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利润

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车身*

<trans data-src="My general question is how does one prove equi-distribution results for primes in arithmetic progressions in number fields? ">我的一般问题是，如何证明数域算术级数中质数的等分布结果？</trans><trans data-src="I am interested in the equi-distribution of prime elements of the ring of integers in cosets coprime to a fixed ideal (in some reasonable subset of the canonical embedding).">我感兴趣的是陪集互素中整数环素元素到固定理想（在正则嵌入的某些合理子集中）的等分布。</trans><trans data-src="In particular, for the integers, one has the pleasant identity $$\sum_{n \leq x , n \equiv a \pmod{q}} \Lambda(n) = \frac{1}{\phi(q)} \sum_{\chi} \bar{\chi}(a) \sum_{n \leq x} \Lambda(n) \chi(n). $$ ">特别地，对于整数，我们有愉快的恒等式$$\sum_{n\leqx，n\equiva\pmod{q}}\Lambda（n）=\frac{1}{\phi（q）}\sum_}\chi}\bar{\chi}</trans><trans data-src="Then one can use classical tools from analytic number theory, such as zero-free regions for $L$-functions, to estimate the sum on the right.">然后可以使用解析数论中的经典工具，例如$L$-函数的无零区域，来估计右边的和。</trans><trans data-src="For number fields, it seems like there are significant obstacles to the above approach. ">对于数字字段，上述方法似乎存在重大障碍。</trans><trans data-src="Is there a reference that addresses this? ">有没有参考资料可以解决这个问题？</trans><trans data-src="(the friendlier, the better!). ">（越友好越好！）。</trans><trans data-src="Edit: Allow me to be more precise (in response to KConrad). ">编辑：请允许我更准确地回答（针对KConrad）。</trans><trans data-src="Fix $K$ to be a number field and $O_K$ the ring of integers. ">修正$K$为数字字段，$O_K$为整数环。</trans><trans data-src="Let $I \leq O_K$ be an ideal and $R$ be some bounded region in the canonical embedding, which we shall denote $i$. ">设$I\leqO_K$是理想，$R$是正则嵌入中的某个有界区域，我们将其表示为$I$。</trans><trans data-src="Let $a \in O_K$ such that $((a) , I) = 1$. ">设O_K$中的$a\为$（（a），I）=1$。</trans><trans data-src="I am interested in $$\sum_{\substack{\alpha \in R \\ \alpha - i(a) \in I}} 1_P(\alpha),$$ where $1_P(\alpha)$ is one if $(\alpha)$ is a prime ideal and zero otherwise.">我对R\\alpha-I（a）\I}}1_P（\alpha）中的$$\sum_{\substack{\alpha\感兴趣，其中，如果$（\alfa）$是素数理想，则$$为1，否则为0。</trans>

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$\开始组$ 当数字字段不是UFD时，这意味着什么？ $\端组$
– 康拉德
评论 2016年5月9日21:14
5

$\开始组$ 记住，没有人知道$x^2+1$形式有无限多个素数，所以，如果你的$K=\mathbb{Q}[i]$和$R$是$\{x+iy:1/2<x<3/2}$，这是开放的。你需要以某种方式要求$R$“大”才能有任何希望。 $\端组$
– 大卫·E·斯派尔
评论 2016年5月9日23:20
$\开始组$ @戴维·斯派尔说得好，谢谢。我不介意人们对$R$做出一些强有力的假设，我只是不想成为做出这种假设的人！ $\端组$
– 乔治·沙坎
评论 2016年5月9日23:26

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