobenius的图像是如何均匀分布的。</trans><trans data-src="More precisely in this case, look at Frob$_p$ in $\text{Gal}(\mathbb Q(\zeta_q)/\mathbb Q)\cong(\mathbb Z/q\mathbb Z)^*$, and Dirichlet's theorem says that as $p$ varies, the images are equidistributed among the congruence classes in $(\mathbb Z/q\mathbb Z)^*$. ">更准确地说，在这种情况下，请看$\text{Gal}中的Frob$_p$（\mathbb Q（\zeta_Q）/\mathbbQ）\cong（\mathbb Z/Q\mathbb-Z）^*$，Dirichlet定理说，随着$p$的变化，图像在$（\mathbb Z/Q \mathbb2 Z）^**$中的同余类之间的分布是相等的。</trans><trans data-src="Of course, the image of Frob$_p$ is exactly $p\bmod q$. ">当然，Frob$_p$的图像正好是$p\bmodq$。</trans><trans data-src="Now go to a number field $K$, replace $\mathbb Q(\zeta_q)$ by any Galois extension $L/K$, and for primes $\mathfrak p$ in $O_K$, look at the conjugacy class of Frob$_{\mathfrak p}$ in Gal$(L/K)$. ">现在转到数字字段$K$，将$\mathbb Q（\zeta_Q）$替换为任意Galois扩展$L/K$，对于$O_K$中的素数$\mathfrak p$，查看Gal$（L/K）$中的Frob$_{\mathfrak p}$的共轭类。</trans><trans data-src="The Chebotarev density theorem says that these images are equidistributed, where one has to weight by the size of the conjugacy class. ">Chebotarev密度定理说，这些图像是均匀分布的，必须根据共轭类的大小进行加权。</trans><trans data-src="The proof is a generalization of Dirichlet's and uses zero-free regions, etc. You can find this explained in many standard texts.">这个证明是Dirichlet的推广，使用了零自由区等。你可以在许多标准文本中找到解释。</trans>

编辑摘要

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$\开始组$ 谢谢你的回复，我很熟悉切博塔列夫的密度定理。这不是我想要的概括；我适当地修改了我的问题。 $\端组$
– 乔治·沙坎
评论 2016年5月9日23:01
2

$\开始组$ 好的，谢谢你的澄清。我认为，你编辑后的问题的答案将取决于区域$R$如何与单元组和类组的动作相互作用。所以总的来说，这将是非常复杂的。OTOH，如果你想取一个区域$R$，它有一些很好的对称性和凸性，你也许可以做点什么。我建议（但你可能已经想到了）从第1类的二次虚场和/或二次实场开始。 $\端组$
– 乔·西尔弗曼
评论 2016年5月9日23:05

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